北师版七年级数学上册1.2展开与折叠教材解读

1、1.2 展开与折叠新知概览：知识要点课标要求中考考点节内对应例题节内对应习题常见几何体的展开图了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作实物图会判断常见几何体的展开图即由展开图判断几何体试练例3,4；易错典例1,2；题型典例2，3,4；中考典例1，2；中考变式1,2；新题精练1,2,3,5,6,8,9,13,14利用展开图计算通过实例了解展开图在现实中的应用能利用展开图进行简单计算题型典例5；中考典例2；新题精炼10本节重、难点1.重点：几何体和展开图之间的互化2.难点：由展开图判断几何体的形状知识全解知识点1正方体的表面展开图正方体的表面展开图有以下几种情况：121（1）如图121

2、“一四一”，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，共有6种122（2）如图122“二三一”（或一三二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种（3）如图123“二二二”型，成阶梯状123（4）如图124“三三”型，两行只能有1个正方形相连124【试练例题1】如下图125，正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（ ）125 思路导引基本方法是先看上下，后定左右，图A图B都是和+两个面相对，不合题意，图C“”和“”之上，从立体图看“”在右，符合要求图D“”和“”之上，“”在右，而立体图“”应在左，不合要求，故选（C）答案：C

3、方法：正方体展开图的题目解题时，要注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题知识点2 棱柱的表面展开图知识详解：（1）棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的（2）沿棱柱的任意一条侧棱剪开，可以得到不同组合方式的平面展开图（3）棱柱的折叠：把一个平面图形经过折叠看能否围成一个棱柱，但并不是所有的平面图形都能经过折叠围成棱柱知识警示：（1）棱柱的侧面展开图是一个矩形，这个矩形可以看作几个矩形连在一起组成的，而棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些矩形连成的（2）沿棱柱不同的侧棱剪开，可以得到不同组合的棱柱表面展开图，即同一棱柱的表面展开图有多种，它们都可以围成同一个棱柱

4、【试练例题2】如图126下列四个图形中，是四棱柱的表面展开图是（ ）A B C D126思路导引四棱柱的表面展开图是由两个相同的四边形和一个有四个小长方形组成的大长方形组成，且两个四边形在大正方形的两侧，此题符合条件的只有D选项答案：D方法：有关棱柱的展开和折叠问题，要注意结合图形进行一定的想象知识点3 圆柱、圆锥的表面展开图知识详解：（1）如图127把圆柱的侧面剪开，展开在一个平面上，侧面展开图是一个长方形这个长方形的一边长等于圆柱的高，另一边是圆柱底面的周长，反过来可以把一个长方形卷成一个圆柱的侧面（2）如图128把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，反过来可以把一个扇形卷成一个圆锥的侧面1

5、28127 底面底面侧 面知识警示：圆柱、圆锥的侧面展开图不包括底面，而它们的展开图是包括侧面和底面的，解题时要注意它们的区别和联系【试练例题3】把一个长方形卷起来，可卷成_个不同圆柱的侧面思路导引：把一个长方形分别沿长边、短边卷起来，可以得到2个不同圆柱的侧面答案：把一个长方形卷起来，可卷成2个不同圆柱的侧面方法：本题的关键是理解圆柱的形成，注意分情况探讨易错易混辨析易错点1不能正确判断出几何体的表面展开图或用展开图想象出原立体图形【易错典例1】如图129下面每个图形都是由6个完全相同的正方形组成的，其中是正方体的表面展开图的是（ ）A B C D129解：A、D折叠后第一行两个面无法折起来

6、，而且下边没有面，不能折成正方体；B、经过折叠后，缺少一个侧面的正方形，所以也不是正方体的展开图；C、是正方体的展开图故选C易混总结掌握正方体的表面展开图是解题的关键解决此题时由于只是注意了围成立方体的面有6个，由于空间想象力不足，忽视了展开图中各个面的排列位置导致出错.易错点2圆柱、圆锥平面展开图的画法易忽略它们的底面圆【易错典例2】画出如图1210中圆柱和圆锥的平面展开图12101211解：如图1211易混总结：圆柱、圆锥的平面展开图，应包括侧面和底面此题易受圆柱、圆锥侧面展开图的影响，在画它们的平面展开图时，易忽略底面圆而画成侧面展开图要注意圆柱是由三个面组成的，即两个平面（圆底面）和一

7、个曲面（侧面）；圆锥是由两个面组成的，即一个平面（圆底面）和一个曲面（侧面）基础经典全析题型1利用表面展开图识别立体图形【题型典例1】如图1212是某多面体的平面展开图，指出他们的名称1212思路导引：下边的平面展开图，把C1、C2、C3、C4、C5合拼成一点，得到的是多面体右边按共棱黏合方法可得出立体图形是三棱柱 思路导引：若按运算法则先通分计算括号内的加减运算，再进行乘法运算，运算量大且易出错，而直接应用乘法分配律，则能口算完成.解：（1）五棱锥（2）三棱柱.方法：侧面是三角形，底面是五边形的几何体是五棱锥；侧面是四边形，底面是三角形的几何体是三棱柱.1213题型2 正方体的表面展开图中相

8、对面的判断【题型典例2】如图1213所示是一个立方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内分别标有1，2，3和3，要在其余的正方形内分别填上1，2，使得折成正方体后，相对的两数互为相反数，则A处应填_；B处应填_思路导引：将这个立方体纸盒的展开图还原成立方体后，易知A的对面数字是2，B的对面数字是1，又因为相对的面上的数字互为相反数，所以A处的数字为2，B处得数字为1答案：2，1方法：确定正方体的表面展开图将平面图形转化为立体图形是解决此类问题的关键综合创新探究题型3利用剪纸判断图形【题型典例3】如图1214，将一个正方体纸片依次按图a，图b的方式对折，然后沿c中的虚线裁剪，最后将图d的纸再展开铺

9、平，所得到的图案是下图中的（ ）1214 思路导引：根据题目要求进行折叠、裁剪并展开即可得到正确答案答案：D方法：有关利用剪纸判断图形的题目，要注意根据题目要求，进行正确操作，即可得到所需结果1215题型4利用表面展开图相关数据进行简单的计算【题型典例4】如图是1215，是一张铁皮的平面示意图、（1）计算该铁皮的面积（2）能否将它做成一个长方体铁盒？如能，画出它的几何图形，并计算出它的体积；若不能，说明理由1216思路导引：（1）依次求出各个长方形的面积，即可求出铁皮的面积；（2）分析展开图的数据，易知这是一个长5cm，宽3 cm，高2cm的铁盒，利用正方体的体积公式，易求其体积解：（1）该铁

10、皮的面积为：(25)2+(23)2+(35)2=62（平方米）（2）能做成一个长方体铁盒，如图1216所示，所以它的体积为352=30（平方米）方法：利用表面展开图进行相关计算时，要结合展开图进行实现平面图形与立体图形的转化备战中考本节内容的命题方向是：会判断平面图形能否折叠成几何体；几何体剪开后，能否展成规定的平面图形，并能根据图形在展开与折叠过程中的变化，发现图形的特征，中考考查以填空题、选择题为主考点1判别一个平面图形能否折叠成一个立体图形中考典例1如图1217所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（ ）1217思路导引：根据圆锥的侧面展开图是扇形，可以直接得出答案D是不可能围成圆锥的。答

11、案：D点拨：本题主要考查圆锥侧面展开图的性质，根据圆锥侧面展开图的性质得出是解决问题的关键同时要注意要选择的是不可能围成圆锥的选项（2011湖南娄底第8题3分）1218变式练习1如图1218以下各图由彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是（ ）思路导引：应用排除法能够折叠成一个正方体的有A、B、C。答案：D (2011江苏徐州第7题2分)考点2 正方体的表面展开图中相对面的判断1219中考典例2如图1219是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对面上的汉字是 （ ）A.我 B.爱 C.长 D.沙思路导引：根据正方体的展开图类型，

12、展开面上汉字“我”对“沙”，“爱”对“丽”，“美”对“长”.答案：C 点拨：这类题目考查正方体的平面展开图解决此类问题我们可以用纸经过折叠或剪拼动手操作来解决是行之有效的办法（2011湖南长沙第8题3分）变式练习2如图1220是正方体的展开图，则原正方体相对 两个面上的数字之和的最小值的是 .1220思路导引：可发挥想像能力或借助模型确定由平面图形得到的立体图形，要弄清哪两个面是相对的面答案：6（2011山东菏泽第12题3分）新题精炼基础巩固81如图1221所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）1221 A B C D2如图1222下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）A B C

13、D1222A B C D12233如图1223下面的图形中，是三棱柱的侧面展开图的为（ ）4如图1224下面的图形表示四棱柱的是（ ）122412255如图1225下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ）知识点3题型3知识点3题型2知识点3题型2知识点2题型1知识点3题型26如图1226折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是（ ） A、 7 B、 8 C、 9 D、 1012267 是_的表面展开的平面图12278如图1227，一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是 9

14、一个三棱柱，它的侧棱长是6cm，它的底面为各边都是3cm的三角形，则此三棱柱的侧面积是 122810在正方体展开图上标有A、B、C、D、M、N等字样（如右图1228所示），当将它折叠成正方形时，点A与点 重合，点H点 重合，点N点 重合11如图1229请你把几何体和它的平面展开图用线连起来。1229知识点3题型5知识点3题型2知识点3题型3知识点2题型5知识点3题型1知识点2,4题型1能力提升12如图1230是一个35的方格纸，现将其剪为三部分，使每部分都可以拆成一个无盖的小方盒，请问如何裁剪123013如图1231马小虎同学准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所

15、示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子. (注：只需添加一个符合要求的正方形；添加的正方形用阴影表示.) abc1231de知识点3题型4知识点3题型3,4新精炼参考答案基础巩固1 D思路导引：A选项中正方形阴影与三角形是相对的，所以不正确；B选项中正方形的边与直角三角形直角边重合；C选项直角三角形与正方形没有相邻，所以只有D选项符合要求2B思路导引：柱体可分为圆柱和棱柱，长方体和正方体都是四棱柱3A4A5C思路导引：本题主要考查学生的动手能力和空间想象能力，通过自己对这四个图形动手操作，会

16、发现C图不能折合成一个正方体. 故应选6A思路导引：“6”、“2”、“4”、“5”，这四个数字所在正方形恰好围成正方体的侧面，而“1”、“3”正好为正方体的上面、下面，所以“1”与“6”、“2”、“4”、“5”都相邻，而“2”、“4”又相邻，为了和最小，我们可先从“1”周围寻找，从而得出相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小7点拨：确定各个点的位置很重要相邻的数才可能成为相交于一个顶点的三个面上的数字为了数字之和最小，我们尽量在较小的数上进行考虑7六棱柱思路导引：观察可以发现展开图有六个边长相等的长方形，并且有两个边长和长方形宽相等的六边形，所以是六棱柱的表面展开平面图点拨：观察棱柱的展开图，

17、首先作为底面的多边形必须是相同的多边形，另外多边形的边数必须等于展开图中长方形的个数8自思路导引：分析展开图可以发现，“信”与“着”是相对的，所以这两个字不可能与“超”相对，而“超”与“沉”、“越”是相邻的，所以只有 “自”与“超”相对.可以把图画下来，折叠试一试点拨：仔细分析图形，找出不可能与“超”相对的字，剩下的就是与“超”相对的字.注意与“超”所在正方形有公共顶点、公共边的正方形都与“超”所在的正方形相邻,也就是 “相邻必相连”954思路导引：三棱柱的侧面展开图是长方形，它的两边长分别是6cm和9cm，因此，面积为54cm210E、C，P、F，M11思路导引：此题实质就是在让我们分别找出长方体、圆锥体、圆柱体、六棱柱体的表面的平面展开图解：如上右图所示： 点拨：半圆也是扇形的一种，所以有的圆锥的侧面展开图就是半圆。12思路导引：显然每部分都应有5个小方格。解：可按如图12的方法裁剪。13思路导引