几种常见的曲面及其方程PPT学习教案

1、会计学1几种常见的曲面及其方程几种常见的曲面及其方程即( , , ),M x y z0000(,)Mxyz由两点间距离公式得特别,当M在原点时,球面方程为定值为 RxyzoM0M表示上(下)球面 .222000()()()xxyyzzR2222000()()()xxyyzzR2222xyzR机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、几种常见的曲面及其方程1.球面222zRxy 第1页/共23页 例1 方程222420 xyzxz 表示怎样的曲面. 解 通过配方，把原方程写成222(2)(1)5.xyz对比（1）式知，它表示球心在点（2,0,-1）,半径为的球面.5第2页/共23页xyz引例. 分

2、析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 222xyR沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面oC在圆C上任取一点 1( , ,0),Mx ylM1M( , , )M x y z点其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 222xyR222xyR222xyR第3页/共23页xyzxyzol平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.22221xyabz 轴的平面.0 xy

3、表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l叫做母线.xyzoo机动 目录 上页 下页 返回 结束 22yx第4页/共23页2l柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线( , )0F x y 方程表示( , )0G y z 方程表示( , )0H z x 方程表示3l机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz1lxxyyzz第5页/共23页定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转

4、轴 .例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共23页故旋转曲面方程为( , , ) ,M x y z当绕 z 轴旋转时,11(,)0f y z111(0,),My zC若点给定 yoz 面上曲线 C: 111(0,)My z( , , )M x y z2211,zzxyy则有22(, )0fxyz则有该点转到( , )0f y z ozyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共23页:( , )0Cf y z oyxz22(,)0fyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共23页例2 将面上的椭圆z分别绕y轴和轴旋转，求所形成的旋转曲面方程。解 绕 轴旋转而成

5、的旋转曲面方程为z即即绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为yxyOzaab222221yxzab222221xyzab22221yzab2222221xyzbab2222221xyzaabyoz第9页/共23页 例3 求面上的抛物线绕x轴旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程中的x不变，换成便得到旋转抛物线的方程为 例4 求面上的直线绕z轴旋转一周而成的圆锥面的方程。 解 所求圆锥面的方程为即xyOzxoy22yzyoz22()xa yz2(0)xaya2xay(0)zky k22zkxy 2222()zkxy第10页/共23页三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面

6、仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. 222AxByCzDxyEyxFzx0GxHyIzJ(二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共23页zyx2222221 ( , ,)xyza b cabc为正数(1)范围：,xaybzc(2)与坐标面的交线：椭圆22221,0 xyabz22221,0yzbcx222210 xzacy机动 目录 上页 下页 返回 结束 黄绿红第12页/共23页2222221xyzabc与11()zzzc的交线为椭圆：1zz(4) 当

7、ab 时为旋转椭球面;同样11()yyyb的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:2222222222111()()abccxyczcz( , ,a b c为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 z11()xxxa第13页/共23页2222xyzpq2.椭圆抛物面( p , q 同号)zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共23页空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ,

8、, )0( , , )0F x y zG x y z221236xyxz第15页/共23页表示上半球面与圆柱面的交线C. yxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 222220zaxyxyax 第16页/共23页zyxo( )( )( )xx tyy tzz t称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线,vt b令2hb的参数方程为上升高度, 称为螺距 .M机动 目录 上页 下页 返回 结束 cossinxatyatzvtcossinxayazb2当时，第17页/共23页例5 设一动点M在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度沿平行于z轴的正方向上升( 都是常数)则点M的几何轨迹叫做

9、螺旋线（图7-34），试图建立其参数方程。解 取时间t为参数，设t=0时动点在处，动点在点处，过点M作xoy面的垂线，则垂足的坐标为由于是动点在时间t内转过的角度，而线段的长是时间t内动点上升的高度，所以经过时间t，得222xyav,v( ,0,0)A a( , , )M x y z( , ,0)Mx yAOM MMMM,AOMtMMvt 第18页/共23页coscos,sinsin,.xaAOMatyaAOMatzMMvt从而因此螺旋线的参数方程为cos,sin,.xatyatzvt第19页/共23页( , )0H x y 消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程( , )00H x yz( , )00R y zx( , )00T x zyzyxCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )0( , , )0F x y zG x y z第20页/共23页zyxC1o222200 xyyz2222221:(1)(1)1xyzCxyz机动 目录 上页