314空间向量的正交分解及其坐标表示PPT教学课件

1、 当向量a垂直于向量b时，这种分解叫做平面向量的正交分解.第1页/共37页 平面上向量的这些性质能推广到空间吗？第2页/共37页第3页/共37页 类比平面向量的正交分解，你能得出空间向量的正交分解吗？探究第4页/共37页 设i，j，k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O.对于空间任意一个向量p=OP，设Q为点P在i，j所确定的平面上的正投影.xzQPijkOy第5页/共37页xzQPyijkO 由平面向量基本定理可知，在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得OP=OQ+zk.第6页/共37页xzQyijkO 在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得O

2、Q=xi+yj.第7页/共37页xzQPyijkOOP=OQ+zk，OQ=xi+yj，从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk第8页/共37页 空间向量的正交分解与平面向量的正交分解相似，区别在于分解的结果中多了“一项”.注意 由上述证明可知，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组x，y，z，使得p=xi+yj+zk.称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量.第9页/共37页 类比平面向量基本定理，你能得出空间向量基本定理吗？探究第10页/共37页OABCABPP 设a,b,c不共面，过点O作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p；过P作直线P

3、P平行于OC，交平面OAB与点P；在平面OAB中，过点P作直线PA/OB，PB/OA.第11页/共37页OABCABPP于是存在三个实数x,y,z，使OA=xOA=ya,OB=yOB=yb,PP=zOC=zc,OP=OA+OB+PP=xOA+yOB+zOC.所以，p=xa+yb+zc.第12页/共37页定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p=xa+yb+zc.第13页/共37页注意 空间向量基本定理说明，用空间三个不共面已知向量组a,b,c可以线性表示出空间任意一个向量，并且表达的结果是唯一的.第14页/共37页 由空间向量基本定理，如果三个

4、向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是p|p=xa+yb+zc,x,y,zR.cba第15页/共37页基向量cba 集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zR可以看做是由向量a,b,c生成的. a,b,c叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量（base vector）.第16页/共37页注意对于基底a,b,c需要明确以下几点：1.向量a,b,c不共面；2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；3.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向

5、量.第17页/共37页 设e1,e2,e3为有公共点O的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.e1e2e3xyzO第18页/共37页e1e2e3xyzOp 对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP=p.P第19页/共37页 这样，我们就有了从正交基底到空间直角坐标系的转换. 由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x,y,z，使得p=xe1+ye2+ze3. 把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标，记做p=(x,y,z).此时，向量p

6、的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标（x,y,z）.第20页/共37页计算一下 计算单位正交基之间的数量积：e1e2,e1e3,e2e3,e1e1,e2e2,e3e3.e1e2=e1e3=e2e3=0.e1e1=e2e2=e3e3=1.第21页/共37页ADBCA1B1D1EFC1 如图正方体ABCD-ABCD，点E,F分别是上底面AC和侧面CD的中心，若满足AF-AD=xAB+yAA，求x,y的值. 例题第22页/共37页11DDDC21DC21DFADAF11AAyABxAA21AB2121y,21x所以，ADBCA1B1D1EFC1第23页/共37页课堂小结 1.空间向量基本定

7、理. 在空间，具有大小和方向的量如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p=xa+yb+zc.第24页/共37页2.基底与基向量. 空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.3.空间向量的正交分解. 能从正交基底到空间直角坐标系转换.第25页/共37页高考链接1.（2006年 安徽卷）在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，AN=3NC，M为BC的中点，则MN=_.（用a、b表示）由AN=3NC，得 4AN=3AC=3(a+b)，b41a41b)21(ab)(a43MNb21aAM所以

8、11ab44第26页/共37页2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线.C1ABCA1B1ED第27页/共37页如图，建立直角坐标系O-xyz其中原点O为AC 的中点. 设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c)，C1ABCA1B1EDxyz则C(-a,0,0)，C1(-a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)，ED=(0,b,0)，BB1(0,0,2c)，EDBB1=0，EDBB1，又AC1=(-2a,0,2c) EDAC1=0，EDAC1，所以ED是异面直线BB1与AC的公

9、垂线.O第28页/共37页课堂练习1.已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，则MG-AB+AD等于（ ）C.3GMDB23A.D.2MGB.3MG2.设e1,e2是平面上两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2，若A,B,D三点共线，则k=_.B-8第29页/共37页ABCOMNQP3.如下图，M,N分别为四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点.用向量OA,OB,OC表示OP和OQ.第30页/共37页ABCOMNQPMN32OA21MPOMOPOM)-(ON32OA21OA)21-(ON32OA21OC)(OB2132OA61OC;31OB31OA61解答第31页/共37页ABCOMNQPMN31OA21MQOMOQOM)-(ON31OA21OA)21-(ON31OA21OC)(OB2131OA31OC.61OB61OA31继续第32页/共37页习题答案1. 向量c与a+b,a-b一定构成空间的一个基底.否则c与a+b,a-b共面，于是c与a,b共面，这与已知矛盾.2.共面. 第33页/共37页3.(1)解：OB=OB+BB =OA+AB+BB =OA+