第6章+主应力法及其应用(2)

1、金属塑性成形原理 第6章 主应力法及其应用华侨大学华侨大学模具技术研究中心模具技术研究中心 刘华刘华华侨大学模具技术研究中心第6章 主应力法及其应用p6.1 金属塑性成形问题的求解方法p6.2 主应力法的基本原理p6.3 几种金属流动类型变形力公式的推导p6.4 主应力法在塑性成形中的应用p6.5 关于接触表面上的摩擦切应力及其对压应力分布的影响华侨大学模具技术研究中心 塑性成形力学的基本任务之一就是确定各种成形工序所需的变形力，这是合理选用加工设备、正确设计模具和制订工艺规程所不可缺少的。由于塑性成形时变形力是通过工具表面或毛坯的弹性变形区传递给变形金属的，所以为求变形力，需要确定变形体与工

2、具的接触表面或变形区分界面上的应力分布。 6.1 金属塑性成形问题的求解方法华侨大学模具技术研究中心 塑性成形力学解析的最精确的方法，是联解塑性应力状态和应变状态的基本方程。 对于一般空间问题，在三个平衡微分方程和一个屈服准则中，共包含六个未知数(ij ) ，属静不定问题。再利用六个应力应变关系式（本构方程）和三个变形连续性方程，共得十三个方程，包含十三个未知数（六个应力分量，六个应变或应变速率分量，一个塑性模量），方程式和未知数相等。6.1 金属塑性成形问题的求解方法华侨大学模具技术研究中心 塑性成形力学的数学解析法只有在某些特殊情况下才能解，而对一般的空间问题，数学上的精确解极其困难。对大

3、量实际问题，则是采用一些简化和假设来求解。根据简化方法的不同，求解方法有下列几种。 6.1金属塑性成形问题的求解方法华侨大学模具技术研究中心n主应力法（初等解析法） 从塑性变形体的应力边界条件出发，建立简化的平衡方程和屈服条件，并联立求解，得出边界上的正应力和变形的力能参数，不考虑变形体内的应变状态。 6.1金属塑性成形问题的求解方法华侨大学模具技术研究中心n滑移线法 假设材料为刚塑性体，在平面变形状态下，塑性变形区内任一点存在两族正交的滑移线族，结合边界条件可解出滑移线场和速度场，从而求出塑性变形区内的应力状态和瞬时流动状态，计算出力能参数。6.1 金属塑性成形问题的求解方法华侨大学模具技术

4、研究中心n上限法 从变形体的速度边界条件出发，对塑性变形区取较大的单元，根据极值原理，求出塑性变形能为极小值时满足变形连续条件和体积不变条件时的动可容速度场，计算出力能参数，不考虑塑性变形区的应力状态是否满足平衡方程。6.1 金属塑性成形问题的求解方法华侨大学模具技术研究中心n有限元法 将连续体离散为有限个单元的组合体，单元之间用节点连接，在每个单元内假设近似函数即插值函数来分片表示系统的求解场函数，插值函数由节点值确定，单元之间的作用由节点传递，建立物理方程，对全部单元的组合体进行数值计算，可求出变形体内的应变、应力等场变量以及力能参数。6.1 金属塑性成形问题的求解方法华侨大学模具技术研究

5、中心 主应力法是金属塑性成形中求解变形力的一种近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解过程大大简化。其基本要点有： 6.2 主应力法基本原理华侨大学模具技术研究中心 把变形体的应力和应变状态简化成平面问题（平面应变状态或平面应力状态）或轴对称问题，以便利用比较简单的塑性条件，即13=s 。 对于形状复杂的变形体，可以把它划分为若干形状简单的变形单元，并近似地认为这些单元的应力应变状态属于平面问题或轴对称问题。6.2 主应力法基本原理华侨大学模具技术研究中心 例如，根据连杆模锻时的金属流动模型，可将锻件的左、右半图视为轴对称变形部分，而中间部分视

6、为平面变形部分。连杆模锻时的金属流动平面和流动方向连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a) a) 流动平面流动平面 b) b) 连杆模锻件连杆模锻件 c) c) 流动方向流动方向 6.2 主应力法基本原理华侨大学模具技术研究中心 根据金属流动的方向，沿变形体整个（或部分）截面（一般为纵截面）切取包含接触面在内的基元体，且设作用于该基元体上的正应力都是均布的主应力。这样，在研究基元体的力平衡条件时，获得简化的常微分方程以代替精确的偏微分方程。接触面上的摩擦力可用Coulomb摩擦条件或常摩擦条件等表示。 6.2 主应力法基本原理华侨大学模具技术研究中心 在对基元体列塑性条件时，假定接触面上的正应

7、力为主应力，即忽略摩擦力对塑性条件的影响，从而使塑性条件简化。 塑性条件 可简化为 或 对于轴对称问题，塑性条件 可简化为22244)(kxyyx02yxyxkyxdd2223)(Tzrzr0zrdd6.2 主应力法基本原理华侨大学模具技术研究中心 简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系 库仑摩擦定律： （滑动摩擦） 常摩擦定律： （粘着摩擦） 式中： 摩擦应力 k屈服切应力（ ） 正应力 f 摩擦系数nkfkkkn3/sk 将经过简化的平衡微分方程和塑性条件联立求解，并利用边界条件确定积分常数，求得接触面上的应力分布，进而求得变形力。 6.2 主应力法基本原理华侨大学模具技术研究中心n 由

8、于经过简化的平衡方程和屈服方程实质上都是以主应力表示的，故此得名“主应力法”。又因这种解法是从切取基元体或基元板块着手的，故也形象地称为“切块法”（Slab method）。 n 主应力法的数学演算比较简单，在实际应用中主应力法除了用于计算变形力以外，还可以用来求解某些变形问题。主应力法得到的是解析解，从解的数学表达式中，可以看出各有关参数（如摩擦因数、变形体的几何尺寸等）对求解结果的影响，因而在金属塑性成形分析中应用非常广泛。但是，这种方法只能确定接触面上的应力大小和分布，且计算结果的准确性与所作假设和实际情况的接近程度有关。 6.2 主应力法基本原理华侨大学模具技术研究中心6.3 几种金属

9、流动类型变形力公式的推导一平面应变镦粗型的变形力二平面应变挤压型的变形力三轴对称镦粗型的变形力四轴对称挤压型的变形力 华侨大学模具技术研究中心例题一 1.滑动摩擦条件下的薄板平锤压缩变形（直角坐标平面应变问题 ） 高为h，宽为W，长为l 的工件，置于平锤下压 缩。如果l 比h大得多， 则板坯长度方向几乎没 有延伸，仅在x方向和y 方向有塑性流动，即为 平面应变问题，适用于 直角坐标分析。 矩形工件的平锤压缩一、平面应变镦粗型的变形力 华侨大学模具技术研究中心 并对其列力平衡方程为：Kxy2()20 xxxhdhdx20 xddxhyxddCxhmky2mkhmkdxdy2hdxdy2截取如图所

10、示基元板块，一、平面应变镦粗型的变形力 整理后得：由近似塑性条件（按绝对值） 或 ，得：将滑动摩擦时的库仑摩擦定律 代入上式得：上式积分得：华侨大学模具技术研究中心一、平面应变镦粗型的变形力在接触边缘处，即 时， ，由近似塑性条件Kye22/WxeKxy2KWhmkC222yeeyxxhmk)(2)2(1 2xWhmKyyeexyexhmkdxxFPpe01)41 (2hWmKp0 xe因此接触面上正应力分布规律于是单位面积的平均变形力p为：华侨大学模具技术研究中心一、平面应变镦粗型的变形力倾斜砧板间的平面应变镦粗00，下滑式流动00，收敛式流动00，爬升式流动00，散射式流动华侨大学模具技术

11、研究中心一、平面应变镦粗型的变形力下面以收敛式流动(图a)为代表，推导y和p的计算公式。列基元板块的平衡方程式倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析0tantan2)tan(tan)(dxdxdxdxhdhluxxx华侨大学模具技术研究中心一、平面应变镦粗型的变形力dxluyy又由静力平衡关系可得tancoscostanyuyudxdxdx同理tanlytanyl根据几何关系可写出xhhb)tan(tantanyu倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析华侨大学模具技术研究中心一、平面应变镦粗型的变形力0)tan(tan)tan(tan2)tan(tan)tan(tan22dxdxdxdhdxyxbxY

12、xy32将这些关系式代入前式，并略去二阶微量，整理后得已知按绝对值列出的近似屈服方程为yxdd华侨大学模具技术研究中心一、平面应变镦粗型的变形力与上式联立求解，并令tantan1K)tantan2(322212YKK则得dxxKhKdby)(12CxKhKKby)ln(112当 时， ， 得exx yeyyebexKhhKKC)ln(112华侨大学模具技术研究中心一、平面应变镦粗型的变形力yebeyxKhhKK)ln(112dxxKhhKKxdxxFPpeexyebeexye01120)ln(11最后得垂直压应力单位变形力yeebbeeehKKhhhhxKKln)1(ln) 1(ln11212

13、华侨大学模具技术研究中心二、平面应变挤压型的变形力 宽板从平面锥形凹模挤出或锻件充填模腔形成长筋等均属于这种类型平面应变挤压型金属流动方向和应力分布图形平面应变挤压型金属流动方向和应力分布图形华侨大学模具技术研究中心n这时金属的流动情况与收敛式流动相似，只是x、y坐标方向改变而已，只要将相应的符号改变，不必重新推导，即可仿照前式直接写出 的计算式：yxebexyKwwKK)ln(112Yyx32简化屈服方程为二、平面应变挤压型的变形力故得YyKwwKKxebey32)ln(112华侨大学模具技术研究中心二、平面应变挤压型的变形力如果 处为自由表面，则 ， ，于是0yeYxe32eyy )ln(

14、112yKwwKKbey华侨大学模具技术研究中心二、平面应变挤压型的变形力yx的分布曲线如图所示。华侨大学模具技术研究中心 下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变形力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状态没有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z轴），即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐标无关，仅与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标轴对称镦粗问题。 三、三、轴对称镦粗型的变形力 华侨大学模具技术研究中心工件的受力情况如下图所示。三、平行垫板间的轴对称镦粗 1华侨大学模具技术研究中心三、平行垫板间的轴对称镦粗 2平行垫板间轴对称镦粗变形及基元板块的分布图 分

15、析它的一个基元体，列静力平衡方程： 02sin22)()(ddrhdrrdddrrhdrdhrrr华侨大学模具技术研究中心三、平行垫板间的轴对称镦粗 3由于d很小， ，忽略高阶微分，整理得：对于均匀变形， ，上式即为： 将近似的塑性条件 代入上式得：22sindd 02rhdrdrrrzrdd02hdrdrdrhdz2YrzCrhz2华侨大学模具技术研究中心三、平行垫板间的轴对称镦粗 4ezerhC2zeezrrh)(2当 时 ，故有 最后得 err zezrdrrrhrdFrFPpeerzeeerze2)(2110202zeerh232若该处为自由表面， 则 ；否则由相邻变形区提供的边界条件

16、确定。 Yze0re华侨大学模具技术研究中心三、平行垫板间的轴对称镦粗 5 由上两式，又 ，则可以方便地求出高度为 h 、直径为 d 的圆柱体自由镦粗时接触面上的压应力y和单位变形力 p ： )2(1 rdhmYz)61 (hdmYp)2/(YKmK华侨大学模具技术研究中心三、倾斜砧板间的轴对称镦粗 1下面以倾斜砧板间的轴对称镦粗散射式流动为代表，推导其接触面上的压应力y和单位变形力 p 如图所示截取一个基元体，建立坐标系，并对其列静力平衡方程： 0)tan(tan)(2tantan2sin2ddrhdrrddrrdrdrdrdrdddrhrdhrrlurrdrlurrdhehzbhrrer华

17、侨大学模具技术研究中心三、倾斜砧板间的轴对称镦粗 2n因为 ，略去二阶微量整理得 02)tan(tantantanrdrrhdhdrdrrrdrrdrdrhrrrlu22sindd tanyltanyur0)tan(tan)tantan2()tan(tan22rrzhddrdrdrrn则得n假设 又华侨大学模具技术研究中心三、倾斜砧板间的轴对称镦粗 3按绝对值列简化屈服方程rzddYrztantan1K)tantan2(2212YKKdrrKhKdbz)(12CrKhKKbz)ln(112当 时， ， 得err zezzeehKKCln12并令 代入上式得：华侨大学模具技术研究中心三、倾斜砧板

18、间的轴对称镦粗 4zebezrKhhKK)ln(112rdrrFPperze2102单位变形力)ln() 1(ln) 1(ln)21(ln2)21(ln22122222312ezebbebebbeeehKKhhhhhhhhhrKK华侨大学模具技术研究中心四、轴对称挤压型的变形力 102tan2)tan()(22dzrdzrdzrdruzzz圆柱体从锥形凹模挤出或锻件充填圆锥形模孔(腔)形成凸台均属于这种类型。02tan2tan22dzrdrdzrdzrzuz略去高阶微量得如图列基元板块的平衡方程式，华侨大学模具技术研究中心四、轴对称挤压型的变形力 2YzrdzrYdztan)tan1 ( 22

19、tanzrrb联解得又由几何关系得r挤压变形时，r方向为压应变，z方向为拉应变； 和虽同为压应力，前者的绝对值必大于后者，故按绝对值列出的简化屈服方程应为zCzrKbz)tanln(1代入上式，积分后得式中tantan)tan1 ( 221YK华侨大学模具技术研究中心四、轴对称挤压型的变形力 3ezz 0z 当 时， ，故ebebbrrKzrrKplntanln11)tan()tan(ln1ebbzzrzrK)tanln(1ebzrKC最后得z0处的 ，即为挤入深度为 时所需的单位变形力zz上述的有关推导，还可方便地移植到轴对称拉拔变形中。华侨大学模具技术研究中心五、轴对称拉拔型的变形力 1此

20、时， 为拉应力，故参照前述基元板块平衡方程式，可改写为02tan2tan22dzrdrdzrdzrzuzzz在拉拔变形时，由于模壁的约束作用， 必为负，也即 和 互为异号。现按绝对值列简化的屈服方程应为rrYrzCzrKbz)tanln(1华侨大学模具技术研究中心五、轴对称拉拔型的变形力 2CzrKbz)tanln(1联解后得0z0z 当 时， ，故)tan(ln1zrrKbbzbrKCln1最后得ezz 当 ，即得单位变形力ebebbzerrKzrrKplntanln11华侨大学模具技术研究中心n虽然拉拔变形力公式和挤出变形力公式相同，但其拉拔变形力却比金属在同样的锥形凹模挤出所需的变形力小

21、，因为前者按出口端的面积计算，而后者按入口端曲面积计算。即ebbbrrKrprPln122挤压ebeerrKrprPln122拉拔ebrr 挤压拉拔PP华侨大学模具技术研究中心 单孔模正挤压圆棒 （球坐标轴对称问题） 分四个区进行求解。图 圆棒正挤压受力情况 在同样变形程度和凹模锥角的情况下，挤压的工艺变形力总是远比拉拔的工艺变形力大。华侨大学模具技术研究中心n板料成形的特点 1) 板料成形大多可作为平面应力问题处理。在板料成形时，坏料大多只有一个板面与模具接触，而另一个板面为自由表面，其上作用的法向应力为零，因此板厚方向上的平均应力不会很大，与其余两个主应力相比，往往可以忽略不计。 6.4

22、主应力法在塑性成形中的应用华侨大学模具技术研究中心 2) 板料成形大多在室温下进行，需要考虑加工硬化。由于变形区各处的等效应变不一定相同，材料的真实应力需用真实应力应变关系式来表达，亦可用反映变形区平均硬化程度的平均真实应力来近似取代。 3) 板料成形过程中，变形区的板料厚度是变化的，但为简化计算，往往忽略板厚的变化。 4) 必要时，还需考虑板料的各向异性的影响。 6.4 主应力法在塑性成形中的应用华侨大学模具技术研究中心n圆筒件拉深过程中凸缘变形区的应力分析 将半径为R0的板料毛坏拉深为半径为r0的圆筒形零件，变形过程中凸缘是主要塑性变形区。采用压边圈拉深时，凸缘变形区材料径向受拉应力r作用

23、，切向受压应力作用，厚度方向受压边圈所加不大的压应力t作用，如t忽略不计，则只需求r和的值，变形区的应力分布就清楚了。 6.4 主应力法在塑性成形中的应用华侨大学模具技术研究中心华侨大学模具技术研究中心 近似取 d(d)(d )dd2d sin02rrrrrtrtrt 从变形区任意半径r处截取宽度为dr、夹角为d的基元体，根据基元体的受力平衡得 ddsin22 略去高阶无穷小，可得 dd()rrrr 6.4 主应力法在塑性成形中的应用华侨大学模具技术研究中心 对于平面应力问题，一般取1.1。 简化的屈服方程为 ()rrY 由于变形区内各点的变形程度不同，真实应力S不是常数。现以变形区材料的平均

24、抗力Ym来表示。 6.4 主应力法在塑性成形中的应用华侨大学模具技术研究中心 由上述两式并考虑边界条件（当r=R时，r=0），可求出径向拉应力r和切向压应力的大小分别为 1.11nrmRYr1.1(1 1n)mRYr 式中，R是拉深中某时刻凸缘半径；r是凸缘区内任意点的半径。 6.4 主应力法在塑性成形中的应用华侨大学模具技术研究中心 当拉深进行到某瞬时，各点的应力见图b所示，它是按对数曲线规律分布的。可知，在变形区内边缘即r=r0处径向拉应力r最大，其值为 max01.11nrmRYr 而此处数值最小，为 01.1(1 1n)mRYr6.4 主应力法在塑性成形中的应用华侨大学模具技术研究中心

25、 在变形区外边缘r=R处的数值最大，为 max1.1mY 而此处拉应力r 最小为零。 6.4 主应力法在塑性成形中的应用华侨大学模具技术研究中心6.4 主应力法在塑性成形中的应用n二、在体积成形中的应用n对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，亦能得到整个问题的解；而且由于前述的基元板块划分和公式推导的规范化，避免了传统的手工作业式的解题模式，因而全部计算工作适于编制程序由计算机来完成。n下面举例说明 华侨大学模具技术研究中心叶片横断面上基元板块的划分和正应叶片横断面上基元板块的划分和正应力的分布曲线力的分布曲线例1华侨大学模具技术研究中心例2中部挤出凸台的平面应变檄粗变形a)流动模式 b)xk=02时y的分布图形c)xk=01时y的分布图形华侨大学模具技术研究中心6.5 关于接触表面上的摩擦切应力及其对压应力分布的影响 接触表面上摩擦切应力的分布相当复杂，不可能是一个恒值。1.在接触面正压力较小的区域， 的分布更符合库仑摩擦定律，即 ；2.当正压力较大以致 达到极值时，则 将不再随正压力的增大而增大，此相应的区域应遵循最大摩擦力不变条件，即 3.而在分流点(线)附近的区域，根据金属沿接触表面流动的特点