圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘延伸和类比发散

1、思路一（设过，由PCD是以P为顶点的P 1,的直线）：设直线y =k x 13C 3、4k2 -12k -324k 3圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘、延伸与类比发散PA :3 等腰三角形知：乙PCD二.PDC，从而k” kPB = 0，所以直线PB ： y = -k x -1 -2f3由y=k(x门+ 消去 y 得: (4k2+3X2+4(3k_2k2 X + 4k2 _12k_3 = 0，3x2 4y2 =12则：xA xP 二巡，由 xP =1 得:4k2+3P同理可得：24k +12k3XB24k2 3所以：kAB-yB k Xa Xb - 224k 312Xa _XbXa-Xb

2、-24k244k2 3思路二（设直线 AB）:设直线AB :y = kx + my =kx +m，由消去y 得:Qx2 +4y2 =12贝U Xa Xb =-由 kPA kPB =0 得:8 km2 ，4k 34m2 T2Xa Xb _ 4k234k2 3 x2 8kmx 4m2 -12 = 0,3 y+ m k_? |；xA+xB )2m+3 = 0所以：4k2 -8k 4km-2m 3 = 0= 2k-1 2k 2m-3 =0，故 k。思路二（小题小做，考虑特殊位置，点C落在原点）：当点C落在原点时，点B落在椭圆的右顶点， 此时由椭圆的对称性易知：A 1,- i,从而思路三（小题小做，考虑

3、特殊位置，当点当点C与D重合时,（3 A与B重合，此时A 1, 1，直线AB为椭圆的切线, 2丿由椭圆的切线方程：XXo yy0 =1，代入点A4311方程为：y x - 2，故kAB -22思路四（改进思路三，当点C与点D重合）：当点C与D重合时,A处椭圆的切线，与 P点处椭圆的切线，两直线斜率互为相反数，可求P处的切线，易求、通过例题及变式，你有何发现?2 2结论：过椭圆笃-爲=1上任一点P xo,yo （不在x轴上）引两天斜率互为相反数（斜率a b存在）的直线与椭圆交于 A，B，则直线AB的斜率是。（并证明结论）当a例2.如图，过抛物线 y = x上一点P 1,1作两条直线PA，PB分别

4、交抛物线于点，直线AB的斜率为- 2。（I）证明：直线 PA的斜率与PB的斜率互为相反数；（n）若直线PA的斜率为k k 2，且ABP的内切圆半径为 2 5, =b2时，可得圆中相应结论；当 b2二-b2时，可得双曲线中相应结论。三、学以致用例1. （ 1）如图，点P 4,3为圆x2 y2 =25上一点，点E，F为y轴上的两个点， PEF是以P为顶点的等腰三角形,直线PE，PF交圆于点C，则直线CD的斜率是（3A.22B.3C. 21D.2）2（2）已知椭圆C :二社a b1 (anbO )经过点 P 3,16 i5丿3B，记PA，PB的斜离心率为（i）求 ABP的周长（用k表示）；（ii）求

5、直线 AB的方程。,过椭圆C的右焦点作斜率为k的直线丨交椭圆于点A，5率为k1， k2，则椭圆C的标准方程为 ，若k10，则k二（3）过抛物线y2 =2x上任一点P （不在x轴上）引两条斜率互为相反数的直线与抛物线交于A , B，若kAB二-，则点P的坐标为。2类比发散:A , B为圆x 2A, B为双曲线字-廿1 a b 0上的两个点，弦AB过坐标原点0。若点P是椭 yR2上的两个点，弦 AB过坐标原点O。若点P是圆上异于点 A , B的动点，且kpA与kpB都存在，则kpA kpB二一1 。AB为圆x2 y= R2的弦，M是AB的中点，O为坐标原点，贝U koM ab = -1 ；类比圆的

6、两个性质，椭圆有如下两个性质：2 2A , B为椭圆 笃笃=1 a b 0上的两个点，弦AB过坐标原点O。若点P是椭圆a b上异于点A , B的动点，且kpA与kpB都存在，贝U kpA kPBb22 ；a2 2M是AB的中点，则AB为椭圆务每=1 a b 0的弦，M是AB的中点,类比圆的两个性质，双曲线有如下两个性质:a b圆上异于点A,B的动点，且kpA与kpB都存在，则kPB2 2AB为双曲线 笃爲=1 a b 0的弦，M是AB的中点，M是AB的中点，则a bkOM例3.(1)已知A , B分别是椭圆2 2X ya b 0的两个顶点,a bM是双曲线上一1点，若直线AM与BM的斜率之积kAM kB -，则该椭圆离心率的取值范围为 c32 2(2 )已知直线l与椭圆C :务与=1 a b 0交于A，B两