D1随机事件与概率

1、随机事件与概率随机事件及其运算随机事件及其运算随机事件的概率随机事件的概率条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性第一章NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编 第一章 随机事件及其运算第一节一、基本概念一、基本概念二、事件之间的关系二、事件之间的关系 三、三、事件之间的运算事件之间的运算四、四、事件的运算律事件的运算律NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编1. .加法原理加法原理: :2. .乘法原理乘法原理: : (1,2,)in

2、 imL12+ mnnnL如果完成某件事有m 种途径, 而每种途径有种不同的方法, 那么完成该件事共种不同的方法. in12 mnnnL有如果完成某件事须经过 m 个步骤, 而完成每个步骤分别有种不同的方法, 那么完成该件事共有种不同的方法.3. .重复排列重复排列: : 从 n 个不同的元素中任意取出 r 个元素(1rn),按照一定顺序允许重复出现排成一列, 称为从n 个元素取出 r 个元素的重复排列,rn .排列总数为预备知识预备知识NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编4. .选排列选排列: :预备知识预备知

3、识,rnArnA (1) (2)(1)nnnnrL从 n 个不同的元素中任取出 r 个(1rn)元素按照一定顺序不重复地排成一列,称为从 n 个元素中取出r 个元素的选排列, 记为且有5. .全排列全排列: :,nPr = n 的选排列称为全排列, 记为且有!nPn(1)2 1nn 6. .组合组合: :,rnCrrnnrACP(1) (2)(1)(1) (2)2 1nnnnrrrr 从 n 个不同的元素中任意取出 r 个(0rn)元素组成一组(不考虑次序),称为从 n 个元素中取出r个元素的一个组合,记为且有NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事

4、件与概率概率统计电子教案 薛震 编1. .确定性现象与不确定性现象确定性现象与不确定性现象2. .随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性不确定性现象不确定性现象:(随机现象随机现象)确定性现象确定性现象: 每天早晨太阳从东方升起; 水在标准大气压下加温到100oC沸腾; 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ 一天内进入某超市的顾客数.规律性称之为统计规律性.这种随机现象的各种结果会表现出一定的规律性,一、基本概念一、基本概念NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编3. .随机试验随机试验: :( (E) )可重复进行结

5、果有多个每一次试验的结果是不可预言的,由随机试验的一切可能结果组成的一个集合. 其每个元素称为样本点.4.样本空间样本空间:结果试验前已知对随机现象进行观察或试验.但所有可能NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编E1: 将一枚硬币连抛两次,考虑正反面出现的情况;E2:掷一颗均匀骰子, 考虑可能出现的点数;记录某网站一分钟内受到的点击次数;E3:例例1.记录他的身高(m)和体重(kg).E4:任选一人,1 (正,正),(正,反), (反,正),(反,反)30 1 2 ， ，21,2,3, 4,5, 6 4,03, 0

6、400h ghg 写出下列试验的样本空间.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编注注: 样本空间是一个集合;对于一个随机试验而言, 样本空间并不唯一.例如例如: :掷两枚均匀的骰子一次,若试验目的是观察出现的点数和:22,3,4,12 . 若实验的目的是观察所有可能出现的结果:11,1 ,1,6 ,6,1 ,6,6; NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编6. 事件的发生事件的发生: 7. 必然事件与必然事件与不可能事件不可能事件: :

7、事件 集合5. 随机事件：随机事件： 样本空间的某个子集.例如例如: :在掷骰子试验中,事件A:出现偶数点2, 4, 6A基本事件：复合事件：由一个样本点构成的集合由多个样本点构成的集合 ,A B C 发生A所包含的某一个样本点出现ANORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编二、事件之间的关系二、事件之间的关系2. .事件的相等事件的相等: :1.事件的包含事件的包含: :3. .事件的互斥事件的互斥: :( (互不相容互不相容) )ABABA与B不能同时发生,注注: 基本事件之间是互斥的; 与任何事件互斥.A 发生必

8、然导致B发生,与B互斥.AB 即ABAB ,AB若有则称A则称A包含于B.ABABNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编三、事件的运算三、事件的运算1. .和和: :( (并并) ) ABABAB或2. .积积: :( (交交) ) ABABAB且注注: 和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.A,B中至少有一个发生的事件.A ,B 同时发生的事件.ABBAABBANORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编4. .逆逆: :( (对立

9、事件对立事件) )称 A与B互逆.注注:事件互斥与互逆的区别ABAB ABAB且注注:()ABCABCABAAB3. .差差: : A发生而B不发生的事件, 若A,B互斥,若A与B满足 ,AB 且AB ABBABABA,ABABAB则称为A与B的差.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编四、事件的运算律四、事件的运算律3. .对偶律：对偶律：ABAB（积的逆逆的和）（和的逆逆的积）ABAB2. .分配律：分配律：ABCABACABCABAC1. .交换律、结合律交换律、结合律: :( (略略) )NORTH UNI

10、VERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编例例2. 用A、B、C的运算关系表示下列各事件:三个事件中至少一个发生: ABC没有一个事件发生: ABCABC（由对偶律） 恰有一个事件发生: ABCABCABC至多有两个事件发生: ABC（考虑其对立事件） 至少有两个事件发生: ABBCCAABCABCABCABCABC不能从字面上理解事件的对立.注注: :NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编 第一章 随机事件的概率第二节一、概率的统计定义一、概率的统计定义二

11、、古典概率二、古典概率 三、三、几何概率几何概率 四、四、概率的性质概率的性质NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编引引 言言概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征,通常用P(A) 来表示事件A发生的可能性大小.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编一、概率的统计定义一、概率的统计定义1. .频率频率: : 定义定义1:在相同的条件下重复进行了N次试验,若A发生了 次,( )NFAN则称 为A在N次试验中出现的频率.独立重复地做N次

12、试验,2. .概率的统计定义概率的统计定义: : 定义定义2: :发生的频率稳定地在某一数值p 附近摆动,生的概率.当N很大时,若事件A则称p 为A发注注: :概率是确定的,而频率与试验次数有关.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编二、古典概率二、古典概率有限性等可能性1. .古典型随机试验古典型随机试验: :2. .古典概率的定义：古典概率的定义： 若事件 中含有 个样本点,A)(nkk则称 为 发生的概率,nkA定义定义3:1,2,.,n 设古典型试验的样本空间为记为( )kP AnA中的样本点个数中的样本点

13、个数NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编例例1. .从编号为110的10个同样的球中任取一个,解解: 由题意知,问题归结为古典概率的计算,包含的样本点个数:11010CA包含的样本点个数:1则B包含的样本点个数:5则( )1/10P A ( )5/101/2P B B=抽到奇数号球的概率.A=抽到2号球，求NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编例例2. .掷两枚均匀的骰子一次,求出现点数和为8的概率.解解: 1,1 ,1,6 ,6,1

14、 ,6,6 包含的样本点个数:2636设A=出现点数和为8,则A包含的样本点个数: 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2A5思考思考: :能否取2,3, 4,12 , 为什么?( (不能，因为基本事件不是等可能的不能，因为基本事件不是等可能的) )( )5/36P A NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编解解: 1221146252212( )/16/33P AC C C C CC设 A=恰有一双配对,则4111146222212( )1( )1/17/33P BP BC C C C CC 或

15、1221122246252262212( )()/17/33P BC C C C CC C CC求：至少有一双配对的概率.例例3. .(2)设B=至少有两只鞋子配成一双,则其中恰有一双配对的概率；从6双不同的鞋子中任取4只，NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编不能，因为取到两双部分重复了一次，1222226210622C C CC C C某一次取法：1262C C第3双，210C第4双另一次取法：1262C C第4双，210C第3双B包含的样本点个数应为思考思考: : B包含的样本点个数能否为1226210,C

16、C C为什么?比如：2. .古典概率的性质古典概率的性质: :0)(AP1)(P非负性：对任意A，规范性：0)(P)(1)(APAP可加性：若A和B互斥，)()()(BPAPBAP则重复！重复！NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编三、几何概率三、几何概率无限性等可能性1. .几何型随机试验几何型随机试验: :2. .几何概率的定义：几何概率的定义： 在几何型随机试验中,( )P AA的测度(长度,面积,体积)的测度(长度,面积,体积)定义事件A发生的概率为NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第

17、一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编例例4. .如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,若在海域里随意选取一点钻探,解解: : 由题意知,设A=钻到石油, 则40( )50000P A 问钻到石油的概率是多少？问题归结为几何概率的计算,NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编则会面的充要条件这是一几何概率问题,(7点设为零时刻),22260405960P所求概率点为图中阴影部分,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,例例5.（会面问题会面问题） 两人相约7点

18、到8点在先到者等候另一人20分钟后就试求这两人能会面的概率？解解: :以 分别表示两人到达时刻, x y能会面的20 xy为,xyo20602060可离去，某地会面，NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编四、概率的性质四、概率的性质(1)有限可加性：有限可加性：是 n 个两两互不相容的事件，设12,nA AA,(), ,1,2, ,ijA Aij i jn即则有(3)单调性：单调性：(2)事件差：事件差：A,B是两个事件,则( )( )P AP B;若事件AB,1212()()()()nnP AAAP AP AP

19、A;()( )()P ABP AP AB;则NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编(4)加法公式：加法公式：对任意两事件, ,A B有()( )( )()P ABP AP BP AB该公式可推广到任意n个事件12,nA AA的情形.(5)互补性：互补性：(6)可分性：可分性：对任意两事件, ,A B有( )()()P AP ABP AB注注: :( )1( )P AP A ;NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编( )1/2,P A (

20、 )3/10,P B 故(1)()( )( )()P ABP AP BP AB()1/10,P AB 7/10(2)()1()P ABP ABP AB 3/10(3)()( )()P ABP AP AB2/5例例6.(1)取到的数能被2或3整除的概率;(2)取到的数即不能被2也不能被3整除的概率;(3)取到的数能被2整除而不能被3整除的概率. .B=能被3整除,解解: :设A=取到的数能被2整除,则求在110这10个自然数中任取一数,NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编例例7.个数字之积能被10整除的概率?从1-

21、9九个数字中有放回的取出n个数字, 求这n解解: : 设A=取出的这n个数字中含有数字5,B=取出的这n个数字中含有偶数字,则()P AB1 ( )( )()P AP BP AB 1()P AB 1()P AB 8541999nnnnnn NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编 第一章 条件概率与事件的独立性第三节一、条件概率一、条件概率二、乘法公式二、乘法公式三、三、全概率公式及贝叶斯公式全概率公式及贝叶斯公式 四、四、事件的相互独立性事件的相互独立性NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章

22、 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编某事件的发生对另一事件的发生是否产生影响?则,bb gg bg gb A:“家中至少有一个女孩”,B:“家中至少有一个男孩”从而 3,4P A 3,4P B 2142P AB 2|3P A B 1/223/43P ABP B引引 言言已知某家庭中有两个孩子,引例引例: :NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编1. .定义定义: :且 , ( )0P B 称()(|)( )P ABP A BP B为在B发生的条件下A发生的条件概率.注注: : 时,( )0P B

23、 无意义.(|)P A B(|)( )P AP AP AP 对于事件A,B,一、条件概率一、条件概率NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编2.性质性质: :(|)0;PB(|)1(|);P A BP A B 121212(|)(|)(|)(|)P AABP ABP ABP A ABNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编例例1. .第二次抽到次品的概率.设10件产品中有3件次品,现无放回的抽取2件,在第一次抽到次品的条件下,解解: :则i

24、A 第i 次抽到次品,21(|)P AA注注: :区分条件概率与两事件同时发生概率的不同.求1 21()()P A AP A3210931029NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编二、乘法公式二、乘法公式设,A B 若( )0,P B 则()( )(|).P ABP BP A B若( )0,P A 则()( )(|).P ABP AP B A一般地,设12,nA AA 1 21()0,nP A AA若则1 2()nP A AA12131 211() (|) (|)(|)nnP A P AA P AA AP AAA

25、NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编设口袋中有a只白球、b只黑球，第二次取出的是白球的概率.解解: :iA 第i次取到白球, i=1,2则1A 第1次取到黑球,2()P A211P AAA1212P A AA A1212P A AP A A 121121|P A P AAP A P AA2P A(验证抓阄的科学性)例例2. .无放回取球， 求NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编111aabaab abab abaab1P A类似地:

26、kaP Aab1, 2,kab2()P A 121121|P A P AAP A P AANORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编盒子里有n个球，问第i个人取到黑球的概率.解解: :iA 第i个人摸到黑球, i=1,2,n212()()P AP A A121() (|)P A P AA1()1/P An111nnn1n()nP A12131 211() (|) (|)(|)nnP A P AA P AA AP AAA1 21()nnP A AAA(摸奖问题)例例3. .n个人其中n-1个白球，1个黑球.依次取一个球,

27、不放回.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编123112(1)nnnnnnnn1n12131 211() (|) (|)(|)nnP A P AA P AA AP AAA1lim0nn( (摸到大奖的概率几乎为摸到大奖的概率几乎为0)0)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编1( );niiiA 三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式1A2A3A1nAnA完备事件组).如:,A A构成完备事件组1. .完备事件组完备事件

28、组: :若满足：事件组，12,nA AA( ),(), ,1,2,., .ijii A Aiji jn 则称 为 的一个分割12,nA AA(或称为 的一个NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编2.全概率公式全概率公式:1A2A3A1nAnA且()0iP A 1,2,.in有称为全概率公式.B1( )niiP BP A B1niiiP A P B A则对,B 设12,nA AA是 的一个分割,NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编112

29、233() (|)() (|)() (|)P A P B AP A P B AP A P B A2500200015000.050.030.013.3600060006000123( )()()()P BP ABP A BP A B例例4. .设某工厂有三个车间, 生产同一种产品,解：解： 设B表示取到得产品为次品；iA表示取到第i个车间的产品.一二三次品率:0.050.030.01产量:250020001500混合后从中任取一件,求该产品为次品的概率.1,2,3i NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编3.贝叶斯

30、公式：贝叶斯公式：()(|)( )jjP A BP ABP B称为贝叶斯公式(或逆全概率公式).且()0iP A 1,2,.in有则对,B 1() (|),(1,., )() (|)jjniiiP AP B AjnP A P B A12,nA AA是 的一设若, 0)(BP贝叶斯贝叶斯个分割,NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编例例5.临床上统计患非典的可能性分别为“仅发热”0.03,“仅干咳”0.01,“既发热又干咳”0.05,“无上述现象”0.0001现对某疫区25000人检查发现： “仅发热”500人，“仅

31、干咳”1000人，“既发热又干咳”250人，疫区中任取一人，他为“非典”患者的概率;“非典”患者中临床表现为“仅发热”病人的概率.检验“非典”：求NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编C=既发热又干咳的病人, D=无明显症状的人，E=得了“非典”由全概率公式得： |P EP A P E AP B P E B |P C P E CP D P E D5000.030.00159325000由贝叶斯公式得： ( ) (|)(|)P A P E AP A EP E5000.03250000.001593解：解： 设A=仅发

32、热的病人， B=仅干咳的病人，NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编已知例例6. 商店论箱出售玻璃杯， 每箱20只， 其中每箱含有0,1,2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1， 某顾客选中一箱,从中任选4只检查，结果都是好的， 便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解: 设 A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.分别表示事件每箱含0,1,2只次品,012,B B B0()0.8,P B1()0.1,P B2()0.1,P BNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随

33、机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编由贝叶斯公式:11120()(|)(|)()(|)iiiP BP A BP BAP BP A B0.08480(|)1P A B41914204(|)5CP A BC418242012(|)19CP A BCNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编全概率公式与贝叶斯公式说明：全概率公式与贝叶斯公式说明：令iA-“原因”,B-“结果”,则iP A-第i 种原因发生的概率.|iP B A-原因iA引起结果B发生的可能性大小.导致该结果出现的可能性大小.它是由某原因引起的

34、可能性大小.全概率公式全概率公式: :综合引起结果的各种原因，贝叶斯公式贝叶斯公式: :当结果出现时，NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编四、事件的相互独立性四、事件的相互独立性1、两事件独立、两事件独立定义定义1:,A B两个事件满足若()( ) ( ),P ABP A P B则称事件A与B相互独立.注：注：, 与任何事件相互独立;事件的独立与事件的互斥的区别;判别独立的方法定义验证;对实际问题,由经验验证.(无联系)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概

35、率统计电子教案 薛震 编例例2. 从一付52张(去掉王)的扑克牌中任意抽取一张,令A=抽出一张K,问A与B是否独立?例例1.求出现双6点的概率.解解: :设iA 第i枚骰子出现6点, i=1,2易知12,A A独立,12P A A12P AP A1 116 636B=抽出一张黑桃,解解: : 14152,CP AC 113152,CP BC1521,P ABC P ABP A P B,A B是相互独立的.掷两枚均匀的骰子一次，加上大小加上大小王如何？王如何？NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编定理定理1: :,A

36、 B相互独立 |P A BP A 0P B |P B AP B 0P A 若事件A与B独立,则也相互证证: :P ABP AB P AP AB P AP A P B 1P AP B P A P B 、A与B与B、A与AB独立.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编 1P AP BP AB 1P AP BP A P B 1( ) 1( )P AP B P A P BP ABP AB1P AB NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编例例3.

37、设 A =甲中, B= 乙中, C= 目标被击中, = 0.92.求在一次射击中目标被击中的概率. 其命中率分别=0.8+0.60.80.6用对立事件公式1P AB 1P A P B 1 0.2 0.4 0.92两射手同时向同一目标射击一次，为0.8和0.6，解解: :解法1:( )()P CP AB( )( )()P AP BP AB解法2:( )P CNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编2、多个事件的独立、多个事件的独立定义定义2: 若三个事件, ,A B C满足:()( ) ( )P ABP A P B()

38、( ) ( )P ACP A P C()( ) ( )P BCP B P C则称事件两两独立., ,A B C若在此基础上还满足：()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C则称事件, ,A B C相互独立.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编注注: : 两两独立相互独立例如：例如： 有4张同样大小的卡片,抽到的概率相同,1,2,3 2 1 3 令iA 抽到的卡片上有数字i,i=1,2,3则1231()()()2P AP AP A上面标有数字, 每张被NORTH UNIVERSITY OF CHIN

39、A第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编12121()() ()4P A AP A P A23231()() ()4P A AP A P A13131()() ()4P A AP A P A两两独立但12312311()()()48P A A AP A P AP A即三个事件不相互独立.1,2,3 2 1 3 NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概率统计电子教案 薛震 编一般地， 设12,nA AA是n个事件， 若以下等式成立:1,ijn ()() ()ijijP A AP A P A则称n个事件相互独立.12,nA AA()() () ()ijki