高等数学重积分的应用

1、2021/6/161第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第十章 2021/6/1621. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/163一、立体体积一、立体体积 曲顶柱

2、体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/164xoyza2例例1 1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/165MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲

3、面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/166故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/167xzxyzyAdd)()(12

4、2若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/168例例2. 计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122ddR02201 )1)1( 32232R出的面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/169三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别,

5、 ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1610将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块

6、上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1611同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1612若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为

7、MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/16134例例3. 求位于两圆sin2sin4和的质心. 2D解解: 利用对称性可知0 x而DyxyAydd1D231ddsindsinsin422dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1614Vzyxzzddd例例4. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线的方程为, 30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，,0 yx采

8、用柱坐标, 则炉壁方程为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的质心.oxzh若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1615hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1616四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因

9、此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1617类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1618如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxId

10、d),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1619ddsina0302例例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2D23ddsin441a481a2212oxyDaa的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1620)sinsincossin(222222rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyx22ddd)(5a525a158dddsin2rr olzxy132220d

11、dsin03rrad04例例6.6.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1621aaR1122xyzoR例例7. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解: 由对称性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2处的单位质量质点的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322a )(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、物体的引力五、物体的引力2021/6/1622)(th( t 为时间

12、) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题2021/6/1623提示提示:yxzo记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx )(2thd)(2216th02)(th)(12132th)(43thy