正余弦函数的图像和性质第二课时

1、xyo1-1-2 - 2 3 4 R Rx xs si in nx x, ,y y1.正弦曲线正弦曲线R Rx x , , cosxcosxy y-2 - o 2 3 x-11y余弦曲线余弦曲线周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 知： 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2k(kZ且 k0)都是它的周期，最小正周期是

2、 2。 由sin(x+2k)=sinx ; cos(x+2k)=cosx (kZ)周期性注意：（1）周期T为非零常数。 （2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。 （3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集 （4）周期函数不一定有最小正周期。举例：f(x)=1(xR),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。sin(cos( 2yAwxyAwxxR 及的 最 小 正 周 期 为 因 为 f(x)=Asin(x+=Asin(x+=Asin (x+f(x+)sin(cos(yAwxyAwx及1y=cos2x+sin2x例：求证）的周期

3、为()cos2() sin2(cos(22 ) sin(22cos2sin2( )f xxxxxxxf x 证明：( )f x的周期为442sincos2yxx）的 周 期 为3sincos2yxx）的周期为()sin(cos222cossin( )( )2f xxxxxf xf x证明：) （) =的周期为。4444()sin (cos222cossin( )( )2f xxxxx f xf x证明：)（) =的周期为。RxxxyRxxyRxxyRxxy，）（）（），（）（），（）（，）（求下列函数的周期课堂练习：2sin23sin432cos23421sin323sin12奇偶性 一般的，

4、如果对于一个定义域对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 一般的，如果对于一个定义域对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R)是偶函数定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性

5、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为 ， 其值从-1增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0 -1减区间为 ， 其值从 1减至-12 23 +2k , +2k ,k Z2 2 +2k , +2k ,k Z2 23 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 余弦函数的单调性 x cosx2 2 - 0 -1 0 1 0 -1增区间为 其值从-1增至1 +2k , 2k ,k Z 减区间为 ， 其值从 1减至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-312 23

6、25 27 2 23 25 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇函数偶函数 +2k , +2k ,k Z2 2 单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 单调递减 +2k , 2k ,k Z 单调递增2k , 2k + , k Z单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1. 直接利用相关性质2. 复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间yx2346021-15 y=sinx (x R) 当当x= x= 时，函数值时，函数值y y取得最大值取得最大值1 1；k22当当x= x= 时，函数值时，函数值y y取得最小值取得最小值- -1 1k2

7、2观察下面图象：yx2346021-15 y=cosx (x R) 当当x= 时，函数值时，函数值y取得最大值取得最大值1；k 2当当x= x= 时，函数值时，函数值y y取得最小值取得最小值-1-1k 2观察下面图象：因为终边相同的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在的图象在， 与与y=sinx,x0,2的图象相同的图象相同2,4 ,0 ,2,2,0,4,2正弦曲线的周期正弦曲线的周期xy-1-12o46246sin(2)sinxkx kZ因为终边相同的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在的图象在，

8、与与y=cosx,x0,2的图象相同的图象相同2,4 ,0 ,2,2 , 0,4 ,2余弦曲线的周期余弦曲线的周期2o46246xy-1-1 cos(2)cosxkx kZ 正弦、余弦函数的相同性质正弦、余弦函数的相同性质x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 定义域定义域值值 域域周期性周期性x Ry - 1, 1 T = 2 对称性对称性yx2346021-15 y=sinx (x R) )0 ,k对称中心（2kx对称轴：观察下面图象：yx2346021-15 y=cosx (x R) )0 ,2k对称中心（

9、kx 对称轴：观察下面图象： 函 数 性 质y= sinx (kz)y= cosx (kz)定义域值域最值及相应的 x的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴x Rx Rx Rx R-1,1-1,1-1,1-1,1x= 2kx= 2k时时y ymaxmax=1=1x= 2k+ x= 2k+ 时时 y yminmin=-1=-1周期为T=2周期为周期为T=2T=2奇函数奇函数偶函数偶函数在x2k- ， 2k 上都是增函数 。在x2k， 2k+ 上都是减函数 , (k,0)(k,0)x = kx= 2k+时时y ymaxmax=1=1x=2kx=2k- - 时时 ymin=-122在x2k- , 2

10、k+ 上都是增函数 , 在x2k+ ，2k+ 上都是减函数.22232( (kk+ ,0)+ ,0)2x = k+2 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin( ) sin( )18 10 (2) cos( ) - cos( ) 523 417 解：解：218102 又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数2,2 sin( ) 018 10 解：解： 5340cos cos 4 53 即：即： cos cos 053 4 又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数, 0 cos( )=cos =cos 523 523 53 417 cos( )=cos =cos 417 4 从而从而 cos( ) - cos( ) 0523 417 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解：解： y=2sin(-x ) = -2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k , +2k ,k Z2 2 函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 (2) y=3sin(2x- )4 222242kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk单调增区