线性代数教学资料线性代数5

1、第 五 次 课v2.3 逆矩阵v目的要求：v1、了解逆矩阵的定义，掌握伴 随矩阵求逆法v2、讲解习题二v一、逆矩阵的定义 若方阵a、b满足等式ab=ba=i，则称矩阵a（或b）可逆，b是a（或a是b）的逆矩阵。记为a1b（或b1a）显然aa1a1aiv1、定义：v注意：（1）a、b、i必为同阶方阵。（2）不是方阵必不可逆。（3）a、b的地位对等，即a、b互为逆矩阵。v例1：0221 a设4223bbaab则v因此，不能判断a、b是否可逆。i466742230221v例2：121011322a设461351341b461351341121011322ab则100010001v故a可逆。12101

2、1322461351341bai100010001baab461351341ba1100010001v例3：单位矩阵可逆，且i-1=iv例4：n阶零方阵不可逆。二、逆矩阵的性质（用定义证）v性质1：若a可逆，则a的逆阵是唯一的这是因为对于任意n阶方阵b有ob=bo=0iv证明：设-1 ab则ba的逆矩阵是唯一的=ba =i=ac=ca=bi =b(ac)=(ba)c =ic =c又设-1 =c v性质2：若a可逆，则a的逆阵也可逆，且(-1 )-1av性质3：若a可逆，则a的转置t也可逆，且 (t )-1= (-1 )tv证明：t(-1 )t(t )-1= (-1)t= (-1)t=it=iv

3、性质4：若a,b可逆，则ab也可逆，且(a b )-1b -1 a -1v证明：(ab)(b-1a-1)=aia-1 (ab)-1= b -1 a -1v由性质可推广到：若a1，a2，,ak为同阶可逆矩阵11121k1k21aaaaaa则= a(b b -1 ) a -1=a a -1=iv性质5：11aa，a则可逆若v性质6：11ak1ka,)0k(ka，a且也可逆则可逆若v证明：1ak1ka1aak1kiv性质7：cb,acab,a,可得则由可逆即可逆矩阵满足消去律v证明：acab由存在可逆1，aav两边左乘a-1acaaba11icibcb v注意：111baba 可逆矩阵的乘积、数量阵

4、乘积都可逆； 但可逆矩阵的和差不一定可逆，即使可逆，在一般情况下，v例5：1001a1001b2002c但均可逆,c,b,a00000ba不可逆3003ca可逆，但i23cai31ca111v例6：3120132111ba已知xbxaa求可逆且,v解：1112a1bxa 方程v 若不知道a是否可逆或不知道a-1是什么？怎么办？1a两边右乘1112312013bax1212225v三、伴随矩阵求逆法1a153132543a的逆v（一）我们来看一个实例v求：ijbb 设有方阵v解：即使得iab 100010001bbbbbbbbb1531325433332312322211312111000100

5、01bb5b3bb5b3bb5b3bb3b2bb3b2bb3b2b5b4b3b5b4b3b5b4b3332313322212312111332313322212312111332313322212312111v 由矩阵乘法和相等定义，可得三个线性方程组：0bb5b30bb3b21b5b4b33121113121113121110531320543322212322212322212bbbbbbbbb1bb5b30bb3b20b5b4b3332313332313332313（2）（1）（3）v用克莱姆法则，得第一个方程组的解：:)3(),2(),1 (的系数行列式为方程组153132543aa1

6、50130541b11801aa11a1513111a103102513b215a053032143b31子式中第一行元素的代数余为行列式其中aa,a,a131211a1312121aa12a53321311aa13a150131540b12a1554) 1(12aa2129a103112503b22a1353aa2218a053132043b32a5343) 1(32aa233v同理：29aab2112182222aab32323aab式第二行元素的代数余子中为行列式 aaaa232221,a151130540b13a113102503b23a153032043b33a1354) 1(13a

7、a3111a1253) 1(23aa327a3243) 1(33aa331v同理：11aab31137aab32231aab3333子式第三行各元素的代数余中为行列式 aa,a,a333231aaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbbbbbba3323132322123121113332312322211312111332313232212312111aaaaaaaaaa1aa1131718511298aaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbbbbbba3323132322123121113332312322211312111332313232212312111aaaaaaaaaa1a

8、a1根据逆矩阵的定义，我们可以探讨矩阵根据逆矩阵的定义，我们可以探讨矩阵a可逆的条可逆的条件，以及可逆矩阵的求法。先引入下述定义。件，以及可逆矩阵的求法。先引入下述定义。v（二）定义：的代数余子式为元素设ijijnnijaa,aatijaa则称tnnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnn2n12n22121n2111aaaaaaaaa的伴随矩阵为 av例7：adcbaa的伴随矩阵求二阶方阵v解：dd1a1111cc1a2112bb1a1221aa1a2222acbdaaaaa22122111v可得如下口决： 主对角元互换，副（次）对角反号（仅限于二阶方阵求伴随矩阵） 求二阶方

9、阵a的伴随矩阵a的方法是把a的主对角元互换，不改变符号，次对角元改变符号，不改变位置v（三）定理：aa1a,a, 0aan1且有是可逆矩阵则的行列式阶方阵如果v证明：有意义aa10annn2n12n22121n2111nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaa aaaaaaaaaaannnn2n2n1n1n2nn22n221n21nnn12n121n11n2nn222n211nn2n222222121n2n122122111n1nn122n111nn1n212221121n1n112121111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

10、aaaaaaaaaaa000a000a100010001aiaaaa1aa1a于是iiaa1v同理：iaaa1aa1a1iaaaaav由此得到两个重要结论：)(a、1一可逆的充分必要条件方阵又称非奇异可逆此时称,a, 0a 又称奇异矩阵不可逆称,a, 0a :、2求逆矩阵的第一种方法伴随矩阵法aa1a1v例8：753431a) 1 ( 判断下列矩阵是否可逆，若可逆求出逆矩阵412513412a)2(221021132a)3(v解：不可逆不是方阵,a) 1 (不可逆方阵aa. 01210810128)2(06221021132) 3(422021a1111221011a2112421211a31

11、13422131a1221521121a2222721321a3223202131a1331101121a2332121321a33333323133222123121111aaaaaaaaa61a616732616531313232v例9：d0000c0000b0000aa设1a求v解：abcddcbaa000000000000不可逆当a, 0abcda0abcda当aa1a,a1且可逆abddbaa000000) 1(3333abccbaa000000) 1(4444bcddcba000000) 1(1111acddcaa000000) 1(2222v问题：abc0000abd0000ac

12、d0000bcdabcd1a1d10000c10000b10000a1一般对角矩阵可逆的充分必要条件是什么？若a可逆，则a-1=?n21aaaav例10：2513a已知312013b132321ccaybxa且yx、求v解：012513a且可逆故，a3512a3512aa181361001等式两端右乘a-1bxa 从而v等式两端左乘a-1cay 对于1323213512y1211510性质8：阶方阵均为若nb,a都可逆与则若ba, iababba11且v证明：iab由两边取行列式iab 01ba可逆a0a 可逆b0b v两边左乘a-1：iaaba11iabaa111a

13、ib1abv两边右乘b-1：11ibabb11ibbba1bav性质9：a1a1v证明：iaa1v两边取行列式iaa11aa1a1a1v性质10：若n阶方阵a可逆，则1naav两边取行列式iaaa 由iaaaiaaan1aaan1naa0aa可逆，证明： v例11：a,a求已知若v解：iaaa 1naa两边取行列式naaa可逆阶矩阵：已知例an12求证：且可逆,a11aav证明：iaaa 0a,a可逆iaaa 对a两边同除以iaaa1v对 两边取行列式可知：可逆a0aiaaa 1)(aiaaa两边右乘11)()(aiaaaaaa1a1iaaa111又aaaaa11111aav 例13 证明：a

14、aa2nv 证明：iaaav 两边同时左乘a：iaaaaa1naaaa已证) 1 (1naaaaa2n 1)a(000n1n00002000010an 14.，求阶方阵已知例iaaa解：由iaaaaa)a(11n00020001) 1(na 1n而)!1n() 1(n1n!n) 1(1na!n) 1(1aa)a(1n1n00n1n00002000010!n1) 1(1n习 题 二v 1、试证奇数阶反对称 矩阵必不可逆反对称矩阵奇数阶阶为设)(nav 证：aataatv 两边取行列式)n(a1an为奇数aa0a20a 不可逆abaab由 2.设a、b均为n阶方阵,且ab=a+b, 证明：证明：则

15、ab=ba.ibaiabiibaab iibibaiiaib 两边取行列式01iaib也可逆可逆ibia, 0abba从而得到abbaba则可逆若,av3、v 证明：也可逆则可逆若阶方阵为设bai,abi,nb,a分二部分abaaabi1baa111baaaa1abaia1abaiaabi从v 两边取行列式1abaiaabi0bai可逆baix,a则存在实数不可逆若可逆使axi v 同理：axibibaxii成立 上式是关于x的n次多项式，有无穷多个解，从而是恒等式，从而令x=00baiabi即永远有可逆baiv 4、设a、b、c为同阶方阵，且c 可逆，满足c-1ac=b为正整数nbcacnn

16、1v 试证：v 证明：bacc1211bacaccc221bcac331bcaccacbn1nv 5、设a是n阶反对称矩阵，b是n阶 对称矩阵，试证：ttt2aaav （1）a2是对称矩阵v 证：已知aatttt2aaa2aaa是对称矩阵2atttbaabbaabv （2）ab-ba是对称矩阵v 证明：ttttbaab baababbabaab是对称矩阵baabv (3) ab是反对称矩阵的充要条件是ab=bav 证明：(必要性,即已知ab=ba,求证ab是反对称 矩阵) 由已知条件知at=-a bt=b ab=ba (ab)t=btat=b(-a)=-ba=-ab ab是反对称矩阵 (充分性,由ab是反对称矩阵,求证ab=ba) 由已知条件知at=-a bt=b (ab) t=-ab ab=-(ab) t=-btat=-b(-a)=bav6.（2）设a，b是两个n阶反对称矩阵证明：ab是对称矩阵的充要条件是ab=ba证明：“必要性”由于已知at=-a,bt=-bab=ba(ab)t=btat=(-b)(-a)=ba=abab是对称矩阵“充分性”由已知at=-a,bt=-b(ab)t=abab= (ab)t=btat=(-b)(-a)=baab