第八章 数制及逻辑代数-lm

1、数制与逻辑代数数字化时代概概 述述自然界的物理量：自然界的物理量： 模拟量：其变化在时间上和数量上都是连续的。模拟量：其变化在时间上和数量上都是连续的。 数字量：其变化在时间上和数量上都是不连续的。数字量：其变化在时间上和数量上都是不连续的。电子电路中的电信号可分为电子电路中的电信号可分为:模拟信号：连续变化的电压和电流模拟信号：连续变化的电压和电流数字信号：离散的电压值（高、低电平）数字信号：离散的电压值（高、低电平）对对数字信号数字信号进行传输、处理的电子电路进行传输、处理的电子电路什么是数字电路？什么是数字电路？数字电路的应用数字电路的应用v计算机系统：主板、内存、硬盘、显卡计算机系统：

2、主板、内存、硬盘、显卡v消费类电子产品：手机、电子表、消费类电子产品：手机、电子表、MP34v通讯产品：路由器、交换机通讯产品：路由器、交换机数字电路的特点数字电路的特点v以逻辑代数为数学基础，适合工作在以逻辑代数为数学基础，适合工作在存储、控存储、控制、决策制、决策等系统中等系统中v系统可靠性高、精度高系统可靠性高、精度高v集成度高、体积小、功耗低集成度高、体积小、功耗低第第8章章 数制与逻辑代数数制与逻辑代数数制与码制数制与码制1逻辑代数逻辑代数2逻辑函数的化简逻辑函数的化简31.进位计数制的含义：进位计数制的含义： 在表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用在表示数时，仅用一位数码往往不

3、够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成构成以及以及从低位到高位的进位规则从低位到高位的进位规则称为进位计数制，称为进位计数制，简称进位制。简称进位制。2.常用数制：常用数制： 十进制十进制 二进制二进制 十六进制十六进制数制数制也叫记数法，是人们用一组规定的符号和规也叫记数法，是人们用一组规定的符号和规则来表示数的方法。则来表示数的方法。8.1.1 数制数制十进制v公元3世纪，古印度的一位科学家巴格达巴格达发明了阿拉伯数字。 一、十进制一、十进制数码构成为：数码构成为：09； 运算规律：逢十进一，即：运算规律：逢十进一，即：91

4、10十进制数的权展开式：十进制数的权展开式：4 6 . 74 42 2 4 4 1 1 6 60 0 6 6 7 7-1-1 . 7 7 4 4 6 6. 7 7同样的数码在不同的数位上代同样的数码在不同的数位上代表的数值不同，这个数值称为表的数值不同，这个数值称为位权位权。任意一个十进制数都可以任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，与其对应的权的乘积之和，称权展开式。称权展开式。又如：又如：(209.04)10 2102 0101910001014 102一般表达式一般表达式90,10)(10iiiiKKN位权位权数码数码 在数字电路中，计

5、数的基本思想是要把电路的状态与在数字电路中，计数的基本思想是要把电路的状态与数码一一对应起来。显然，采用十进制是十分不方便的。数码一一对应起来。显然，采用十进制是十分不方便的。它需要十种电路状态，要想严格区分这十种状态是很困难它需要十种电路状态，要想严格区分这十种状态是很困难的。的。二进制v18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发明二进制。 v二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。数码构成：数码构成：0、1；运算规律：逢二进一，即：；运算规律：逢二进一，即：1110。二进制数的权展开式：例如二进制数的权展开式：例如(101.01)2 122 021120021

6、122 (5.25)10各各 数数 位位 的的 权权 是是 的的 幂幂二、二进制二、二进制一般表达式一般表达式1 ,0,2)(2iiiiKKN 1 1、易于电路实现、易于电路实现-每一位数只有两个值，可以用管子的导通每一位数只有两个值，可以用管子的导通或截止，灯泡的亮或灭、继电器触点的闭合或断开来表示。或截止，灯泡的亮或灭、继电器触点的闭合或断开来表示。 2 2、基本运算规则简单、基本运算规则简单： 位数太多，不符合人的习惯，不能在头脑中立即反映出数值位数太多，不符合人的习惯，不能在头脑中立即反映出数值的大小，一般要将其转换成十进制后，才能反映。的大小，一般要将其转换成十进制后，才能反映。数码

7、为：数码为：0-9，A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15) ；运算规律：逢十六进一，即：运算规律：逢十六进一，即：F110。十六进制数的权展开式：例如十六进制数的权展开式：例如(D8.A)16 13161 816010 161(216.625)10各各 数数 位位 的的 权权 是是 16 的的 幂幂一般表达式一般表达式, 9,.,0 ,16)(16FEDCBAKKNiiii三、十六进制三、十六进制 十六进制在数字电路中，尤其在计算机中得到广泛的应用十六进制在数字电路中，尤其在计算机中得到广泛的应用 1 1、与二进制之间的转换容易；、与二进制之间的转换容易； 2

8、2、计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二、计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二进制最多可计至进制最多可计至 111111112 2 = 15 = 151010；十进制可计至；十进制可计至 999999991010；十六进；十六进制可计至制可计至 FFFFFFFF1616 = 65535 = 655351010，即，即64K64K。其容量最大。其容量最大。 3 3、计算机系统中，大量的寄存器、计数器等往往按四位一、计算机系统中，大量的寄存器、计数器等往往按四位一组排列。故使十六进制的使用独具优越性。组排列。故使十六进制的使用独具优越性。：常用数制的书写规则常用数制的书写规

9、则（1）括号外面加下标）括号外面加下标例如，（例如，（10011）2、（、（237）8、（、（8079）10和（和（45ABF）16分分别表示二进制、八进制、十进制和十六进制。别表示二进制、八进制、十进制和十六进制。（2）字母后缀）字母后缀二进制数用二进制数用B（Binary）表示。）表示。十进制数用十进制数用D（Decimal）表示。）表示。D一般可以省略。一般可以省略。十六进制数用十六进制数用H（Hexadecimal）表示。）表示。例如，例如， 10011B、237O、8079和和45ABFH分别表示二进制、八分别表示二进制、八进制、十进制和十六进制。进制、十进制和十六进制。方法方法:

10、:按权展开并求和按权展开并求和(100110.101)(100110.101)2 2=1=12 25 5+0+02 24 4+0+02 23 3+1+12 22 2+1+12 21 1+0+02 20 0+1+12 2-1-1+0+02 2-2-2+1+12 2-3-3=(38.625)=(38.625)1010(1)把二进制数转为十进制把二进制数转为十进制(2)(2)十进制转化成十进制转化成 二进制二进制整数部分整数部分：除以：除以 2取余数，直到商为取余数，直到商为0，余数从下到上排列余数从下到上排列,首次取得的余数排在首次取得的余数排在最右最右.小数部分小数部分：将：将小数部分小数部分乘

11、以乘以2取整数，直取整数，直到小数部分为到小数部分为0或达到要求的精度为止，或达到要求的精度为止，整数从上到下排列整数从上到下排列, 首次取得的整数排在首次取得的整数排在最左最左.例例1 1(100.345)10=(1100100.01011)2100250225212262321000100110.3451.38020.69022 0.760 2 1.520 2 1.04最低最低 最高最高 最高最高最低最低例例2 2(100)10= (64)1610016604616十六进制十六进制11 0110 1110.1101 01= (36E.D4) 16 3 6 E D 4二进制转化成十六进制二进

12、制转化成十六进制整数部分：从右向左按四位进行分组整数部分：从右向左按四位进行分组小数部分：从左向右按四位进行分组不足补零小数部分：从左向右按四位进行分组不足补零 下列各数中，最大的一个数是？下列各数中，最大的一个数是？A (11011001)2 B (75)10 C (A7)16 下列各数中，最大的一个数下列各数中，最大的一个数 A. (11011001)2 B. (75)10C. (A7)16AA、(11011001)2=127+126+025+124+123 +0 22+0 21+1 20=(217)10B、(75)10=(75)10C、(A7)16=10 161+7 160=(167)1

13、0答：答：v数码数码：代表一个确切的数字，如二进制数，：代表一个确切的数字，如二进制数，八进制数等。八进制数等。v编码编码：n 位二进制数可以组合成位二进制数可以组合成2n 个不同的个不同的信息，给信息，给每个信息规定一个具体码组每个信息规定一个具体码组，这种，这种过程叫编码。过程叫编码。 8.1.2 码制码制1、 BCD码码 BCD码又称二十进制码，通常用四位二进制码码又称二十进制码，通常用四位二进制码为一组，表示一位十进制数，只取为一组，表示一位十进制数，只取十个状态十个状态，而且，而且每组之间是每组之间是“逢十进一逢十进一”。 8421BCD 码是按顺序取四位二进制码中的前十种码是按顺序

14、取四位二进制码中的前十种状态，即状态，即00001001，代表十进制的，代表十进制的09，而，而10101111弃之不用。弃之不用。 8421码是一种有权码码是一种有权码，从高位到低位的权依次为，从高位到低位的权依次为8、4、2、1，按权相加，即可得到所代表的十进制数，按权相加，即可得到所代表的十进制数，如：如： 例如：例如：70111120001 0010例如：例如： 10010+4+2+0=60110 8+0+0+1=93、格雷码（、格雷码（Gray） 格雷码是一种无权码格雷码是一种无权码。编编码特点是：任何两个相邻代码特点是：任何两个相邻代码之间仅有一位不同。码之间仅有一位不同。例如，例

15、如，8421码中的码中的0111和和1000是相邻码，当是相邻码，当7变到变到8时，时，四位均变了。若采用格雷码，四位均变了。若采用格雷码，0100和和1100是相邻码，仅最高是相邻码，仅最高一位变了。一位变了。011111110011010101108.2 逻辑代数逻辑代数一、逻辑代数及其表示方法一、逻辑代数及其表示方法 逻辑代数逻辑代数是英国数学家乔治是英国数学家乔治.布尔（布尔（Geroge.Boole）于于1847年首先进行系统论述的，也称年首先进行系统论述的，也称布尔代数布尔代数；逻辑代数中的变量称为逻辑代数中的变量称为逻辑变量逻辑变量（逻辑自变量和（逻辑自变量和逻辑因变量），用逻辑

16、因变量），用大写字母大写字母表示。逻辑变量的取值只表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑有两种，即逻辑0和逻辑和逻辑1。0 和和 1并不表示数值的大并不表示数值的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。小，而是表示两种对立的逻辑状态。二、基本逻辑运算二、基本逻辑运算1. 与运算（逻辑乘）（与运算（逻辑乘）（AND）Y与运算符，也有用与运算符，也有用 “” “”、“”“”、“&”&”表示表示与门逻辑符号与门逻辑符号&AYBYABAYB2. 或运算（逻辑加）或运算（逻辑加） （OR）BYA或运算符，也可用或运算符，也可用“”、“”表示表示或运算真值表或运算真值表或门逻辑符号或门逻辑符号1 1 ABYYAB

17、 + + ABY3. 非运算（逻辑反）（非运算（逻辑反）（NOT）AY“”非逻辑运算符非逻辑运算符非运算真值表非运算真值表非门逻辑符号非门逻辑符号1AYYAAY一、逻辑代数的基本定律一、逻辑代数的基本定律0-1 律律重叠律重叠律互补律互补律交换律交换律0 AA00 AAA 1AAA 1 AAAA 011 AAAA ABBA ABBA 结合律结合律 CBACBA CBACBA 分配律分配律 CABACBA )()(CABACBA 反演律反演律BABA BABA 例：用例：用真值表真值表证明反演律证明反演律 B ABA 0 00 1 01 101111000110010101000BA BA AB

18、BAB A B ABA 证明证明: :左左边边右右边边 )( BAABAABABAAABABABAA 练习：证明练习：证明成立。成立。证明证明: : 同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。最简最简“与或与或”式的标准：式的标准：.含的含的与项与项最少；最少； 门最少门最少.各与项中的各与项中的变量数变量数最少。最少。 门的输入端最少门的输入端最少以后主要讨论以后主要讨论“与或与或”式

19、的化简。式的化简。其中，最常用的为其中，最常用的为“与或与或”逻辑表达式。逻辑表达式。1. 吸收法（消项法）吸收法（消项法） )(EDCBABA Y1 例：用吸收法化简下列逻辑函数例：用吸收法化简下列逻辑函数BA EDCBA EDCBABAY1 )()(1解：解： 利用公式利用公式 ，将多余，将多余项吸收（消去）。项吸收（消去）。ABAA CABA BCCABA BACBACY 2CBAC BACBAC BACBACY 28.3.1 8.3.1 公式和定理化简法（代数化简法）公式和定理化简法（代数化简法）：2. 并项法并项法 ABCCABBCACBACBAY1 ),(例：用并项法化简下列逻辑函

20、数例：用并项法化简下列逻辑函数 B A)AB( ABBA C)CAB(C)CB(A ABCCABBCACBAY1 解：解： 利用公式利用公式 将两项合并成一项，并将两项合并成一项，并消去互补因子。由代入规则，消去互补因子。由代入规则，A和和B也可是复杂的逻辑式。也可是复杂的逻辑式。ABABA ABCCBACABCBACBAY2 ),(CABCBACBAY ),(3解：解：A 1A C BCBA BCCBCBCBA ABCCBACABCBAY2 )()( A CBCBA CABCBAY )(3解：解：3. 消去法消去法 CBCABA Y1 例：用消去法化简下列逻辑函数例：用消去法化简下列逻辑函数

21、CBA CBABA CBABA CBCABAY1 )(解：解：利用公式利用公式 或或 ，将多余因子吸收（消去）。将多余因子吸收（消去）。BABAA DCBA DBACBA DBACBA BDDACBA BDDACCBA DCBDCACBAY )()()(2 DCBDCACBAY2 CAABBCCAAB4. 配项法配项法 ABCCBACBA Y1 例：用配项法化简下列逻辑函数例：用配项法化简下列逻辑函数ACCBBBACAACBABCCBACBACBAABCCBACBA )()( Y1解：解： 利用公式利用公式 ，配项或，配项或增加多余项，再和其他项合并。增加多余项，再和其他项合并。AA 1AAA

22、 BCCABACABA CBCBBAABY 2CACBAB BBCAACBCAB CBCBACABCBACBAAB CBCBAACCBAAB CBCBBAABY )()()()()(112CBCABA CACBCABA CABACBCACBBA CABACBCBBA BACBCBBAY )()()()()(3BACBCBBAY 3解：解：解：解：CACBBAY 解法解法1：解法解法2：BACBCBBAY BACACB BACACBBA BACACBCBBA BACBCACBBA BACBCBBAY )()()(代数化简法代数化简法 优点优点: : 不受变量数目的限制。不受变量数目的限制。 缺点

23、缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。验；有时很难判定化简结果是否最简。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。（1 1）卡诺图的构成）卡诺图的构成A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABAB1010 m0 m1 m2 m3 miABABABAB1010 0 1 2 3二二变变量量K图图 建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑

24、变量就以原卡诺图的右建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴左面左面（或上面）原数字（或上面）原数字前前增增加加一个一个0，对称轴，对称轴右面右面（或下面）原数字（或下面）原数字前前增增加加一个一个1。ABC0100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7000111100001 11 1001 2 34 5 6 7 12 13 14 15 8 9 10 11ABCDABC0100011110 0 1 2 3 456 7三变量三变量K图图四变量四变量K图图卡诺图是上下，左

25、右闭合的图形卡诺图是上下，左右闭合的图形。逻辑相邻逻辑相邻：仅有一个变量不同；仅有一个变量不同；（2 2）逻辑函数的卡诺图）逻辑函数的卡诺图 给出真值表给出真值表 将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可。填入将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可。填入Y1的的项即可。项即可。 例：例：ABC0100011110 0 0 0 1 010 1ABC0100011110 1 1 1画出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。圈圈“1”合并相邻的最小项。合并相邻的最小项。将每一个圈对应的与项相或，即得到最简与或式。将每一个圈对应的与项相或，即得到最简与或式。尽量尽量画大圈画大圈，但每个圈内只能含有，但每个

26、圈内只能含有2 2n n（n n=0,1,2,3=0,1,2,3）个相邻项。逻辑相邻性。个相邻项。逻辑相邻性。圈的个数尽量少圈的个数尽量少。卡诺图中所有取值为卡诺图中所有取值为“1”1”的方格均要被圈过的方格均要被圈过，即不能，即不能漏下取值为漏下取值为“1”1”的最小项。的最小项。保证每个圈中保证每个圈中至少有一个至少有一个“1 1格格”只被圈过一次只被圈过一次，否则，否则该圈是多余的。该圈是多余的。画圈原则：画圈原则：2. 最简与或式的求法最简与或式的求法画出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。圈圈“1”合并合并相邻的最小项。相邻的最小项。将每一个圈对应的将每一个圈对应的与项相或与项相

27、或，即得到最简与或式。，即得到最简与或式。（3 3） 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。 任何一个合并圈任何一个合并圈(即卡诺圈即卡诺圈)所含的所含的方格数为方格数为2n个。个。 必须按照逻辑相邻画出卡诺圈必须按照逻辑相邻画出卡诺圈 2n个方格合并，消去个方格合并，消去n个变量。个变量。1.卡诺图中最小项合并规律卡诺图中最小项合并规律BCABCBCA CACBACBABACBACBA A0 1 1 1 1BC100011110 1 1 BCBACA 给出真值表或卡诺图给出真值表或卡诺图AB

28、C0100011110 1 1 111 1000111100001 11 101 1 11 1 1 1 1 1 1 1 ABCDCABCACBADBCABCDADCBACDBA CCBCBCABCBACBACBA ACCAABDC000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABCDDABCABCDDCABDCABBCDADCBADCBADCBADCBADCBA DBDABDBDDBDA给出的最小项之和式给出的最小项之和式 给出的不是最小项之和式给出的不是最小项之和式确定使每个确定使每个与项为与项为1的所有输入变量取值，并的所有输入变量取值，并在卡诺图上对在卡诺图

29、上对 应方格应方格填填1；其余的方格填其余的方格填0(或不填或不填)。也可化为也可化为标准与或式标准与或式，再填入。，再填入。 CBACBA),(Y1例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数ABC0100011110 1 111 1解：解： ),()()(765421m CBAACCBBACBAY ：当：当ABC=10时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应两个方格在卡诺图上对应两个方格(m2，m6)处填处填1。 ：当：当ABC=A时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应两个方格在卡诺图上对应两个方格(m4，m5，m6，m7)处填处填1。CBAADDCBACBAF 2000

30、111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 11 1 ABCD D：当：当ABCD=1时该与项为时该与项为1，对应八个方格，对应八个方格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)处填处填1。 ：当：当ABCD=001时该与项为时该与项为1，对应两个方格对应两个方格(m2、m3)处填处填1。CBA ：当：当ABCD=101时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应两个方格在卡诺图上对应两个方格(m10、m11)处处填填1。CBA解：解：AD：当：当ABCD=11时该与项为时该与项为1，对应四个方格，对应四个方格(m9、 m11、m13、m15)处填处填1。某些最小项重复，只需填一次即可。某些最小项重复，只需填一次即可。例：例：1由逻辑图列出真值表由逻辑图列出真值表步骤如下：步骤如下：（1 1）求出每个逻辑门输出的逻辑表达式；）求出每个逻辑门输出的逻辑表达式；（2 2）求出电路输出的逻辑表达式，并进行化简；）求出电路输出的逻辑表达式，并进行化简；（3 3）填写真值表。）填写真值表。例例：分析图分析图8-9逻辑电路，求（逻辑电路，求（1）输出表达式；（）