高数高等数学1.8函数的连续性与间断点

1、11,uuu设设变变量量 从从初初值值, ,变变到到终终值值称称21uuu 0( )(),f xU x设设函函数数在在内内有有定定义义0(),xU x0 xxx 0( )()yf xf x xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 0( )yf xx 设设函函数数在在的的某某邻邻域域内内有有定定义义，如如果果0000limlim()()0 xxyf xxf x 0(.)yf xx 称称在在点点那那就就连连续续么么0,xxx 记记),()(0 xfxfy 00,xxx 0( )()0.f xf xy 0( )yf xx 设设函函数数在在的的某某邻邻域域内内

2、有有定定义义，如如果果00lim( )()xxf xf x 0(.)yf xx 称称在在点点那那就就连连续续么么00lim( )()xxf xf x 0( )f xx在在连连续续要要满满足足三三条条件件：00(1)( )()f xxf x在在有有定定义义，即即存存在在；0(2)lim( )xxf x极极限限存存在在；00(3)lim( )()xxf xf x 极极限限值值等等于于函函数数值值，即即. .000()lim( )()xxf xf xf x ；000()lim( )().xxf xf xf x 00lim( )()xxf xf x 000lim()()xf xxf x 0lim0 x

3、y 000()()()f xf xf x0, 0, 0 xxx 当当时时，有有0( )().f xf xy 0( )f xx函函数数在在点点连连续续有有下下列列xyo0 xx)(xfy x y 连续区间连续区间( )yf x 在在整整个个区区间间都都连连续续. . ,.C a b记记为为：xy)(xfy abo01( )nnP xaa xa x(,). 在在内内连连续续多项式函数多项式函数 有理分式函数有理分式函数( )( )( )P xR xQ x 在其定义域内连续在其定义域内连续.0()0,Q x 只只要要00lim( )()xxR xR x 都都有有00lim( )()xxP xP x

4、.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(处连续处连续在在所以函数所以函数 xxf),0()(lim0fxfx .),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy),( x任取任取xxxysin)sin( sin(,).yx 即即函函数数在在内内连连续续sinsin2sincos222sincos()22xxx2 sincos()22xxyx212x x 0 x0cos(,).yx 在在内内连连续续0,sinxxx.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数

5、 xxxxxxf)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxfsinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 0( )yf xx 设设函函数数在在的的某某去去心心的的邻邻域域内内有有定定义义，0( )yf xx 下下列列情情形形之之一一，在在不不连连续续：0(1)( )f xx在在无无定定义义；00(2)( )lim( )xxf xxf x在在有有定定义义，但但不不存存在在

6、；00(3)( )lim( )xxf xxf x在在有有定定义义，且且存存在在，但但是是00lim( )()xxf xf x 0( )xf x这这样样的的称称为为间间断断点点. .00()()f xf x及及均均存存在在，00()(),f xf x 若若00()(),f xf x 若若00()()f xf x及及至至少少有有一一个个不不存存在在，若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡, 若若其其中中一一个个为为0 x称称为为 .0 x称称为为0 x称称为为0 x称称为为21(1)1xyx 1xyo1.x 为为可可去去间间断断点点211lim1xxx 1x 无无定定义义，是是间间断断点点. .2

7、，1lim1xx（）求下列函数的间断点求下列函数的间断点可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的的定义的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.12,xy 补补时时，充充：定定义义1.x 该该函函数数在在处处连连续续2(2)tanyx .2x 为为无无穷穷间间断断点点xyotanyx 2 2x 无无定定义义，是是间间断断点点. .2limtanxx ，1(3)sinyx xyo0.x 为为振振荡荡间间断断点点0,x 在在处处没没有有定定义义01limsinxx不不存存在在，011x 时时，函函数数值值在在与与 之之间间变变动动无无限限次次，12,1(4

8、)( ),1xxyf xx 1lim( )xf x xyo1121.x 为为可可去去间间断断点点1,0(5)( )0,01,0 xxyf xxxx 00lim( )lim(1)1,xxf xx 00lim( )lim(1)1,xxf xx0.x 为为跳跳跃跃间间断断点点xyo11 1lim1(1)xxf可去型可去型oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型oyx0 xoyx0 xoyx0 x221( ).23xf xxx 求求的的间间断断点点221(1)(1)23(1)(3)xxxxxxx ，13.xx ，时时无无定定义义是是间间断断点点321lim221 xxxx111lim32xxx ，1

9、.x 是是可可去去间间断断点点2231lim23xxxx ，3.x 是是无无穷穷间间断断点点221sin,0( )0.,0 xxaf xxxaxx 当当 为为何何值值时时，在在连连续续(0),fa 又又2001lim( )limsinxxf xxx , 1 200lim( )lim()xxf xax,a 00lim( )lim( )(0)xxf xf xf1a 当当时时，1( )0.af xx故故当当时时，在在处处连连续续(1) 函数无定义的点一定是间断点、分段函数的函数无定义的点一定是间断点、分段函数的分界点可能是间断点；分界点可能是间断点；(2) 判别间断点的类型主要方法是讨论极限、判别间断点的类型主要方法是讨论极限、左、右极限左、右极限.小结小结00lim( )()xxf xf x 000lim ()()0 xf xxf x 000()()()f xf xf x02.( )f xx函函数数在在 间间断断的的类类型型01.( )f xx在在连连续