机械振动学习题解答(二)

1、机械振动学机械振动学习题解答（二）习题解答（二）2013-04-1941 如图所示，质量为 m 的油缸与刚度为k的弹簧相连，通过阻尼系数为 c 的黏性阻尼器以运动规律 y = A sin t的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。解：解：设油缸位移为 x，活塞位移为 y，对油缸建立方程即方程的解为x的振幅而活塞的运动为所以x相对于y的相位差ycmkxmxc xykx cosmxcxkxcyc At2arctan2ckm222()()c AXkmccos()xXt2arctanckmsin()cos(/ 2)yAtAt相位42 如图所示，质量可忽略的直角刚性杆可绕铰链O自由转动，

2、弹簧一端有简谐位移扰动 A cos t 。试导出系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。解：解：设刚性杆向顺时针方向转动角，则图中B点的位移和速度分别为对刚性杆用动量矩定理cmkA cos t2sincoscosBBmLmg Lcxk xAtamgaL222cosmLcakamgLakAt由 化简得微分方程Bxsin,cos1Bsin, cosBBxaaxaa 122tan1rr222cosmLcakamgLakAt222222cosakAtkamgLmLca22221cos(1)(2)akAtkamgLrr2222arctancakamgLmL微分方程稳态响应其中或其中2222/()/kag

3、rkamgLmLmLL222()caL m kamgL43 求弹簧-质量系统在库仑阻尼和简谐激励力 F0 sin t 作用下的振幅。在什么条件下运动能继续？解：解：库仑阻尼的等效阻尼系数振幅上式可化简为要使运动能继续，X不能为虚数，所以4eNcX02224FXNkmX2222204 NkmXF220224/ FNXkm2204/0FN0 4NF45 带结构阻尼的单自由度系统，若刚度和阻尼的作用可用复数形式 表示，系统的等效质量为 m，求系统在简谐激励下的响应。解：解：系统的微分方程为设系统的稳态响应，代入上式得20ikk e2200imXk eXFiXX e200ii tmxk exF ei

4、txXe2000cos2sin2kmikXF020sin2arctancos2kkm解得()i titxXeX e022200cos2sin2FXkmk所以其中47 弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行可用图示单自由度系统模拟。若每经过距离为 L 的路程，路面的高低按简谐规律变化一次，试求出车辆振幅与运行速度 v 之间的关系，并确定最不利的运行速度。解：解：将路面看成简谐激励，其周期 ，则角频率系统方程为2 vL22sin2/kYvxtLkWv L/TL v稳态响应()0Wxk xy振幅22/kYXkWv L系统发生共振时为最不利的情况2 2nvkLkvLWW2sinvWxkxkYtL48 图示

5、系统中，集中质量 m = 20 kg，弹簧刚度 k = 3.5 kN/m，阻尼器的黏性阻尼系数为c = 0.2 kNs/m，凸轮的转速为60r/min，行程为0.01m。试求系统的稳态响应。解：解：设凸轮的行程为a，则凸轮的位移可表示为 ，并由题意知：a = 0.01m，周期 = 1s。将x0(t)展开为Fourier级数其中所以0000012( )cossin, nnnx taantbnt0( )ax tt0000122d, cosd0,222sindnnaaaat tatnttaabtnttn 0011( )sin2naax tntn00.511.5200.51奇函数的奇函数的Fourie

6、r级数只有正弦项，偶函数只有余弦项。级数只有正弦项，偶函数只有余弦项。系统的微分方程为即于是稳态响应0()mxcxkxk xx 0011112sin2nmxcxkxkxkantn022220400arctanarctan2700080ncnnkmnn0222210022221sin/ 21( )22()sin23510.0025700080(400)nnnnntkakax tknkmncnntnnn静载荷静载荷多个简谐激励多个简谐激励02其中49 一个弹簧-质量系统从倾斜角为30的光滑斜面下滑。求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。解：解：设弹簧接触挡板的时刻为t=0，此后质量块做无阻尼自由振

7、动，以弹簧平衡位置为原以弹簧平衡位置为原点点，其运动方程为t=0时的初速度初始位移（即弹簧自由长度与静平衡长度的差值）质量块的运动规律为求出运动规律后，要求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间，有两种办法。0mxkx00cossinnnnxxxtt02sin30 xgSgS0sin302mgmgxkk mkS/nk m解法二：解法二：将此简谐运动写作式中由图可见，弹簧从接触挡板到脱离的时间为00cossincos()nnnnxxxttAt0004arctanarctannxkSxxmg222222242arctanntTmkSkmg 解法一：解法一：设弹簧运行至最低点时t = ，则弹簧脱离挡板的

8、时刻应为t = 2。令 ，可得弹簧从接触挡板到脱离的时间为 。( )0 x00sincos0nnnxx 14tanmkSkmg2t 20 x055 机器质量为453.4kg，安装时使支承弹簧产生的静变形为5.08mm，若机器的旋转失衡为0.2308kgm，求：在1200 r/min时传给地面的力；在同一速度下的动振幅。解：解：旋转失衡的微分方程为振幅其中所以传给地面的力2sinMxcxkxmet222222/1(1)(2)mekmerXMrrr312005.08 1022.861609.8nMrkg220.23080.58453.4 1rXmmr22233453.4 9.80.58 10507

9、.35.08 10TMgXFXkckXN56 如果题5-5的机器安装在质量为1136kg的大混凝土基础上，增加基础下面弹簧的刚度，使弹簧静变形为5.08mm，则动振幅将是多少？解：解：频率比振幅312005.08 1022.861609.8rg224220.23081.65 100.165453.4 113611merrXmmmMrr（与上题相同）（与上题相同）（比上题小了）（比上题小了）57 质量为113kg的精密仪器通过橡皮衬垫装在基础上，基础受到频率为20Hz、幅值为15.24cm/s2的加速度激励，设橡皮衬垫有如下参数：k=2802N/cm，=0.1，问：传给精密仪器的加速度是多少？解

10、：解：微分方程位移传递率式中加速度传递率所以mxcxkxcyky22221(2)(1)(2)rXYrr21130.1, 2202.5242802 10mrk22XXXYYY20.208 15.243.18/XXYcm sY59 机器重2500kN，弹簧刚度k=800kN/m，阻尼比=0.1，干扰力频率与发动机转速相等。试问：在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；传递力幅为激振力幅20%时的转速是多大？解：解： 力传递率于是故最大转速为力传递率于是33800 1022.504rad/s2500 10 /9.8krm22221 (2)1 2(1)(2)TrFrFrr2.504 60=23.9

11、r/min220% 2.57TFrF4.551rad/skrm转速4.55 60=43.5r/min2510 一仪器要与发动机的频率从1600到2200r/min范围实现振动隔离，若要隔离85%，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？解：解：根据传递率与频率比的关系曲线，要在r1, r2的频率区间内使隔振达到85%，只要在r1时传递率Tr0.15即可。222221212122211 (2)0.15(1)(2)1320 1203123/3 9.82.676m21600/60rnrTrrrrrmgggk 511 悬挂系统的固有频率为0.5Hz，箱子从0.5m高处落下，求所需的振荡空间。

12、解：解：设x为质量m的绝对位移，y为箱子的绝对位移，z为质量m相对于箱子的位移，当箱子做自由落体运动时，微分方程：即此系统受到阶跃激励，其响应为（课本p.110）此运动一直持续到箱子落地的时刻，设此时刻为t1，则将t1代入z(t)的表达式，可得此时的位移和速度，分别记为12htg()()mxk xyc xymzczkzmymg 2( )1(cossin)1ntddmgz tettk11()()z tz t和箱子落地后，相对速度 瞬间增加了gt1，而相对位移不变，即此后，质量m做有阻尼自由振动，初始条件即为其响应为（课本p.54, 式(3-53)）求此响应的最大幅值即为箱子所需的振荡空间。111

13、()()( )()cossin)ntndddz tz tz tez ttt11()()z tz t和z +11111()= (), ()= ()z tz tz tz tgt两大通用方法：1 Duhamel积分2 Laplace变换特殊函数激励的响应（无阻尼系统）：1 单位脉冲响应2 阶跃激励F(t)=F0的响应3 斜坡激励F(t)=at的响应单自由度系统瞬态激励下的响应单自由度系统瞬态激励下的响应()01( )( )sin()nttddx tfetdm0( )(1 cos)nFx ttk1( )sinnnax tttk( ), ( )mxcxkxf tf t为任意函数2( )()( ) ( )

14、( )mxcxkxf tmscsk X sL f tF S12( )( ), ( )( )F sX sx tLX smscsk1( )sinnnx ttm解：解：t t0时，系统响应有两种解法。解法一：将激励看成两个阶跃函数的叠加，其响应分别为411 如图所示，一弹簧-质量系统，从t = 0开始作用一不变的F0力，作用时间为t0。求系统在t t0两种情况下的响应，并找出t t0时最大位移与t0/的关系。如果t0与系统自振周期相比很小，最大位移为多少？请与脉冲响应函数比较。00( )(1 cos), nFx ttttk00120( )(1 cos), ( )1 cos()nnFFx ttx tt

15、tkk 01200( )cos()cos, nnFx txxtttttk0tt( )f t0F=+0t0t0F0F0F于是解法二： t t0时系统作自由振动，初始条件为0000( )(1 cos)nFxx ttk000( )2sinsin22nnFttx ttk0000( )sinnnFxx ttk000000( )cos()sin()cos()cosnnnnnxFx txtttttttk于是为求t t0时的最大位移，上式可用和差化积公式和差化积公式改写为2n最大值当 时，t0很小的阶跃响应与脉冲响应类似，但由于阶跃激励的瞬时值是有限值，而脉冲激励的瞬时值是无穷大，故二者仍有区别： t0很小的阶跃响应最大值趋近于0，而脉冲响应不是。0000max2sin2sin2nFtFtxkk0/1tmax0 x412 如图所示，一单自由度无阻尼弹簧-质量系统，受到图示力的激励，用杜哈美积分求系统在t t1两种情况下的响应，并概略图示之。解：解：t t1时，系统受到的激励可看成两个斜坡函数的叠加101( ), , /f tatttaFt0111( )sin, nnFx tttttkt12101( ), ( )(), /f tatf ta ttaFt 1tt( )f t0F1t0F=+1t1( )f ta