概率论基本公式

1、概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、 2、对偶率：3、概率性率：4、古典概型5、条件概率例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？6、独立事件（1）p(ab)=p(a)p(b),则称a、b独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件a发生或事件a不发生，则称为伯努利试验，即：p(a)=p, (0p1,p+q=1)相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。伯努利定理： （k=0,1

2、,2） 事件a首次发生概率为：例：设事件a在每一次试验中发生的概率为0.3，当a发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。第二章7、常用离散型分布（1）两点分布：若一个随机变量x只有两个可能的取值，且其分布为： （0p0）都是常数。分布函数为：。当称为标准正态分布，概率密度函数为：分布函数为：定理：设其期望e(x)= ,d(x)= 。9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量x的所有可能取值确定因变量y的所有可能值，然后通过y的每一个可能的取值(i=1,2,)来确定y

3、的概率分布。（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知x的分布函数或者概率密度，则随机变量y=g(x)的分布函数,其中，进而可通过y的分布函数，求出y的密度函数。例：设随机变量x的密度函数为，求随机变量10、设随机变量xn(,y=也服从正态分布.即。11、联合概率分布(1)离散型联合分布：xy px=p py= 1(2)连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量（x，y）的密度函数求，d(x+y).解：当0x2时由，得：，当x2时，由，所以，同理可求得:； e(x)=,由对称性同理可求得，e(y)=7/6。因为e(xy)= 所以，cov（x,y）= e(xy)- e(x) e(y)=4/3-(7/

4、6)=-1/36。同理得d(y)=,所以，=d(x+y)=d(x)+d(y)+2cov(x,y)=12、条件分布：若13、随机变量的独立性：由条件分布设a=yy,且pyy0,则：，设随机变量（x,y）的联合分布概率为f（x,y），边缘分布概率为，若对于任意x、y有：，即：，则称x和y独立。14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（x,y）的概率密度为,边缘概率密度函数为，则对于一切使0的x,定义在x=x的条件下y的条件密度函数为：，同理得到定义在y=y条件下x的条件概率密度函数为：，若=几乎处处成立，则称x,y相互独立。例：设二维随机变量（x，y）的概率密度函数为：，求（1）确

5、定常数c；（2）x,y的边缘概率密度函数；（3）联合分布函数f(x,y);(4)pyx;(5)条件概率密度函数；（6）px2|y0，d(y)0，则当且仅当存在常数a，b（），使：附注：设e=ey-(,称为用来近似y的均方差，则：设d(x)0，d(y)0,有：使均方误差达到最小。18、切比雪夫不等式：设随机变量x的期望e(x)=,方差d(x)=,则对于给定任意正数，有：19、大数定理：设随机变量x,x,x相互独立，且具有相同的期望和方差：，i=1,2,3，则对于任意0,有：20、中心极限定理；（1）设随机变量x,x,x相互独立，服从同一分布，且， i=1,2,3，则：(2)棣莫佛拉普拉斯定理：设随机变量x,x,x相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，有：第二部分 数理统计24、点估计常用方法（1）矩估计法：先求e（x）,得到一个e(x)与未知参数的式子，用e(x)表示未知参数，再把e(x)用代替即可。例：已知总体x的概