平面方程PPT学习教案

1、会计学1平面方程平面方程zyxo0Mn),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共17页kji,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn

2、3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共17页此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共17页此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax y

3、zab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共17页以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共17页 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x

4、+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共17页例例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy(P327 例4 , 自己练习) 机动 目

5、录 上页 下页 返回 结束 第7页/共17页设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共17页221) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共

6、17页因此有垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共17页外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCy

7、BxA解解:设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共17页xyzo0M求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331, ),(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结

8、束 第12页/共17页1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共17页0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(1111CBAn 第14页/共17页P330 题4 , 5, 8第六节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P330 2 , 6 , 7 , 9第15页/共17页)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx求过点 且