流体力学第二章

1、流体力学第二章 流体静力学第2章 流体静力学l本章研究内容：l 流体处于绝对静止或相对静止状态下的力学规律及其在工程技术上的应用。l 分析：既然是绝对静止或相对静止状态，即流体内部无相对运动，则表面力中得黏性力可忽略，研究压强的分布规律，并且还要讨论物体壁面受到静止液体总压力的计算问题。21静止流体中的压强特性l 流体处于静止或相对静止状态时，流体中的压强为流体静压强。l 每单位面积上所受的压力，即平均静压强为 p =F/A 单位为 l 若面积A上各点压力不等，则面积A上以任意点D为中心取一微元面积A,其上的压力为F，则D点的压强p为：l p =lim F / Al A 0 2mN2mkN l

2、流体静压强的两个特性：l（1）流体静压强的方向与作用面的内法线方向一致。l（2）静止的流体任何一点上各个方向的流体静压强的数值大小相等，与作用面在空间上的方位无关。l 即有： l证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图2-2所示取坐标轴。l 由于液体处于平衡状态，则有 ，即各向分力投影之和亦为零，则：l x方向受力分析: 表面力：l n为斜面ABC的法线方向 l质量力l当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：px=p l类似地有：px=py=pz=p l而n是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与作用面的方位无关。 l说明：l（1） 静止流体中不同点的压强一般是不等的，

3、同一点的各向静压强大小相等。 l（2） 运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘 性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。 l 流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即 l（3）运动流体是理想流体时，由于黏度 =0，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分布特性，即 21流体平衡微分方程及其积分l一、流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程欧拉平衡方程欧拉平衡方程 l如图2-3所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析： l根据平衡条件，在x方向有 ,即：l流体平衡微分方程（即欧拉平衡方

4、程）： l物理意义： l1、在静止流体中，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相等。 l2、表面力压强P的变化率是由质量力引起的，如果没有质量力，则压强等于常数。l二、流体平衡微分方程的积分二、流体平衡微分方程的积分l三、等压面三、等压面 l 等压面（equipressure surface）：是指流体中压强相等（p=const）的各点所组成的面。这个概念经常用于求解静止流体中不同位置之间的压强关系 。l 常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的界面。比如气体和液体的分界面，即液体的自由面就是等压面，其上各点的压强等于分界面上各点的压强。l 只有重力作用下的等压面应满

5、足的条件：l 1.静止； 2.连通； 3.连通的介质为同一均质流体； 4.质量力仅有重力； 5.同一水平面。 提问:如图2-6所示中哪个断面为等压面? 答案1.C-C 断面 答案2. B-B 断面 等压面重要性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面，即： 即质量力与ds正交。式中，ds是等压面上的任意两邻点的线矢。 l证明：设想某一质点流体M在等压面上移动一微分距离ds，设质点的单位质量力为： l则作用在质点上的质量力做功应为： l即：质量力作功等于它在各轴向分力作功之和。又，在平衡流体等压面上 23重力场中流体的平衡l 在工程实际或日常生活中，最常见的是质量力只有重力作用下的平衡流

6、体。因为是在地球重力场中研究流体的平衡，所以绝大多数流体的平衡是指流体相对于地球没有运动的静止状态，也就是作用在流体上的质量力只有重力的情况。以下分析质量力只有在重力作用时的静止流体中压强分布规律流体静压强基本方程式。l231重力作用下的流体平衡方程l1.均质流体l通常将液体看成均质流体。l重力作用下静止流体质量力： l 代入流体平衡微分方程的综合式(2-7) l公式中，C为积分常数，由边界条件可以确定。l在自由液面上有： z=H 时,p=p0 l水静力学基本方程：l l （2-15） l或者将上式中各项表示为液柱高的形式，即除以单位体积的重量r得：l （2-16）l若对于静止均质流体中的任意

7、两点1和2，上式可以写成 l 该二式是重力场中流体平衡的基本方程式。适用范围是在重力作用下的连续均质平衡流体。对于分装在互不连通的两个容器内的流体，以及虽装在同一容器中但其密度不同的流体，不能适用。l 得出以下结论：l1）仅在重力作用下 的均质流体内部的压强随深度h按线性关系变化。斜率由密度决定。再次说明表面力压强的变化率规律是质量力作用的结果。l 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。静压强的大小与流体的体积无关。l 3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 图见书34页。l4）帕

8、斯卡原理。即一点的压强将均匀的传递到另一点。推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。l l5）静止的均质流体中任一点的测压管水头为常数。l2.重力作用下气体的平衡规律（略）l232流体压强的度量及量测l1.绝对压强、相对压强和真空l 压强大小可以从不同基准算起，故压强的表示形式又有绝对压强、相对压强和真空之分。l1）绝对压强（画图）l 绝对压强是以设想的没有气体存在的绝对真空为零点开始计算的压强，以 表示, l l l2)相对压强l 相对压强是指以当地大气压为零计量的压强，即为绝对压强与大气压强之差，以lPr或P表示lp可“”可“ ”，也可为“0”。 l在开口容器及不可压

9、缩流体的静压强计算等问题中，一般都采用表压，即相对压强。所以我们往往就直接用P表示相对压强。绝对压强要加下标。l3）真空l如果某点的压强其绝对压强小于当地大气压，则其相对压强为负值，称为负压，或说产生 真空。这里真空的概念与物理学中的真空有一定的区别。工程流体力学中，只要出现负压，就是出现了真空。度量真空的程度可用相对压强，用Pv表示l 真空的度量也可以用液柱高度hv来表示。即为真空度l2.压强的计量单位压强的计量单位l a.应力单位 l这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，N/m2，Pa，kN/ m2 ，kPal b.大气压 l 标准大气压：l1标准大气压(atm)=1.013X

10、105Pa=101.3 kPa l c.液柱高 l水柱高mH20：1atm相当于 l1at相当于 l3.位置水头、压强水头和测压管水头l在工程流体力学中常用“水头”代表高度，所以z又称位置水头;P/r又称压强水头;z+p/rl称为测压管水头。l图2-10测压管水头l 位置水头z ：任一点在基准面0-0以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。l 压强水头p/r：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头）。l 测压管水头（ z+p/r）：单位重量流体的总势能。l 在静止液体中各点测压管水头相等。l物理意义： l 1）. 仅受重力作用

11、处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减小。l 2）. 在均质（r=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）必然是等压面（p1 = p2 =常数）。 l4.压强的测量l 压强的大小可以用液柱高度表示。因此，量测压强的仪器中，多是利用量测液柱高度而制成，常用的有测压管、比压计、金属测压计、真空计。金属测压计、真空计。l1)测压管l测压管（pizometric tube）：是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接 和大气相通的直管。 l 适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。

12、 l如果被测点A的压强很小，为了提高测量精度，增大测压管标尺读数，常采用以下两种方法 ：（1）将测压管倾斜放置如图2-18，此时标尺读数为l，而压强水头为垂直高度h，则（2）在测压管内放置轻质而又和水互不混掺的液体。重度 ，则有较大的h。 l2）水银比压计水银压差计：用于测高压差。 适用范围：测定液体中两点的压强差或测压管水头差。 l压差计计算l若A、 B中流体均为水，2为水银， l3）、金属测压计（压力表）、金属测压计（压力表）l 适用范围：用于测定较大压强。是自来水厂及管路系统最常用的 测压仪表。l4）、真空计（真空表）、真空计（真空表）l适用范围：用于测量真空。 24非惯性坐标系中流体的

13、平衡相对平衡l 如果装在容器中的液体随同容器一起相对地球在运动，液体与容器相同加速度，但液体各部分之间以及液体与容器之间没有相对运动。只要把坐标系选建在容器上，则该坐标系即为非惯性坐标系，容器中的液体对此非惯性坐标系来说也是处于平衡状态的，这种在非惯性坐标轴中的液体平衡称为相对平衡或相对静止。 相对平衡流体中，公式仍然适用，只是质量力除重力外，还受到惯性力的作用。 l例1 如图所示，一洒水车等加速度a=0.98m/s2向右行驶，求水车内自由表面与水平面间的夹角；若B点在运动前位于水面下深为h=1.0m，距z轴为xB=-.5m，求洒水车加速运动后该点的静水压强。解：考虑惯性力与重力在内的单位质量

14、力为 （取原液面中点为坐标原点） X= -a ； Y=0 ；Z= -g 代入式得：积分得： 在自由液面上，有： x=z=0 p=p0 得： C=p0 =0 代入上式得： 点的压强为： ax+gz=0 2.5重力场中作用于物体表面的静水总压力l 在工程实际中，常常需要知道作用在建筑物表面上的液体压力。例如，为了确定挡水闸的启闭力，需要知道闸门挡水面上的水压力大小；为了校核水坝、路基、桥墩等得稳定性，需要知道作用在坝面、路基坡面及桥墩侧面上的水压力是多少等。l 这就要求从已知一个点的静水压强以及它的分布规律，进而研究整个作用面上的静水总压力问题，并确定其大小、方向和作用点。本节将分别介绍平面上的静

15、水总压力的计算和曲面上的静水总压力的计算。方法只要有两种，压力图法（图解法）和解析法。251平面上的静水总压力l静水压强分布图绘制原则 （针对规则平面如矩形平面）：la. 根据 绘制静水压强大小；lb. 静水压强垂直于作用面且为压应力。l绘制步骤l 按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小；把上下两端点的压强用带箭头的矢量线段绘出，中间以直线将其上、下端相连，就得到了压强分布图 l注意：用箭头标出静水压强的方向，并与该处作用面垂直。受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线；当受压面为曲线时，曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。 见书49页图2-20l

16、1，压力图法求矩形平面上的静水总压力l 对于矩形作用平面，先绘制压强分布图再求总压力的方法，就称压力图法，也称为图解法。l 优点：直观、形象和便捷。l 但要注意，实际工程设计中的压强分布图指的是相对压强的分布图。因为建筑物通常处于大气之中，所以我们考虑的是相对压强。l压力图法步骤：l 根据静水压强的两个基本特性及静水压强计算的基本方程绘制出受压面上的相对压强分布图，静水总压力的大小就等于压强分布图的体积，即压强分布图的面积S乘以受压面的宽度b，即：l P=Sb （2-28)l 其作用线通过压强分布图的形心。即总压力的作用点必在压强分布图形心沿受力面宽度方向的分布线上，而沿纵总压力作用点在矩形平

17、面的对称轴上。方向沿平面的内法线方向。l 形心举例见书49、50页。需要记住的有矩形，三角形、梯形 。（梯形形心的推导）l2.解析法求任意形状平面上的静水总压力l 首先确定淹没在流体中物体的形心位置以及惯性矩，然后由解析法计算公式确定总压力的大小及方向。 l l 如图所示，MN为任意形状的平面，倾斜放置于水中，与水面成q角，面积为A，其形心C的坐标为xc，yc，形心C在水面下的深度为hc。l(1)作用力的大小，微小面积dA的作用力： l作用在整个平板MN上的合力为：l式中： 为平板面积对X轴的静面矩；lA为受压面的面积 l(2)方向 垂直作用 于受压面(特性)l(3)作用点 由合力矩定律知,各

18、分力对轴的力矩等于合力对某轴的力矩. l l式中 为平面对ox轴的惯性矩平行移轴定律 cp 形心处的压强 22sinsinsinsin ()DOXcxcAPyy ydAydAIIy A 2Ay dA2xcxcIIy A22sin()sin()cxccxccxDccAcIy AIy AIyyPysniy Al结论：l1). 当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角无关； l2) . 压心的位置与受压面倾角无关，并且压心D总是在形心C之下.只有当受压面位置为水平放置时，压心与形心才重合。 l常见图形的面积A，形心坐标 以及惯性矩Ixccyl上面确定了压力中心D与Ox轴的距离l根据同

19、样的道理，对Oy轴取矩，便可求得l在工程实际中通常作用面总有一个纵向对称轴，则 =0，则l即此情况下压力中心必在纵向对称轴上，而不必另行计算DyDyx C y CDCcIxXyAxCyCIDx CXDx252曲面上的静水总压力 在实际工程中,常遇到受压面是曲面,弧形闸门,桥墩闸门,隧道进口等,这些曲面为二向曲面(柱面) 曲面壁上汇交于力系求合力,各点法线向量不相同是矢量合成问题.解决方法-将合力分解成为两 个分力,将汇交力系变为平行力系 曲面上的静水总压力的计算步骤1）. 计算水平分力 正确绘制曲面的铅垂投影图，求出该投影图的面积及形心深度，然后求出水平分力；2）. 计算铅垂分力 正确绘制曲面

20、的压力体。压力体体积由以下几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、液面或液面的延长线。铅垂分力的大小即为压力体的重量； 3）. 总压力的合成 总压力的大小利用水平分力及铅垂分力通过求合力的方法求得。 la.水平分力Fx l 结论：作用于曲面上的静水总压力F的水平分力Fx等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过面积Az的压强分布图体积的重心。 lb.垂直分力Fzl 式中：Vp 压力体体积 l 结论：作用于曲面上的静水总压力F的铅垂分力Fz等于该曲面上的压力体所包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。 l压力体体积的组

21、成： l（1）受压曲面本身； （2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面；（3）自由液面或自由液面的延长线。 l压力体的种类：实压力体和虚压力体。实压力体Fz方向向下，虚压力体Fz方向向上。如图所示lc . 静水总压力 l作用在曲面上的静水总压力 l与水平面的夹角： 253浮力l 完全浸没于水中或漂浮于水面的物体（前者称为潜体，后者为浮体）也都受静水压力的作用，这个作用力就是与水接触的物体表面上各点静水压强的总和。l 现研究潜体的静水总压力P ,P可分为水平分力Px、Py和垂直分力Pz这三个分力。l1）水平分力l该浸没于液体中的物体在各个水平方向上力彼此抵消，则总压力为零。l2）垂直分力l 所以，浸没在液体中的液体总压力就是铅垂向上的压力，其大小等于物体同体积的液体重量，其作用线通过物体被浸没部分体积的几何中心即浮心。这就是著名的阿基米德原理。铅垂向上的压力Pz称之为浮力。l 注意：阿基米德原理不仅对