数学建模之概率模型

1、第九章第九章 概率模型概率模型9.1 传送系统的效率传送系统的效率9.2 报童的诀窍报童的诀窍9.3 随机存贮策略随机存贮策略9.4 轧钢中的浪费轧钢中的浪费9.5 随机人口模型随机人口模型确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型传送带传送带挂钩挂钩产品产品工作台工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工工人将生

2、产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。背背景景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高率的指标，研究提高传送带效率传送带效率的途径的途径9.1 传送系统的效率传送系统的效率问题分析问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的定工人们的生产周期相同生产周期相同，即每人作完一件产品，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，

3、要么没有空钩经过，迫使他放下这品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的总数的比例比例，作为衡量传送带效率的数量指标。，作为衡量传送带效率的数量指标。 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内并且在一个周期内任一时刻的可能性相同任一时刻的可能性相同。模型假设模型假设1）n个工作台个工作台均匀排列，均匀排

4、列，n个工人生产相互独立，个工人生产相互独立，生产周期是常数；生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是一个周期内是等可能等可能的；的；3）一周期内）一周期内m个均匀排列的挂钩个均匀排列的挂钩通过每一工作台通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只能且只能触到一只挂钩挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。若该钩非空

5、，则这件产品被放下，退出运送系统。模型建立模型建立 定义定义传送带效率传送带效率为一周期内运走的产品数（记作为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数待定）与生产总数 n（已知）之比，记作（已知）之比，记作 D=s /n 若求出一周期内每只挂钩非空的概率若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则，则 s=mp为确定为确定s s，从，从工人工人考虑还是从考虑还是从挂钩挂钩考虑，哪个方便？考虑，哪个方便？ 设每只挂钩为空的概率为设每只挂钩为空的概率为q，则，则 p=1-q如如何何求求概概率率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则，则 q=rn 设每只挂钩被一工人

6、触到的概率为设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则，则 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期内有一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方个挂钩通过每一工作台的上方模型解释模型解释若若(一周期运行的一周期运行的)挂钩数挂钩数m远大于工作台数远大于工作台数n, 则则)2)1(1(12mnnmnnmD 传送带效率传送带效率(一周期内运走一周期内运走产品数与生产总数之比）产品数与生产总数之比）)11(1nmnmD定义定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）一周期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率提高效率的途径：的途径： 增加增加m 习题习题1当

7、当n远大于远大于1时时, E n/2m E与与n成正比，与成正比，与m成反比成反比若若n=10, m=40, D 87.5% mn2119.2 报童的诀窍报童的诀窍问问题题报童售报：报童售报： a (零售价零售价) b(购进价购进价) c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数

8、应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天每天需求量为需求量为 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2准准备备)()(rncbrnrbarnr赔退回赚售出nbannr)( 赚售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-cnndrrnpbadrrprncbr

9、banG0)()()()()()(dndG求解求解将将r视为连续变量视为连续变量概率密度）()()(rprf0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(cbbadrrpdrrpnn)()(0结果解释结果解释nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱ncbnba)(,)(0rp9.3 随机存贮策略随机存贮策略问问题题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；以

10、周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s, S) 存贮策略存贮策略制订下界制订下界s, 上界上界S，当周末库存小于，当周末库存小于s 时订货，时订货，使下周初的库存达到使下周初的库存达到S; 否则，不订货。否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s, S) 存贮策略存贮策略, ,使使( (平均意义下平均意义下) )总费用最小总费用最小模型假设模型假设 每次订货费每次订货费c0, 每件商品购进价每件商品购进价c1,每件商品每件商品一周贮存费一周贮存费c2,每件商品

11、缺货损失费每件商品缺货损失费c3 (c1c3) 每周销售量每周销售量 r 随机、连续，概率密度随机、连续，概率密度 p(r) 周末库存量周末库存量x, 订货量订货量 u, 周初库存量周初库存量 x+u 每周贮存量按每周贮存量按 x+u-r 计计 0)(0),()(10uxLuuxLuccuJxxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(建模与求解建模与求解（s, S) 存贮策略存贮策略0usx确定确定(s, S), 使目标函数使目标函数每周总费用的平均值最小每周总费用的平均值最小平均平均费用费用 订货费订货费c0, 购进价购进价c1, 贮存费贮存费c2, 缺货费缺货费c3, 销

12、售量销售量 r Suxusx, 0s 订货点，订货点， S 订货值订货值12130)()(ccccdrrpdrrpSSuxuxdrrpcdrrpccdudJ0321)()(建模与求解建模与求解1）设）设 xs, 求求 u 使使 J(u) 最小，确定最小，确定SSSdrrpccdrrpcc01321)()()()(Sux01)(drrp0dudJScSc23,建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJSP1P20rp21PP2）对库存）对库存 x，确定订货点确定订货点s)()(101SLxSccJ若订货若订货u

13、, u+x=S, 总费用为总费用为 )(2xLJ 若不订货若不订货, u=0, 总费用为总费用为 12JJ )()(1xIxLxc记)()(0SIcxI订货点订货点 s 是是的最小正根的最小正根建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()()(10SLxSccxL不订货不订货)()(101SLSccxLxc)()(0SIcxI)()(0SIcxI最小正根的最小正根的图解法图解法J(u)在在u+x=S处达到最小处达到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0I(x)在在x=S处达到最小值处达到

14、最小值I(S)I(x)图形图形建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()(1xLxcxIJ(u)与与I(x)相似相似I(S)()(0SIcxI的最小正根的最小正根 s9.4 轧钢中的浪费轧钢中的浪费轧制钢材轧制钢材两道工序两道工序 粗轧粗轧(热轧热轧) 形成钢材的雏形形成钢材的雏形 精轧精轧(冷轧冷轧) 得到钢材规定的长度得到钢材规定的长度粗轧粗轧钢材长度正态分布钢材长度正态分布均值可以调整均值可以调整方差由设备精度确定方差由设备精度确定粗轧钢材长粗轧钢材长度大于规定度大于规定切掉多余切掉多余 部分部分

15、粗轧钢材长粗轧钢材长度小于规定度小于规定整根报废整根报废随机因随机因素影响素影响精轧精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背背景景分析分析设已知精轧后钢材的规定长度为设已知精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为粗轧后钢材长度的均方差为 记粗轧时可以调整的均值为记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作钢材长度为正态随机变量，记作 xN(m, 2)切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率)(lxPP整根报废整根报废的概率的概率)(lxPPPPm,存在最佳的存在最佳的m使总的浪费最小使总的浪费最

16、小lPPPm,0p(概率密度概率密度)mxP mPP lldxxxpdxxplxW)()()(ldxxlpdxxxp)()(建模建模选择合适的目标函数选择合适的目标函数切掉多余部分切掉多余部分的浪费的浪费整根报废整根报废的浪费的浪费总浪费总浪费 =+lPm粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧粗轧N根根成品材成品材 PN根根成品材长度成品材长度l PN总长度总长度mNNlPNmN lPm共浪费长度共浪费长度 mN-lPNlPmPNlPNmN)()(mPmmJ记222)(21)(,)()(mxlexpdxxpmP选择合适的目标函数选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢

17、材平均浪费长度lPmNlPNmN得到一根成品材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数更合适的目标函数优化模型：求优化模型：求m 使使J(m) 最小（已知最小（已知l , ）建模建模粗轧粗轧N根根得成品材得成品材 PN根根,mxylm,)()(J2221)()()(yzeydyyz)()(mPmmJ222)(21)()()(mxlexpdxxpmPz)()()(zzzJ)()(J求解求解求求 z 使使J(z) 最小（已知最小（已知 ） 求解求解)()()(zzzJ0)()()(zzz)(/ )(zzz)()(zz0dzdJ2221)()()(yzeydyyz)(/ )()()(z

18、zzFzzF简表)()()(zzzFz*z例例设设l=2(米米), =20(厘米厘米)，求求 m 使浪费最小。使浪费最小。 =l/ =10z*=-1.78 *= -z*=11.78m*= * =2.36(米米)求解求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)zzF)(1.02.00-1.0-2.0105F(z)z9.5 随机人口模型随机人口模型背景背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个人的出生和死亡是随机事件一个国家

19、或地区一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型对象对象X(t) 时刻时刻 t 的人口的人口, 随机变量随机变量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的变化规律；得到的变化规律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差若若X(t)=n, 对对t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假设的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与出生一人的概率与 t成正比，记成正比，记bn t ;出生二人及二人以上的概率为出生二人及二人以上的概率为o( t).2)死亡

20、一人的概率与死亡一人的概率与 t成正比，记成正比，记dn t ;死亡二人及二人以上的概率为死亡二人及二人以上的概率为o( t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机事件。 bn与与n成正比，记成正比，记bn= n , 出生概率出生概率；dn与与n成正比，记成正比，记dn= n， 死亡概率死亡概率。进一步假设进一步假设模型假设模型假设)()1)()()()(1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn建模建模为得到为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，的变化规律，考察考察Pn(t+ t) =P(X(t + t)=n).事件事件X(t + t)=n的分解的分解X(t)=n-1, t内出生一人内出生一人X(t)=n+1, t内死亡一人内死亡一人X(t)=n, t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡