平面向量实用PPT学习教案

1、会计学1平面向量实用平面向量实用1.向量：向量：有方向又有大小的量；有方向又有大小的量；标量：只有大小，没有方向的量。标量：只有大小，没有方向的量。长度、体积、重量、温度、时间长度、体积、重量、温度、时间位移、力、速度、加速度位移、力、速度、加速度2.向量的表示方法：向量的表示方法：小写的英文字母上加箭头来表示，如小写的英文字母上加箭头来表示，如 ，读作向量，读作向量a ；a用两个大写英文字母上加箭头来表示，如用两个大写英文字母上加箭头来表示，如AB， 表示由表示由A到到B的向量，其中的向量，其中A为向量的起点，为向量的起点，B 为向量的终点，读作向量为向量的终点，读作向量AB。几何图形：用有

2、箭头的线段来表示；几何图形：用有箭头的线段来表示；3.向量的模：向量的模： 向量的大小叫作向量的模，记作向量的大小叫作向量的模，记作 或或|aAB4.零向量：零向量： 规定规定模为零模为零的向量叫作零向量；记作的向量叫作零向量；记作0零向量的零向量的方向是不确定的！方向是不确定的！aAB第1页/共63页5.向量相等：向量相等：如果向量如果向量 和和 的的模模相等相等且且方向方向相同相同，那么这两个向量叫作，那么这两个向量叫作相等的向量，相等的向量，ba记作记作ba ab规定：零向量都是相等的。规定：零向量都是相等的。6.负向量：负向量：如果向量如果向量 和和 的的模模相等相等且且方向方向相反相

3、反，那么把向量，那么把向量 叫作叫作向量向量 的负向量，的负向量，baab记作记作ba 显然对于任意的两点显然对于任意的两点A、B，有，有AB= BA 7.平行向量：平行向量：如果向量如果向量 和和 方向相同或相反，那么这两个向量叫作平行方向相同或相反，那么这两个向量叫作平行向量向量(共线向量共线向量)ba记作记作ba/0可根据需要确定其方向，因此可根据需要确定其方向，因此 可看作与任意向量平行可看作与任意向量平行0第2页/共63页两个平行向量的加法：两个平行向量的加法：方向相同：模相加，方向与原来两个向量的方向相同：模相加，方向与原来两个向量的方向相同。方向相同。方向相反：模为两个向量模之差

4、的绝对值，方向相反：模为两个向量模之差的绝对值， 方向与模较大的向量相同。方向与模较大的向量相同。abba cabba c第3页/共63页两个不平行的非零向量的加法：两个不平行的非零向量的加法：abOABCcba 以以O为起点，作为起点，作bOBaOA ,以以 为为邻边邻边作平行四边形作平行四边形OACBOBOA,则平行四边形的对角线所表示的向量则平行四边形的对角线所表示的向量cOC 就叫做向量就叫做向量 和和 的的和和，记作，记作abbac 求向量和的运算，叫做求向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法.向量加法的平向量加法的平行四边形法则：行四边形法则：第4页/共63页两个不平行的非零向量的

5、和：两个不平行的非零向量的和：以以O为起点，作为起点，作bACaOA ,则在三角形则在三角形OAC中向量中向量cOC 且且bac 向量加法的向量加法的三角形法则：三角形法则：babOABCcba baOCcba Ab第5页/共63页两个不平行的非零向量的加法：两个不平行的非零向量的加法：abOABCcba baOCcba Ab三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则abba )()(cbacba 向量加法的运算律：向量加法的运算律：第6页/共63页 如果如果 ， 是同一平面内的两个不平行向量，是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量 ,有且

6、只有一有且只有一对实数对实数 ，使，使 。1ea 2e12, 1 122aee 平面向量分解定理平面向量分解定理: :我们把不平行的向量我们把不平行的向量 叫做这一个平面内所有向叫做这一个平面内所有向量的一组基。量的一组基。12e ,e 第7页/共63页oxyAB),(11yx),(22yx根据两点之间的距离公式可知：根据两点之间的距离公式可知：212212)()(|yyxxAB C将向量将向量 的起点置于坐标原点的起点置于坐标原点，作作 ，OCAB AB称称 为为位置向量位置向量。OC方向与方向与 x 轴和轴和 y 轴正方向相同的两个单位向量叫作基轴正方向相同的两个单位向量叫作基本单位向量，

7、记为本单位向量，记为 .ji,ij第8页/共63页ABoxy),(11yx),(22yxC),(yx如何用如何用 来表示向量来表示向量 ？ji,OCMNijONOMOC ixOM jyON jyixOC 将有序实数对将有序实数对 称为称为向量向量 的坐标的坐标，记为，记为yx,OC),(yxOC ( , )x y点点C位置向量位置向量OC 向量向量a 向量的正交分解向量的正交分解第9页/共63页向量的坐标运算向量的坐标运算是实数，是实数， 向量向量),(),(2211yxbyxa jyixa11 jyixb22 jyyixxba)()(2121 jyyixxba)()(2121 jyixa11

8、 ),(2121yyxxba ),(2121yyxxba ),(11yxa 特别地，零向量：特别地，零向量：)0 , 0(0 第10页/共63页向量向量 的负向量：的负向量：a 11ax , y 且有且有)0 , 0()( aa向量向量 的模：的模：a2211|a |xy 向量向量 的单位向量的单位向量 ：a0a11022221111xya,xyxy 向量的坐标运算向量的坐标运算第11页/共63页 定义实数定义实数 与向量与向量 的乘积是一个的乘积是一个向量向量，记作，记作aa 对对 的模和方向作如下规定：的模和方向作如下规定：a (1)|aa (2)当当 时，时， 与与 的方向的方向相同相同

9、； 当当 时，时， 与与 的方向的方向相反相反； 当当 时，时， 为为零向量零向量。0 a aa aa 0 0 规定：任意实数规定：任意实数 与零向量的乘积为零向量。与零向量的乘积为零向量。 00 第12页/共63页实数与向量乘积的运算律：实数与向量乘积的运算律：baba )()1(aaa )()2(aa)()()3( 第13页/共63页实数与向量乘积的几何意义：实数与向量乘积的几何意义：由实数和向量乘积的定义可知，向量由实数和向量乘积的定义可知，向量 与向量与向量 平行平行。a a反之，若两个非零向量反之，若两个非零向量 与与 相互平行，是否存在唯一相互平行，是否存在唯一的非零实数使的非零实

10、数使 ？abab (1)向量向量 同方向同方向时，时，ba,(2)向量向量 反方向反方向时，时，ba,|ab |ab 两个非零向量两个非零向量 与与 平行的充要条件：平行的充要条件：abab 存在非零实数存在非零实数 ，使，使 第14页/共63页定义实数定义实数 与向量与向量 的乘积是一个的乘积是一个向量向量，记作，记作 aa (1)|aa (2)当当 时，时， 与与 的方向的方向相同相同； 当当 时，时， 与与 的方向的方向相反相反； 当当 时，时， 为为零向量零向量。0 a aa aa 0 0 规定：任意实数规定：任意实数 与零向量的乘积为零向量。与零向量的乘积为零向量。 00 两个非零向

11、量两个非零向量 与与 平行的充要条件：平行的充要条件：abab 存在非零实数存在非零实数 ，使，使 第15页/共63页任给平面内的两个非零向量任给平面内的两个非零向量, a b a b 将它们的起点移到同一点将它们的起点移到同一点O作作,OAa OBb OBAa 则射线则射线OA，OB的夹角的夹角 叫做叫做向量向量与向量与向量 的夹角。的夹角。b 的取值范围的取值范围 00 向量向量 和向量和向量 方向相同方向相同ab 向量向量 和向量和向量 方向相反方向相反ab2 向量向量 和向量和向量 垂直垂直，记，记abba 向量的夹角：向量的夹角：平行平行第16页/共63页向量的数量积向量的数量积如果

12、两个非零向量如果两个非零向量 的夹角为的夹角为ba,）（ 0 那么我们把那么我们把 叫作叫作向量向量 与向量与向量 的数量积的数量积（或（或内积内积） cos|baab记作记作 cos|baba 符号为符号为 不能写为不能写为 第17页/共63页数量积的运算性质：数量积的运算性质：0|12 aaa）（2a bb a （ ）（ ）3()()()ababa b （ ）（ ）4()abca ba c （ ）（ ）当且仅当当且仅当 时，时，0a a 0a 第18页/共63页向量的数量积：向量的数量积：,a b 记作记作|cosab 一般地，两个非零向量一般地，两个非零向量 、 的夹角为的夹角为 ，那么

13、我们把那么我们把 叫做叫做向量向量 与向量与向量 的数量积的数量积，aba b (0) |cos .a bab 即即000.ba 规定：规定：把把 叫做向量叫做向量 在向量在向量 的方向上的投影。的方向上的投影。|cosb a b 因此，数量积因此，数量积 的几何意义是：的几何意义是：a b |cosb a 两个向量两个向量 、 的数量积是其中的一个向量的数量积是其中的一个向量 的模与的模与另一个向量另一个向量 在向量在向量 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积。的乘积。a b b a cos.|a bab 第19页/共63页根据向量的数量积的定义，数量积的运算满足下列性质：根据向量的数量积的

14、定义，数量积的运算满足下列性质：22(1)| ;aa aa (2);a bb a (3) ()()();()ababa bR (4)().abca ba c 00;a aa 222(5) ()2abaa bb 22|2| |cos| .aabb (6)()()ab ca bc ? 0,aba b /|.aba bab 对于两个非零向量对于两个非零向量 与与 有：有：ab第20页/共63页任给平面内的两个向量任给平面内的两个向量 其数量积为其数量积为ba, cos|baba ),(),(2211yxbyxa jyixa11 22bx iy j)()(2211jyixjyixba 22112212

15、21)(jyyjiyxyxixx 2121yyxxba 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和第21页/共63页已知已知P是直线是直线 P1P2 上一点，且上一点，且 （ 为任意为任意实数，且实数，且 ），），P1、P2 的坐标分别为的坐标分别为 ，求点求点 P 的坐标的坐标 。12P PPP 1 1122(,),(,)xyxy( , )x y12P PPP 1212()()xxxxyyyy 121211xxxyyy 线段线段P1P2的的定比分点公式定比分点公式当当 时，时，P 恰为中点，则有恰为中点，则有1 121222xxxyyy 中点公式中点

16、公式.第22页/共63页例例1:已知已知 ,求求:(1)m的取值范围的取值范围;(2) 的最值的最值;(3)当当m=6时时, 与与 的夹角的夹角.mba3,3b,2a b2a ab222693bbaaba cos3645 81936452,cos m 93, m222442bbaaba 64162440,cos .minmax4282 bababababa222 =84=第23页/共63页例例2：设函数：设函数 ，其中，其中(1)求求f(x)的最值。若的最值。若 ，求，求a；(2)若函数若函数 的图象按向量的图象按向量平移后得到函数平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数的图象，求实数m,n的

17、值。的值。 baxf 12,cos xa Rxxxb ,sin,cos23 31 afxy22sin 2mnmc,1622 xsin xxxxf232sincoscos 13 minmax,xfxf 311622 aafsin2362 asinZkorkka,1254第24页/共63页例例2：设函数：设函数 ，其中，其中(1)求求f(x)的最值。若的最值。若 ，求，求a；(2)若函数若函数 的图象按向量的图象按向量平移后得到函数平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数的图象，求实数m,n的值。的值。 baxf 12,cos xa Rxxxb ,sin,cos23 31 afxy22sin 2m

18、nmc, nmxy 22sin nmxa 2221622sinsin1 n2 m12 m第25页/共63页例例3：已知：已知 的顶点坐标为的顶点坐标为A(1,0),B(5,8),C(7,-4)，在边，在边AB上有一点上有一点P,其横坐标为其横坐标为4，在边，在边AC上求一点上求一点Q，使线段，使线段PQ把把 分成面积相等分成面积相等的两部分。的两部分。ABC ABC 直线直线AB的方程：的方程：y=2(x-1)点点P（4，6） 4684 ,ACAB651 BACcosBACACABSABC sin2132 yxQ,直线直线AC的方程：的方程：y=-2/3(x-1) 132xxQ,ABCAPQS

19、S 21BACAQAP sin21161334 AQxx35 ,x第26页/共63页PM例例4：已知点：已知点M(-1,0),N(1,0)，且点，且点P使使 成公差小于零的等差数列。成公差小于零的等差数列。（1）求点）求点P的横坐标所满足的方程。的横坐标所满足的方程。（2）若）若 为为 与与 的夹角，求的夹角，求 的取值范围。的取值范围。PNNMPNPMMNMP ,PN 22021 xyxMNMP, 1,1, 122yxyxyxPNPM 22102 xyxNPNM, 12222222 yxxx322 yx 02222221 xxxd 0 x第27页/共63页PM例例4

20、：已知点：已知点M(-1,0),N(1,0)，且点，且点P使使 成公差小于零的等差数列。成公差小于零的等差数列。（1）求点）求点P的横坐标所满足的方程。的横坐标所满足的方程。（2）若）若 为为 与与 的夹角，求的夹角，求 的取值范围。的取值范围。PNNMPNPMMNMP ,PN yxPN ,1 yxPM ,1241xPNPMPNPM cos30 x 121,cos30 第28页/共63页例例1 e1、e2不共线，不共线，a=e1+e2 b=3e13e2 a与与b是否共线。是否共线。解：假设解：假设,a与与b共线则共线则 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 这样这样

21、不存在。不存在。 a与与b不共线。不共线。典型例题分析典型例题分析:第29页/共63页例例2 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则共线则k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1第30页/共63页解：解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b例例3、 已知已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)，用，用a、

22、b表示表示c。第31页/共63页解：设解：设a =(x,y) 则则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)例例4、 |a|=10 b=(3,-4)且且ab求求a第32页/共63页解：解：法法1 a=(x1y1) b=(x2,y2) x12+y12=1 x22+y22=1 3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9 x1x2+y1y2= 3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2) |3a

23、+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2 =9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12(3a+b)=2331例例5、 设设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则则|3a+b|=_第33页/共63页法法2 9=9a2+4b2-12ab ab= 又又,(3a+b)2=9a2+b2+6ab=12 |3a+b|=2313第34页/共63页212121,60 ?2,32?.oe eaeebeeab 例6、设为两个单位向量?且夹角为若求 与 的夹角解：解： 22222121211222244aeeeeee ee 222112144cos604 14 1 1172ee

24、ee 7a同理可得同理可得 7b22121211227232622a beeeeee ee 712cos277a bab =120第35页/共63页7123 21323abkkababkabab 例 、已知（， ）， （， ），当为何值时，（）与垂直？（ ）与平行？平行时它们是 同向还是反向？第36页/共63页8. 0,(cos ,sin ),aabcabc例若向量则 与 一定满足( )以上都不对以上都不对 D. )()( C.0 B. A.cbcbcbab 第37页/共63页8. 0,(cos ,sin ),aabcabc例若向量则 与 一定满足( ).()(0)(1sincos, 1222

25、2cbcbcbcbcbcb 解解 答案答案 C第38页/共63页9. , _.ABCOA OBOB OCOC OAOABC 例已知在中则 是的心第39页/共63页 9. , _.ABCOA OBOB OCOC OAOABC 例已知在中则 是的心 解解 ()0, 0,.OA OBOB OCOBOAOCOB CAOBCAOCAB OABCOABC 由得：即同理故 是的垂心第40页/共63页.,)( )2( ),(sin2 )2( )(, 0 )1( . 1)( ),R( )2sin3,(cos ),1 ,cos2( 的值的值求实数求实数象象的图的图平移后得平移后得的图象按向量的图象按向量将将减区间

26、；减区间；的单调递的单调递试求试求若若记记设设nmxfymnmcxyxfxbaxfxxxbxa 例例1010第41页/共63页.32,6)( 32623622613626,0)62sin(2)2cos212sin23(22cos2sin31)(,2sin3cos2(1) 2 的单调递减区间为的单调递减区间为故故即即由由xfxxxxxxxxxbaxfxxba 解析解析 第42页/共63页. 0,12062:)62sin(2)22sin(2)(2sin22sin2: (2) nmnmxynmxymxnyxynyymxxnyymxx 比较得比较得与与得：得：代入代入得得由由第43页/共63页.)(,

27、 2, )2005( 的最小值的最小值求求若若上的一个动点上的一个动点是为中线是为中线中中在在年江苏卷年江苏卷OCOBOAAMAMOABC 例例1111第44页/共63页.)(, 2, )2005( 的最小值的最小值求求若若上的一个动点上的一个动点是为中线是为中线中中在在年江苏卷年江苏卷OCOBOAAMAMOABC 例例1111OMOAOMOAOMOAOCOBOAOMOCOB2180cos22)(2 解析解析 第45页/共63页. 2)(2)(.1)2(, 22 最小值为最小值为即即时取等号时取等号当且仅当当且仅当即即OCOBOAOCOBOAOMOAOMOAOMOAOMOA第46页/共63页.

28、,16)( ,)6, 1( )2( )( )1( .10,)3( , 1 2的范围的范围求实数求实数恒成立恒成立不等式不等式时时若若定义域；定义域；及其及其的函数的函数关于关于求求且且若若满足满足、及实数及实数、已知向量已知向量mmxxfxxfyxycdcbabxaydbxacbayxdcba 例例1212第47页/共63页66,10106,10106)3()3(2, 1, 0, (1) 2424222222 xxxcxxbxbaxacccbababa解得解得又又 解析解析 第48页/共63页.6,6,3)(3, 033)3()3()3(0,333322222 其定义域为其定义域为的函数关系式

29、为：的函数关系式为：关于关于故故即即而而又又xxxfyxyxxyxxyxxybxxbaxxaybxaybxadcdcdc第49页/共63页222223)42)(2(2162)( ,16)(,163.163,16)(61 )2( xxxxxxxgxxxgxxmmxxxmxxfx 则则令令亦即：亦即：恒成立恒成立即使即使恒成立恒成立时时为使为使第50页/共63页. 9,123122162)2()(, 2.)6, 2(,)2 , 1()(0)(,620)(,212 mmgxgxxgxgxxgx即即达到最小值达到最小值上递增上递增在在上递减上递减在在时时当当时时当当第51页/共63页练习练习一、选择题

30、：一、选择题：1、如图所示，如图所示，G为为ABC的重心，则的重心，则GA+GB-GC等于（等于（D） A. 0 B. GE C. 4GDD. 4GF2、若若a=(,2)，b=(-3,5)，且，且a与与b的的夹角为钝角，则夹角为钝角，则的取值范围是的取值范围是(A) A. B. C. D.3、已知已知|a|=18,|b|=1,ab=-9，则，则a和和b的夹角的夹角是（是（A） A.120。 B.150。 C.60。 D.30。310310310310ABDCGFE第52页/共63页4、已知已知|a|=|b|=1,a与与b的夹角为的夹角为90。，c=2a+3b,d=ka-4b,cd,k=（）（）

31、 A. -6B. 6C. 3D. -35、设点设点A(a,b),B(c,d)，若径平移得，若径平移得A(2a,2b)，那么，那么B点之新坐标为（）点之新坐标为（） A. (2c,2d) B. (a+c,b+d) C. (a+2c,b+2d) D. (2a+c,2b+d)6、已知已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33，则则a与与b的夹角为（）的夹角为（） A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。7.若若|a-b|= ,|a|=4,|b|=5,则则ab=( ) A.10 B.-10 C.10 D.1033232041第53页/共63页8、已知已知ABC中中,AB

32、=a,AC=b,ab0，SABC= ,|a|=3,|b|=5,则则a与与b的夹的夹角为（）角为（） A.30。B.-150。C.150。D.30。或或150。9、若点若点P分分AB所成的比为所成的比为 ，则，则A分分BP所成的比是（）所成的比是（） A. B. C. - D. -10、在在ABC中，三内角中，三内角A,B,C对应对应的三边分别为的三边分别为a,b,c,已知已知c=3,C=60。,a+b=5，则，则cos 的值是（）的值是（） A. B. C. D.41543733737732BA125654332第54页/共63页11、在在ABC中中,若若(a+c)(a-c)=b(b+c),则

33、则A=（）（） A.30。 B.60。 C.120。 D.150。12、在在ABC中，已知角中，已知角A、B、C的对边分别是的对边分别是a、b、c，且，且3b= asinB,cosB=cosC，则，则ABC的形状是（）的形状是（） A.直角三角形直角三角形 B.等腰三角形等腰三角形 C.等边三角形等边三角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形3第55页/共63页二、填空题：二、填空题：13、设设a=(m+1)e1-3e2,b=e1+(m-1)e2,若若(a+b)(a-b),那么那么m=_。14、单位向量单位向量e1,e2的夹角为的夹角为60。，则，则(e1-2e2)(-2e1+3e2)=_。15、在在ABC中，若中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则则A=_。16、在在ABC中，中，a,b,c分别是角分别是角A，B，C的对边长，若的对边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，则，则C=_。第56页/共63页三、解答题：三、解答题：1