线性代数行列式的定义

1、线性代数线性代数u行列式u矩阵矩阵uN维向量空间维向量空间u线性方程组u矩阵的特征值与特征向量u实二次型第一章 行列式n阶行列式的定义n阶行列式的性质n阶行列式的计算用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x二三阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时时，

2、当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）外加两竖线的数学符号称列）外加两竖线的数学符号22211211aaaa即即.2112221122211211aaaaaaaaD 21122211aaaa其实质是一个数：,称为二阶行列式11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若

3、记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221

4、121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 , 07 ,14 112121 D121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa322231211333233121123323322211333231232221131211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa称为称为.

5、.由九个数排成三行三列外加由九个数排成三行三列外加两竖线的数学符号两竖线的数学符号其实质是一个数：ijjiijMA) 1(333231232221131211aaaaaaaaaD 在三阶行列式 中划去 所在的行列后，剩下的元素按原来在行列式中的位置顺序所组成的二阶行列式称为 的余子式余子式，记作 。而将 称为 的代数余子式ijaijaijMija131312121111131312121111AaAaAaMaMaMaD322231211333233121123323322211 aaaaaaaaaaaaaaaD例例1 1 计算三阶行列式计算三阶行列式1 2 1-3 1 03 1 2D解：1 2

6、3 12D1 1-3 012 1-1 0310) 10 (3) 30 (1) 61 (2333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)

7、4()2()2(2411 24843264 .14 n阶行列式阶行列式称为个数，符号为设naaaaaaaaaDnnjiannnnnnnij2122221112112.1,)1( 1 1 11111212111111njaAnAaAaAanaDjjnnn的代数余子式是其中其值余子式在Dn中划去元素aij所在的行和列,剩下的n-1阶行列式称为元素aij的余子式,记为MijnnnjnjnnijijiinijijaiinjjijaaaaaaaaaaaaaaaaM111, 11, 11, 11 , 1, 11, 11,1 , 11111111即ijjiijMA) 1(代数余子式。阶行列式例：计算nnaaan.2211。解：nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD.|.221122113322112211(对角行列式对角行列式)。阶行列式例：计算nnnnaaaaaan.2122