第12章 采样数据处理

1、DIP本章主要介绍：本章主要介绍：1)采样在何种程度上造成信息丢失，其本质为何？采样在何种程度上造成信息丢失，其本质为何？2)对连续函数采样后，能否被完全恢复，怎样做？对连续函数采样后，能否被完全恢复，怎样做？3)为保存图像信息，需如何细微地对函数采样？为保存图像信息，需如何细微地对函数采样？4)采样对函数的频谱有何影响？采样对函数的频谱有何影响？5)采样后的函数如何假设、近似为连续函数？采样后的函数如何假设、近似为连续函数？DIP定义定义III(x)：为沿为沿x轴相隔单位间距出现的轴相隔单位间距出现的单位冲激序列单位冲激序列。( )()nIII xxnx 0III(x/ )s1/ 0 III

2、( s)( )( )III xIII sFIII(x)的傅立叶变换为其自身：的傅立叶变换为其自身：DIP根据相似定理：且根据相似定理：且1()( )sf axFaa1()( )axxa( )()xIIIIIIs时（空）域时（空）域对应频域对应频域因此因此III(x)的频谱为沿的频谱为沿s轴间隔为轴间隔为1/ 的冲激序列。的冲激序列。s1/ 0 III( s)1()()()()nnnnnIII axaxna xxaaa( )()nxIIIxn( )()()()1()()nnnxnIIIIIIssnsnnss F令令a=1/ ：DIP设设f(x)带宽为带宽为s0（当频率（当频率s超过超过s0时，时

3、， f(x)便为便为0），），即即F(s)=0，当当|s| s0时。时。以等间隔以等间隔 对对f(x)采样，则仅在采样，则仅在x=n 处取得处取得f(x)的的样本值，在其他地方，样本值，在其他地方， f(x)被破坏了，这个过程相当于被破坏了，这个过程相当于用用III(x/ )乘以乘以f(x) ，得到，得到g(x) 。xf(x)s0sF(s)-s0 x( )( ) ( )xg xIIIf x1/ s0s-s0-1/ ( )()( )G sIIIsF sDIP时域相乘时域相乘对应对应频域卷积频域卷积，即，即 对应对应。由于与冲激函数的卷积产生了函数本身的复制由于与冲激函数的卷积产生了函数本身的复制

4、品。因此，品。因此，频域卷积频域卷积在在s轴上每隔轴上每隔1/ 复制了一个复制了一个F(s)，也就是说，也就是说，G(s)是一个以是一个以F(s)重复的周期函数重复的周期函数。DIP由上可见，只要从由上可见，只要从G(s)中得到中得到F(s)，即可从即可从g(x)中中获得获得f(x)。方法：方法：保留中心处于原点的保留中心处于原点的F(s) ，消除其复制品，即，消除其复制品，即用矩形用矩形 (s/2s1)去乘去乘G(s) 。其中。其中0101sss1( )( )2sG sF ss111111sin2( )( )( )( ) 222s xsf xF sG sg xsss xFF可见，用采样后的函

5、数与一个形式为可见，用采样后的函数与一个形式为的内插函数做卷积，即可从的内插函数做卷积，即可从g(x)重构重构f(x)。sinsinc( )xxxDIP1)f(x)的谱的谱s0。2)0101sss奈奎斯特采样定理：奈奎斯特采样定理：012sDIPg(x)与内插函数卷积，等于在每个采样点上复制一与内插函数卷积，等于在每个采样点上复制一个窄的个窄的sinc(x)函数，而互相重叠的函数，而互相重叠的sinc(x)函数的总和可函数的总和可准确地恢复出原函数。准确地恢复出原函数。DIP当采样间隔不够密，即时，当采样间隔不够密，即时，F(s)的复的复制品就会部分地重叠，此时就不能准确地恢复出原制品就会部分

6、地重叠，此时就不能准确地恢复出原函数了。因为此时函数了。因为此时012s1( )()( )2sG sF sssG(s)01/2 1/ 频率频率s1以上的能量被折叠返回到以上的能量被折叠返回到s1以下，并被加到频谱上，以下，并被加到频谱上，称为称为。f(x)和内插所得的函数的差别称为和内插所得的函数的差别称为。当当f(x)是偶函数时，是偶函数时， F(s)也是偶函数，混叠的效果是提高了频也是偶函数，混叠的效果是提高了频谱中的能量；奇函数与之相反；非奇非偶函数及谱则因此比实际谱中的能量；奇函数与之相反；非奇非偶函数及谱则因此比实际更趋向于偶函数。更趋向于偶函数。DIP函数：函数：频谱：频谱：以等间

7、隔以等间隔 t对对f(t)采样。采样。 f(t)的周期是的周期是1/f0。0( )2cos(2)f tf t00( )()()F ssfsf000000001 11()2421 1()22 13()34112NNNNtfffttffftffftfff 0( )2sin(2)f tf t见后面图示见后面图示DIP001 11()242Ntffft DIP001 1()2Ntfff DIP002 13()34Ntfff 变成低频了变成低频了DIP00112Ntfff 变成直流了变成直流了零频！零频！DIP0( )2sin(2)f tf t相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在相邻频域复制区间重叠的奇冲激

8、对在s=fN处重叠处重叠并抵消。结果内插后的函数为并抵消。结果内插后的函数为0。它其实相当于在正。它其实相当于在正弦函数的过零点进行了采样，每次采到的都是弦函数的过零点进行了采样，每次采到的都是0。DIP聚焦可有效保留信号的高频成分，而散焦则相聚焦可有效保留信号的高频成分，而散焦则相当于信号的高频成分减少，带宽变窄，因而图像变当于信号的高频成分减少，带宽变窄，因而图像变得模糊些，但不再混叠了。得模糊些，但不再混叠了。等效于等效于结论：结论：空间采样点太稀疏，虽然像素很细小，但空间采样点太稀疏，虽然像素很细小，但只能当粗点用，否则会出现高频混叠。只能当粗点用，否则会出现高频混叠。DIPDIP对离

9、散的对离散的f(t)样值计算样值计算F(s)，N个时域采样点将对应个时域采样点将对应N个频谱上的点。通常频域上的点在个频谱上的点。通常频域上的点在s轴上等距分布。轴上等距分布。频域采样间隔频域采样间隔与与时域中时域中的截取窗口宽度的截取窗口宽度成反比成反比最高频率最高频率与与时域时域采样间隔采样间隔成反比成反比假定一个信号假定一个信号f(t)用间距为用间距为 t的的N个采样点来代表，个采样点来代表，则总的采样区间宽度则总的采样区间宽度。（。（T为截取窗口的宽度，为截取窗口的宽度，T外部的外部的信号的采样被忽略了，相当于将截取窗口外的信号置信号的采样被忽略了，相当于将截取窗口外的信号置0了了）D

10、IP离散离散f(t)的频谱是周期的，周期的频谱是周期的，周期2sm=1/ t ，只需计算，只需计算覆盖覆盖F(s)的一个周期即可。的一个周期即可。常用的方法是将常用的方法是将N个采样点均匀地散布在中心位于个采样点均匀地散布在中心位于原点的原点的F(s)的一个周期上，即的一个周期上，即1122stt当在当在F(s)的一个周期上取的一个周期上取N个等间隔的采样点，则个等间隔的采样点，则N s 1/ t 。其中。其中 s 1/N t1/T是频域中的采样间是频域中的采样间隔。因此计算隔。因此计算f(t)频谱的最好做法是按频谱的最好做法是按 s 1/T等间隔取等间隔取，即从，即从-sm到到sm 。 Sm

11、= 1/2 t DIP由上可见，一个域中的由上可见，一个域中的采样间隔采样间隔决定了另一个域中决定了另一个域中的的截取窗口宽度截取窗口宽度。要计算频谱中的高频成分（。要计算频谱中的高频成分（sm ），），必须在时域中细密地采样（必须在时域中细密地采样（ t ）。而要频谱中的高分）。而要频谱中的高分辨率（辨率（ s ），），必须在时域中采用大的截取窗口（必须在时域中采用大的截取窗口（T ）。）。111,2mssTtTs DIP参数域关系参数域关系采样点数时频采样点数时频采样间隔时采样间隔时采样间隔频采样间隔频截断窗口宽度时截断窗口宽度时最大可计算频率频最大可计算频率频2msTNts12mTtNs

12、 21mssNT TN t1122msN st当当f(t)是复数是复数，有，有N个实部和个实部和N个虚部，变换后产生频谱个虚部，变换后产生频谱中的中的N个实值和个实值和N个虚值。个虚值。当当f(t)是实数是实数，有，有N个实部和个实部和N个个0（虚部），变换后在频（虚部），变换后在频谱的右半部产生谱的右半部产生N/2个偶实值和个偶实值和N/2个奇虚值。由于实函数的个奇虚值。由于实函数的F(s)是是Hermite型的，频谱的左半部是右半部的镜像。型的，频谱的左半部是右半部的镜像。DIP根据采样定理，对带宽有限的函数采样时，只要根据采样定理，对带宽有限的函数采样时，只要选择合适的采样间距就可完全避

13、免混叠。选择合适的采样间距就可完全避免混叠。但是，如果带宽有限的函数被截取了一段有限长但是，如果带宽有限的函数被截取了一段有限长度度T，这个过程即模型化为将这个过程即模型化为将函数与宽度为函数与宽度为T的矩形脉的矩形脉冲相乘冲相乘，等价于将其，等价于将其频谱与无限持续的频谱与无限持续的sinc(x)函数在函数在频域卷积频域卷积。两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄，两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄，因此，经截取的函数的谱在频域内无限延伸。因此，经截取的函数的谱在频域内无限延伸。截取破坏了带宽的有限性，注定了数字处理在任截取破坏了带宽的有限性，注定了数字处理在任何情况下都造成混叠。因

14、而我们只能限定其误差。何情况下都造成混叠。因而我们只能限定其误差。DIP因为因为 t有限，不能无限小，因此有限，不能无限小，因此F(s)被无限展被无限展宽。宽。 F(s)在形式为在形式为1/s的包络线内，保证了函数的峰的包络线内，保证了函数的峰值随着频率升高而下降并趋于值随着频率升高而下降并趋于0。( )( )( )G sH sF sDIP如果忽略函数的正弦波动，仅考虑如果忽略函数的正弦波动，仅考虑F(s)的包络线，的包络线，并注意可能混叠的最大频谱强度在频率并注意可能混叠的最大频谱强度在频率sm处出现，则可处出现，则可以认为这是混叠的最坏情况。以认为这是混叠的最坏情况。定义定义，由于由于F(

15、0)1， F(s)的的包络为包络为1/2 as，因而混叠上界为因而混叠上界为1222mttAasaa混叠误差的上界混叠误差的上界与与 t成正比成正比，与与T无关无关。因此，当。因此，当 t 2a脉冲宽度时，混叠误差即可小到所需的程度。脉冲宽度时，混叠误差即可小到所需的程度。DIPF(s)具有频率为具有频率为a的正弦波动（周期为的正弦波动（周期为1/a）。）。用用M表示在所计算的频谱表示在所计算的频谱F(s)上每个周期的采样点上每个周期的采样点数，并用它作为频谱分辨率的量度，则数，并用它作为频谱分辨率的量度，则11TM sorMaa sa 这就是说，如果使采样周期这就是说，如果使采样周期T与脉冲

16、的半宽度与脉冲的半宽度a相比足够大，即可在相比足够大，即可在F(s)的一个周期中取得足够多的一个周期中取得足够多的采样点。的采样点。DIP用宽度为用宽度为T的截取窗口对的截取窗口对f(x)截取截取截取会使计算得到的谱与实际的谱不同。需认真选截取会使计算得到的谱与实际的谱不同。需认真选择截取窗口的宽度。择截取窗口的宽度。11( )( )()/22/22xxxg xf xTTT xf(x)=sign(x)-110sF(s)=-j/ s0 j -j ( )()()/244xTTg xxxT xg(x)-110T/2-T/2奇矩形脉冲对奇矩形脉冲对DIP对对g(x)进行进行FT：( )()()/244

17、xTTg xxxT sin(/2)( )2 sin2TsTG sjss 2211( )sin2 ( )cos()222jsTG sF ssTsG(s)与与F(s)不一样了，仅在几个点处不一样了，仅在几个点处两者值相等，也就是两者值相等，也就是cos( sT)=0时。时。或者或者 sT =i /2时（时（i为奇数）。对应为奇数）。对应s=i/2T。此时此时G(s)F(s)。DIP如果令如果令si =i/T，0,1,2,N/2，则则G(si)2F(si) （当当i为奇数）为奇数）0 （当当i为偶数）为偶数）DIP上例上例i奇数时是正确的（是正常大小的两倍），奇数时是正确的（是正常大小的两倍），而偶

18、数时为而偶数时为0。这表明截取在奇数号点和偶数号点之。这表明截取在奇数号点和偶数号点之间重新分配了能量。间重新分配了能量。将将G(i s)即即G(si)与一个窄的三角形局部平均滤波与一个窄的三角形局部平均滤波器器1/4,1/2,1/4相卷积，可获得期望结果。相卷积，可获得期望结果。DIP以下考虑对连续信号（见以下考虑对连续信号（见下图下图）或图像进行截取、）或图像进行截取、采样、内插等进行数字处理后的影响。采样、内插等进行数字处理后的影响。DIPDIP在采样点上有一有限宽度的采样孔径，信号在该孔在采样点上有一有限宽度的采样孔径，信号在该孔径中被平均。径中被平均。采样孔径是宽度为采样孔径是宽度为

19、 的窄矩形脉冲，则截的窄矩形脉冲，则截取后的信号再与采样取后的信号再与采样孔径函数卷积，相当孔径函数卷积，相当于将其谱与于将其谱与sinc( s )相乘。相乘。如果采样窗口是高斯如果采样窗口是高斯脉冲，则输出谱将与脉冲，则输出谱将与高斯谱相乘。高斯谱相乘。上述采样孔的作用是上述采样孔的作用是降低了信号中的高频降低了信号中的高频能量，频率超过能量，频率超过s=1/ 时能量极性反转。时能量极性反转。sin()sin()( )ssTF sTssT DIP上述经采样孔径平滑后的截取后上述经采样孔径平滑后的截取后的信号再与的信号再与III(t/ t) 相乘，得到采相乘，得到采样结果。于是采样后的谱有了周

20、样结果。于是采样后的谱有了周期性（以期性（以1/ t 复制原来的谱）。复制原来的谱）。DIP对采样后的信号插值，以尽可能好地恢复对采样后的信号插值，以尽可能好地恢复f(t) 。用三角脉冲与采样后的用三角脉冲与采样后的函数卷积来实现插值函数卷积来实现插值。由于由于sinc( st0)2随频率增加而减小，使得除了位于随频率增加而减小，使得除了位于s=0处的主复制品外，其余所有复制品趋向于处的主复制品外，其余所有复制品趋向于0。DIP用用h(t)表示对采样后函数进行内插得到的结果函数：表示对采样后函数进行内插得到的结果函数：0011( )( )()( )()()tttth tf tIIITttt20

21、0sin()sin() sin()( )( )()stsTsH sF sTtIII s tsTsst DIP数字处理对信号的影响是显然的，那么，究竟有多大？数字处理对信号的影响是显然的，那么，究竟有多大？采样孔径与内插函数之间一般都有适当的关系，如采样孔径与内插函数之间一般都有适当的关系，如采样采样孔径宽度孔径宽度 与采样间距与采样间距 t 相等相等。对于线性插值，。对于线性插值，t0= t 。若截取窗口宽，则其频谱窄，接近于一个脉冲，其影响若截取窗口宽，则其频谱窄，接近于一个脉冲，其影响就会减小。如果截取窗口外的原函数值已经为就会减小。如果截取窗口外的原函数值已经为0，截取，截取就不会产生影

22、响了。就不会产生影响了。采样孔径相当于低通滤波，降低的频谱中的高频能量，采样孔径相当于低通滤波，降低的频谱中的高频能量，因而减少了混叠。如果采样孔径的传递函数有负值，会因而减少了混叠。如果采样孔径的传递函数有负值，会改变高频能量的极性。改变高频能量的极性。用用sinc(x)函数进行内插最理想。其它内插函数不能完全函数进行内插最理想。其它内插函数不能完全消除其余复制品，且还会减少主复制品的高频能量。消除其余复制品，且还会减少主复制品的高频能量。数字化参数取决于数字化设备的设计。截取窗口代表图像数字化器的数字化参数取决于数字化设备的设计。截取窗口代表图像数字化器的最大视野。采样孔径是扫描点的灵敏度

23、，采样间距可调节，并与采样点直最大视野。采样孔径是扫描点的灵敏度，采样间距可调节，并与采样点直径相联系。对于显示图像，其内插函数就是显示点本身。径相联系。对于显示图像，其内插函数就是显示点本身。DIP用采样孔径和采样间隔来控制。用采样孔径和采样间隔来控制。孔径宽度是采样间距的两倍，使其传递函数的第一孔径宽度是采样间距的两倍，使其传递函数的第一个过个过0点位于点位于fN=1/2 t。则则fN以上的频率被大大削减。以上的频率被大大削减。DIP三角孔径宽度为三角孔径宽度为4个样点宽，其传递函数的第一个个样点宽，其传递函数的第一个过过0点也位于点也位于fN=1/2 t。相对于矩形脉冲的谱，三角脉冲相对

24、于矩形脉冲的谱，三角脉冲的谱下降得更快，因此可更有效地减少混叠。与矩形脉的谱下降得更快，因此可更有效地减少混叠。与矩形脉冲同样的是，它也降低了冲同样的是，它也降低了F(s)中低于中低于fN部分的能量。部分的能量。DIP用小的采样间隔使折返频率用小的采样间隔使折返频率fN远远落在高边带。这远远落在高边带。这样，即使混叠污染了频谱的高频部分，对我们感兴趣的样，即使混叠污染了频谱的高频部分，对我们感兴趣的数据也基本上无影响。数据也基本上无影响。截取窗口足够大，对信号频谱造成的影响最小。截取窗口足够大，对信号频谱造成的影响最小。sG(s)0DIP可以在可以在时（空）域时（空）域或或频域（变换域）频域（

25、变换域）来实现。来实现。输入输入F(s)输出输出G(s)传递函数传递函数H(s)( )( )( )G sF s H s( )( )( )g tf th t对对f(t)和和h(t)采样使其频谱变成周期性的。若两个信号都采样使其频谱变成周期性的。若两个信号都以同样间距以同样间距 t 进行采样，它们的频谱将具有相同的周期进行采样，它们的频谱将具有相同的周期1/ t 。采样后信号的卷积，使频域中两个频谱相乘得到。采样后信号的卷积，使频域中两个频谱相乘得到G(s)，那么那么G(s)也是频率为也是频率为 t 的周期函数。当对的周期函数。当对g(t)内插时，它内插时，它的频谱减为位于原点的一个复制品。的频谱减为位于原点的一个复制品。如果如果f(t)或或h(t)带宽有限（假定在带宽有限（假定在s=1/2 t 以外截止）以外截止） ，则则g(t)的谱也