第6章 1-2 定积分的概念

1、定积分的概念定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分曲边梯形的面积计算定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分问题问题: : 如何计算曲边梯形的面积如何计算曲边梯形的面积A?abxyo? A)(xfy 曲边梯形的面积计算( )(0)yf x 曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线和和 x 轴轴, 直线直线 x=a, x=b 围成围成定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）

2、定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分曲边梯形面积计算曲边梯形面积计算abxyoi ix1x1 ix1 nx1iiixxx iiixfA )( 0121nnaxxxxxb 把区间把区间a, b分成分成n个小区个小区间间xi-1, xi, 长度为长度为2. 在每个小区间在每个小区间xi-1, xi上任取一点上任取一点 i , 以以 xi为底宽为底宽, 以以f(xi)为高的矩形面积为高的矩形面积为为1. 在区间在区间a,b内插入若干个分点内插入若干个分点定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分iniixfA )(1 3. 将所有小矩形面积相加得曲边梯形面积的近将所有小矩形面积相加得曲边梯形面积的

3、近似值似值iniixfA )(lim10 12max,nxxx4. 令令则则定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分例例1. 计算抛物线计算抛物线y=x2, 直线直线 x=1和和x所围成的曲所围成的曲边梯形边梯形OAB的面积的面积.ABO定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分解解: 1. 在区间在区间0,1上取上取n-1个分点将其划分为个分点将其划分为n段段ABO1210011nnnn 定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分解解: ABO22211121110.nnSnnnnnnn 定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分解解: 22211121110.nnSnnnnnnn 2221121

4、11.nnnnnnn 2223112.(1)nn 31(1) (21)6nnnn 31(1) (21)1limlim63nnnnnnSn 定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分变速直线运动的距离计算定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分变速直线运动的距离变速直线运动的距离估计变速直线运动的距离的思路估计变速直线运动的距离的思路： 把整段时间分割成若干小段，每小段上速把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值过程求得路程

5、的精确值当物体作匀速直线运动时，有当物体作匀速直线运动时，有运动距离运动距离速度速度时间时间=定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分(1) 分割分割0121nnatttttb 1 iiittt1(), iiiiiisvttt (2) 求和求和iinitvs )(1 (3) 取极限取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值计算步骤计算步骤 :则有则有定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分定积分的定义定积分的定义定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分定义定义: : 函数函数f (x)在在a, b上有定义，用点上有定义，用点 把区间把区间a,b分成分成

6、n个小区间个小区间, 1,1,2,.,iixxin 在每个小区间任取一点在每个小区间任取一点1,1,2,.,iiixxin 0121nnaxxxxxb 积分和积分和1()nniiiSfx 积分元素积分元素1(),iiiiifxxxx 其其中中定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分定义定义: : 令令 且极限与且极限与a,b的分法和的分法和 i 的取法无关的取法无关, 则称则称 f (x)在在a,b上可积上可积, 并称此和的极限为函数并称此和的极限为函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分上的定积分,记为记为01limlim()nniinxiSfx 12max,nxxxx 若极限若极限存在存在

7、, 01( )dlim()nbiiaxif xxfx 令令 定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和定义定义定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分abxyo? A)(xfy 曲边梯形面积可表示为曲边梯形面积可表示为01( )dlim()nbiiaif xxfx 变速直线运动的距离可表示为变速直线运动的距离可表示为01( )dlim()nbiiaiv ttvt ( )0f x 定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分定积分的几何

8、意义定积分的几何意义定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分定积分的几何意义：定积分的几何意义：积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A1234( )baf x dxAAAA 定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分(1)(

9、)d( )d( )dbbbaaaf xxf ttf uu定积分的性质定积分的性质(2)( )d( )d()abbaf xxf xxab (3)( )d0aaf xx 定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分定理定理3 若若(x)在区间在区间a, b 上无界上无界, 则则(x)在在a, b上必不可积上必不可积.重要结论重要结论(定积分存在定理定积分存在定理) )定理定理1 若若(x)在区间在区间a, b 上连续上连续, 则则(x)在在a, b上必可积上必可积.定理定理2 若若(x)在区间在区间a, b 上有界上有界, 且只有有限个且只有有限个间断点间断点, 则则(x)在在a, b上可积上可积.定积分的概念第第6 6章章 定积分定积分定积分的实质定积分的实质：特殊