高中数学必修圆与方程圆标准方程人教APPT学习教案

1、会计学1高中数学必修圆与方程圆标准方程人教高中数学必修圆与方程圆标准方程人教A 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？AMrxOy第1页/共32页 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了因此一个圆最基本要素是圆心和半径xOyA(a,b)Mr(x, y) 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离第2页/共32页 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？rMAMp|符合上述条件的圆的集合：xOyA(a

2、,b)Mr(x, y)第3页/共32页 圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？rMAMp|rbyax22)()(222)()(rbyax.21221221yyxxPP根据两点间距离公式：则点M、A间的距离为：.22byaxMA即：第4页/共32页 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？222)()(rbyax 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上 把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长

3、为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.第5页/共32页注意以下三点：1已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2.2当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r2.3圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径.第6页/共32页补充练习：补充练习：写出圆的圆心坐标和半径：写出圆的圆心坐标和半径： (1) (x+1)2+(y-2)2=9 (2)(x+a)2+y2=a2(x-3)2+(y-4)2=5(x-8)2+(y+3)2=25(-1,2) 3(-a,0) |a|练习：练习：1、写出下列各圆的方程：

4、、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点圆心在点C(3, 4 )，半径是半径是 (2) 经过点经过点P(5,1),圆心在点圆心在点C(8,-3)5第7页/共32页 点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么？通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系点M0在圆上点M0在圆内(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2r2点M0在圆外第8页/共32页 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：)3, 2(A25) 3() 2(22yx 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；)7, 5(1M25) 3(

5、)2(22yx1M1M) 1, 5(2M) 3, 2 ( A把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等， 点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上) 1, 5(2M2M) 7, 5 (1M2M1M第9页/共32页 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：)3, 2( A25) 3()2(22yxAxyoM1M2第10页/共32页 例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程ABC 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一

6、个圆，三角形有唯一的外接圆 解：设所求圆的方程是 （1）222)()(rbyax 因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）于是222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba第11页/共32页22 ,3 ,2 5 .abr所以， 的外接圆的方程 ABC25)3()2(22yx解此方程组，得： 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆 解： 例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程ABC第12页/共32页小结:1圆的标准方程中含有三个参变数，必须

7、具备三个独立的条件；才能定出一个圆的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程。2求圆的标准方程的一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为 (xa)2+(yb)2=r2；第13页/共32页（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解此方程组，求出a、b、r的值；（4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.第14页/共32页例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2) 圆心C在直线l: x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程. yxOCABl第15页/共32页 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2

8、)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程 分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，由于圆心C与A, B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上又圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|ll 解：因为A(1, 1)和B(2, 2)，所以线段AB的中点D的坐标),21,23(直线AB的斜率:31212ABk第16页/共32页因此线段AB的垂直平分线 的方程是l)23(3121xy即033 yx圆心C的坐标是方程组01033yxyx的解 例3 已知圆心为C的圆经

9、过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程 解：第17页/共32页所以圆心C的坐标是)2, 3(圆心为C的圆的半径长5)21 ()31 (|22 ACr所以，圆心为C的圆的标准方程是25)2() 3(22yx解此方程组，得. 2, 3yx 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程 解：第18页/共32页练习:（1）圆心在点C(2,1)并过点A(2,2)；（2）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 . (3)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直

10、径的圆的方程，并判断M(6，9)和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?5第19页/共32页第20页/共32页（2）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 .5解：（2）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方程为(xa)2+(yb)2=5.已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的方程得 2222(1)5(2)(1)5abab解得 1111ab 或2213ab因此所求圆的方程为(x1)2+(y+1)2=5或(x1)2+(y3)2=5。第21页/共32页(3)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9)和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?解：由已知得

11、圆心坐标为C(5，6)，半径r的平方为r2=10所以圆的方程为(x5)2+(y6)2=10， 将M，N点的坐标代入方程得(65)2+(96)2=10，(55)2+(36)210,所以点M在圆上，点N在圆内.第22页/共32页例4求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x7y+8=0上的圆的方程。解法1. 直线AB的斜率k=1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1， AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x= ，y= .2752因此直线m的方程为y =x ， 即xy1=0.7252第23页/共32页又圆心在直线l上，所以圆心是直线l与直线m的交点，解联立方程组 102780 xyxy 得 32

12、xy 所以圆心的坐标是C(3，2)，半径r=|CA|= ，13所以圆的方程是(x3)2+(y2)2=13.第24页/共32页解法2. 设所求的圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2，由题意得222222(6)(0)(1)(5)2780abrabrab解得 22313abr所以圆的方程是(x3)2+(y2)2=13.第25页/共32页练习题：1圆(x1)2+(y+1)2=2的周长是（ ） （A） （B）2 （C）2 （D）422C第26页/共32页2圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（ ）（A）x2+y2=25 （B）x2+y2=5 （C）(x3)2+(y4)2=25， （D）(x+3)2+(y+4)2=25，C第27页/共32页3已知圆心在P(2，3)并且与y轴相切，则该圆的方程是（ ）（A）(x2)2+(y+3)2=4 （B）(x+2)2+(y3)2=4 （C）(x2)2+(y+3)2=9 （D）(x+2)2+(y3)2=9B第28页/共32页4过点A(1，1)，B(5，6)且圆心在直线x+y2=0上的圆的方程为（ ）（A）(x3)2+(y+1)2=4 （B）(x+3)2+(y1)2=4 （C）(x1)2+(y1)2