常微分方程习题二

1、常微分方程习题课习题课2 2 一 存在唯一性定理定理1 考虑初值问题) 1 . 3(,)(),(00yxyyxfdxdy常成立使对所有即存在RyxyxL),(),(, 0212121),(),(yyLyxfyxf,) 1 . 3(0上的解存在且唯一在区间则初值问题hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx这里:),(Ryxf在矩形区域其中,上连续:条件满足并且对Lipschitzy)2 . 3(,00byyaxx命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程)5 . 3(),(00dtytfyyxx构造Picard逐步逼近函数列)(xn00)(yx 00100( )( ,( )xnn

2、xxyfdxxxh ), 2 , 1(n命题2连续且满足和对于所有)(,00 xhxxxnn)8 . 3(,)(0byxn命题4.,)5 . 3()(00上连续解定义于是积分方程hxxx命题3.,)(00上一致收敛在函数序列hxxxn.,),()(lim00hxxxxxnn记命题5.,),()(,)5 . 3()(0000hxxxxxhxxx则一个连续解上的定义于是积分方程设二 、近似计算和误差估计求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里00)(yx 00100( )( ,( )xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n内误差估计为在和真正解次近似解对方程的第,)()(00hxhx

3、xyxnn)19. 3(,)!1()()(1nnnhnMLxx1. 解的延拓定理定理.)(,(,)(),() 1 . 3(.),(,),() 1 . 3(00的边界任意接近直到点可以延拓的解内任一点通过那么方程件条满足局部关于内且在在中连续在有界区域右侧函数如果方程GxxxyyxGLipschitzyyxfGGyxf.)(,( ,)(,0边界的趋于区域时则当上间只延拓到区如果增大的一方来说以向Gxxmxmxxxyx三、解对初值的连续性和可微性定理三、解对初值的连续性和可微性定理2220000()()xxyy00(,)xyG00 ( ,)yx xyy( , )f x y0 ( , , )a b0

4、 00 ( ,)yx xy00(,)xy0000( ,)( ,),.x xyx xyaxb21(,) ,(),(dyfxyxyGRdxy( , )f x y21(,) ,(),(dyfxyxyGRdx00(,)xyG00 ( ,),yx xy00,x xy,),() 1 . 3(),(,),( ,),(000000000bxabxayxyxxyGyxLipschitzyGGyxf其中义上有定在区间的解通过点方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设使当则对, 0),(, 0ba220200200)()()(yyxx且上也有定义在区间的解通过点方程时,),(),() 1 . 3(,0000bx

5、ayxxyyxbxayxxyxx,),(),(00000.,),() 1 . 3(,),(0000内是连续的的函数在它们存在范围作为的解则方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设yxxyxxyLipschitzyGGyxf.,),() 1 . 3(,),(0000在范围内是连续可微的的函数在它们存作为的解则方程内连续都在区域以及若函数yxxyxxyGyfyxf)()()()(1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn（4.1）四、四、n阶线性微分方程阶线性微分方程0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn（4.2）定理定理1 1：如果如果

6、方程（方程（4.14.1）存在惟一的解）存在惟一的解 上，满足下列上，满足下列及及都是区间都是区间),2 , 1)(nitai)(tfbta上的连续函数，则对于任一上的连续函数，则对于任一,0bat 及任意的及任意的,)1(0)1(00nxxx),(tx定义于区间定义于区间bta)1(0101)1(0000)(,)(,)(nnnxdttdxdttdxt（4.3）初始条件初始条件伏朗斯基行列式伏朗斯基行列式:由定义在区间由定义在区间 上的上的k个个k-1k-1次可微函数次可微函数 所作成的行列式所作成的行列式称为这些函数的称为这些函数的Wronskian行列式行列式,通常记做通常记做 )()()

7、()()()()()()()(),(),()1()1(2)1(1212121txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxWkkkkkkk),(ba)(),(),(21txtxtxk).(tW定理定理3 3 如果函数组如果函数组 在区间在区间(a, b) 上线性相关上线性相关, 则在则在(a, b) 上它们的上它们的 Wronskian行列式恒等于零行列式恒等于零, 即即.0)(tW)(,),(),(21txtxtxn定理定理4 4 若方程（若方程（4.24.2）的解）的解 上线性无关上线性无关, ,则则在该区间上任何点都不为零，即在该区间上任何点都不为零，即)(),(),(21txtxtx

8、Wn)(),(),(21txtxtxn).(0)(btatWbta在区间在区间定理定理6 (通解结构定理通解结构定理)若若 线性无关的解线性无关的解, ,则方程则方程(4.2)(4.2)得通解可表示为得通解可表示为)()()(2211txctxctxcxnn)(),(),(21txtxtxn是方程是方程（4.2）的的n个个其中其中nccc,21是任意常数，且通解是任意常数，且通解（4.5）包括包括（4.5）方程方程（4.2）的所有解。的所有解。定理定理7设设)(,),(),(21txtxtxn为方程（为方程（4.2）的基本解组，而的基本解组，而)(tx为方程（为方程（4.1）的某一解，则）的某

9、一解，则方程（方程（4.1）的通解可表为）的通解可表为)()()()(2211txtxctxctxcxnn(4.8)其中其中nccc,21为任意常数，而且该通解包括了为任意常数，而且该通解包括了方程（方程（4.1）的所有解。）的所有解。常数变易法求特解常数变易法求特解为求（为求（4.1) 的一个特解的一个特解, 将将(4.8) 中的中的 常数看成常数看成关于关于t 的函数的函数, 此时此时(4.8) 式变为式变为是方程是方程（4.2）的的n n个线性个线性设设 无关的解，无关的解， 因而因而 (4.2) 的通解为的通解为)(,),(),(21txtxtxn(4.9)()()(2211txctx

10、ctxcxnn(4.10)()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn将将 (4.10) 代入代入 (4.1) 得到一个得到一个所满足的关系式所满足的关系式.)(,),(),(21tctctcn).()()()()()()(, 0)()()()()()(, 0)()()()()()() 1() 1(22) 1(1122112211tftxtctxtctxtctxtctxtctxtctxtctxtctxtcnnnnnnnnn由上面方程组求得由上面方程组求得)., 2 , 1()()(nittcii)., 2 , 1()()(nidtttciii积分得积分得 niniiiii

11、dtttxtxtx11.)()()()(得（得（4.1）的通解）的通解定理定理8 8 如果方程如果方程0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn（4.2）中所有系数中所有系数都是实值函数都是实值函数.),2 , 1)(nitai而而是该方程的是该方程的复值解复值解, ,则则)()()(tittz以及共轭复数以及共轭复数的实部的实部和虚部和虚部也都是方程（也都是方程（4.2）的解）的解.)(tz)(t)(t)(tz定理定理9 9 如果方程如果方程)()()()()(1111tivtuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn),()(tiVtUx有复值解有复

12、值解都是实值函数，则都是实值函数，则U(t)和和V(t)分别是方程分别是方程),2 , 1)(nitai其中其中)(),(tvtu)()()()(1111tuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)()()()(1111tvxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn和和的解。的解。 常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程 其中其中 为常数。为常数。naaa,21（4.114.11）01111xadtdxadtxdadtxdxLnnnnnn求方程（求方程（4.114.11）的通解的一般步骤：）的通解的一般步骤：第二步第二步 计算方程相应的解计算方程相应的解 第一步第一步 求方程

13、的特征方程及特征根求方程的特征方程及特征根 n,21a) 对每一个单实根对每一个单实根 有解有解,ktkeb) 对每一个对每一个m1重实根重实根 方程有方程有m m个解个解 ,k.,12tmtttkkkketettee方程有两个如下形式的解：方程有两个如下形式的解：方程有方程有2m个如下形式的解：个如下形式的解： 第三步第三步 根据第二步写出基本解组和通解根据第二步写出基本解组和通解 c) 对每一个对每一个重数为重数为1的共轭复根的共轭复根 itetettsin,cosd)d)对每一个重数对每一个重数 m1m1的共轭复根的共轭复根 i,cos,cos,cos,cos12tettetttetet

14、mttt.sin,sin,sin,sin12tettetttetetmttt欧拉方程欧拉方程 011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn这里这里为常数为常数. .), 2 , 1(niai解法一：解法一：令令 ,tex 则则,ln xt 解法二：解法二：直接代入法直接代入法以以Kxy 代入方程并约去因子代入方程并约去因子,Kxy 得确定得确定K的代数方程的代数方程常系数非齐次线性方程常系数非齐次线性方程 )(1111tfxadtdxadtxdadtxdxLnnnnnn（4.24）比较系数法比较系数法方程（方程（4.244.24）有特解形如）有特解形如类型类型tmmmme

15、btbtbtbtf)()(1110其中其中 是实常数是实常数. . ), 2 , 1(mibi及tmmmmkeBtBtBtBtx)(1110（4.25）其中其中k为特征方程为特征方程0)(F的根的根的重数，的重数，为待定常数。为待定常数。), 2 , 1 , 0(miBi类型类型 其中其中 设设tettBttAtfsin)(cos)()(,为常数，为常数，而而)(),(tBtA是带实系数的是带实系数的t的的多项式，其中一个的次数为多项式，其中一个的次数为m，而另一个的次数，而另一个的次数不超过不超过m，则方程有特解形如则方程有特解形如tkettQttPtxsin)(cos)(4.29)其中其中

16、k为特征方程为特征方程0)(F的根的根i的重数，的重数，而而P(t),Q(t)为待定的带实系数的次数不超过为待定的带实系数的次数不超过m的的t的多项式。的多项式。特殊情形：特殊情形：tetAtftcos)()(或或tetBtftsin)()(方法：方法：复数法。复数法。先用类型先用类型的方法求的方法求tietPtf)()()(的特解，的特解，再由定理再由定理9得到所求方程的解得到所求方程的解取实部或虚部。取实部或虚部。 解题步骤解题步骤: :则方程化为令,)(yxk第一步:0),()(knyyytF第二步:求上面方程的通解求上面方程的通解),(1knccty即即),(1)(knkcctx第三步

17、:对上式求对上式求k k次积分次积分, ,即得原方程的通解即得原方程的通解为任常数这里nncccctx,),(11)57. 4(0),()()1()(nkkxxxtF五、可降阶的一些方程类型五、可降阶的一些方程类型 1 1、不显含自变量、不显含自变量x x的方程的方程 2 不显含自变量不显含自变量t的方程的方程, 一般形式一般形式:)59. 4(, 0),()(nxxxF,作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以xxy , ydtdx因为dtdy22dtxddxdydtdx,dxdyy3232d xd d xdtdt dtdtd)(dxdyydxdxdyyd)(dtdx,222dxydy2)(

18、dxdyy 解题步骤解题步骤: :第一步第一步: :原方程化为自变量为新的为新的未知函数并令,xyxy 0),()1()1(nndxyddxdyyxG第二步第二步: :求以上方程的通解求以上方程的通解),(11nccxy第三步第三步: : 解方程解方程),(11nccxdtdx即得原方程的通解即得原方程的通解 2 2、不显含自变量、不显含自变量t t的方程的方程 一般形式一般形式: :)59. 4(, 0),()(nxxxF,作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以xxy 111( )( )0(4.2)nnnnnd xdxa ta t xdtdt3.齐线性方程齐线性方程求解问题归结为寻求方程的

19、求解问题归结为寻求方程的n n个线性无关的特解个线性无关的特解。解法：解法：已知方程的一个解，利用变换将方程降低一阶。已知方程的一个解，利用变换将方程降低一阶。 一般地，已知方程的一般地，已知方程的k个线性无关解，可通过个线性无关解，可通过一系列同类型的变换，使方程降低一系列同类型的变换，使方程降低k阶，且新得到阶，且新得到的的n-k阶方程也是齐次的。阶方程也是齐次的。1.设 是方程 的解，且满足)(),(21xyxy0)()( yxqyxpy)(),(, 0)(, 0)()(10201xqxpxyxyxy在R上连续，,0Rx 试证明：存在常数C，使得).()(12xCyxy证明：因 为方程的两个解，故在R上有定义，)(),(21xyxy且)()()()()(2121xyxyxyxyxW则0)()(00)(02010 xyxyxW所以 线性相关。)(),(21xyx