专题14圆的切线有关证明问题解析版苏科版

1、2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题14 圆的切线有关证明问题【方法指导】1. 判断直线和圆的位置关系：设o的半径为r，圆心o到直线l的距离为d直线l和o相交dr直线l和o相切d=r直线l和o相离dr2. 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直3.切线的判定：（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）在应用判定定理时注意：切线必须满足两个条件：a、经过半径

2、的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”4.切线长定理：（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆

3、心和这一点的连线，平分两条切线的夹角切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量（3）切线长定理包含着一些隐含结论：垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到5.三角形的内切圆和内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内

4、心与三角形顶点的连线平分这个内角【题型剖析】【类型1】直线和圆的位置关系【例1】（2019秋邗江区校级期中）直线l与半径为r的o相交，且点o到直线l的距离为3，则r的取值范围是（）ar3br3cr3dr3【分析】直线和圆有三种位置关系：已知o的半径为r，圆心o到直线l的距离是d，当dr时，直线l和o相切，当dr时，直线l和o相交，当dr时，直线l和o相离，根据以上内容得出即可【解析】直线l与半径为r的o相交，且点o到直线l的距离为3，r3，故选：c【方法小结】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直

5、线与圆相离【变式1-1】（2018常州模拟）半径为10的o和直线l上一点a，且oa10，则直线l与o的位置关系是（）a相切b相交c相离d相切或相交【分析】分两种情况求解：oal；oa不垂直l根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定【解析】若oal，则圆心o到直线l的距离就是oa的长，等于半径，所以直线l与o相切；若oa与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心o到直线l的距离小于5，即小于半径，所以直线l与o相交故选：d【变式1-2】（2019宜兴市一模）如图，在直角abc中，c90，bc3，ac4，d、e分别是ac、bc上的一点，且de3若以de为直径的圆与斜边ab相交于m、n，则mn的最大值为（

6、）a85b2c125d145【分析】根据题意有c、o、g三点在一条直线上og最小，mn最大，根据勾股定理求得ab，根据三角形面积求得cf，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得mn的最大值【解析】取de的中点o，过o作ogab于g，连接oc，又co1.5，只有c、o、g三点一线时g到圆心o的距离最小，此时og达到最小mn达到最大作cfab于f，g和f重合时，mn有最大值，c90，bc3，ac4，ab=ac2+bc2=5，12acbc=12abcf，cf=125，og=125-32=910，mg=om2-og2=65，mn2mg=125，故选：c【类型2】切线的性质问题【例2】（2019宿豫区模拟）

7、如图，abc是o的内接三角形，ab是o的直径，bac2abc，过点b的切线交ac的延长线于点d，若o的半径为1，则cd长为（）a3b4c23d3【分析】根据圆周角定理和bac2abc，求得abc30，解直角三角形求得ac1，bc=3，由切线的性质得出abd90，根据射影定理即可求得【解析】ab是o的直径，acb90，bac+abc90，bac2abc，abc30，ac=12ab1，bc=32ab=3，bd是o的切线，addb，abd90，bc2accd，cd=bc2ac=31=3，故选：a【变式2-1】（2019灌南县二模）如图，菱形abcd的边ab5，面积为20，bad90，o与边ab、ad

8、都相切，ao2，则o的半径长等于（）a235b55c335d255【分析】连接ac，bd，oe，根据菱形的性质、勾股定理分别求出am，bm，根据切线的性质得到oea90，证明aoeabm，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解析】连接ac，bd，oe，四边形abcd是菱形，acbd，amcm，bmdm，o与边ab、ad都相切，点o在ac上，设amx，bmy，bad90，xy，由勾股定理得，x2+y225，菱形abcd的面积为20，12xy5，x2+y2=2512xy=5，解得，x25，y=5，o与边ab相切，oea90，oeabma，oaebam，aoeabm，oebm=oaab，即oe

9、5=25，解得，oe=255，故选：d【变式2-2】（2019昆山市二模）如图，o中，直径ab与弦cd相交于点e，连接bc，ad，过点c的切线与ab的延长线交于点f，若d65，则f的度数等于（）a30b35c40d45【分析】连接oc，根据切线的性质得到ocf90，根据圆周角定理得到abcd65，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可【解析】连接oc，cf是o的切线，ocf90，由圆周角定理得，abcd65，ocob，ocbabc65，boc180656550，f90boc40，故选：c【方法小结】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键【类型3

10、】切线长定理【例3】（2019宜兴市二模）如图，pa、pb切o于点a、b，pa10，cd切o于点e，交pa、pb于c、d两点，则pcd的周长是（）a10b18c20d22【分析】根据切线长定理得出papb10，cace，dedb，求出pcd的周长是pc+cd+pdpa+pb，代入求出即可【解析】pa、pb切o于点a、b，cd切o于点e，papb10，cace，dedb，pcd的周长是pc+cd+pdpc+ac+db+pdpa+pb10+1020故选：c【变式3-1】（2019鼓楼区校级模拟）如图，ab是o的直径，点c为o外一点，ca、cd是o的切线，a、d为切点，连接bd、ad若acd48，则

11、dba的大小是（）a32b48c60d66【分析】根据切线长定理可知cacd，求出cad，再证明dbacad即可解决问题【解析】ca、cd是o的切线，cacd，acd48，cadcda66，caab，ab是直径，adbcab90，dba+dab90，cad+dab90，dbacad66，故选：d【变式3-2】（2019秋阜宁县期中）如图，o为abc的内切圆，ac10，ab8，bc9，点d，e分别为bc，ac上的点，且de为o的切线，则cde的周长为（）a9b7c11d8【分析】设ab，ac，bc和圆的切点分别是p，n，m根据切线长定理得到ncmc，qedq所以三角形cde的周长即是cm+cn的

12、值，再进一步根据切线长定理由三角形abc的三边进行求解即可【解析】设ab，ac，bc和圆的切点分别是p，n，m，cmx，根据切线长定理，得cncmx，bmbp9x，anap10x则有9x+10x8，解得：x5.5所以cde的周长cd+ce+qf+dq2x11故选：c【类型4】三角形的内切圆问题【例4】（2019秋兴化市期末）如图，abc周长为20cm，bc6cm，圆o是abc的内切圆，圆o的切线mn与ab、ca相交于点m、n，则amn的周长为cm【分析】根据切线长定理得到bfbe，cfcd，dnng，emgm，adae，然后利用三角形的周长和bc的长求得ae和ad的长，从而求得amn的周长【解

13、析】圆o是abc的内切圆，圆o的切线mn与ab、ca相交于点m、n，bfbe，cfcd，dnng，emgm，adae，abc周长为20cm，bc6cm，aead=ab+ac-bc2=20-bc-bc2=20-122=4，amn的周长为am+mg+ng+anam+me+an+ndae+ad448，故答案为：8【方法小结】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得ae和ad的长，难度不大【变式4-1】（2019秋秦淮区期末）rtabc中，c90，ac5，bc12，则abc的内切圆半径为【分析】设ab、bc、ac与o的切点分别为d、f、e；易证得四边形oecf是正方

14、形；那么根据切线长定理可得：cecf=12（ac+bcab），由此可求出r的长【解析】如图：在rtabc，c90，ac5，bc12，根据勾股定理ab=ac2+bc2=13，四边形oecf中，oeof，oecofcc90，四边形oecf是正方形，由切线长定理，得：adae，bdbf，cecf，cecf=12（ac+bcab），即：r=12（5+1213）2故答案为：2【变式4-2】（2019高淳区二模）如图，abc的内切圆o分别与三角形三边相切于点d、e、f，若dfe55，则a 【分析】连接od、oe；由圆周角定理可求得doe的度数；在四边形adoe中，adoaeo90，由此可求出a的度数【解析

15、】连接od，oe，如图所示：则adoaeo90；由圆周角定理知，doe2dfe110；a360adoaeodoe70故答案为：70【类型5】圆的有关切线的计算与证明问题【例5】如图，ab为o的直径，c为o上一点，d为bc的中点过点d作直线ac的垂线，垂足为e，连接od（1）求证：adob；（2）de与o有怎样的位置关系？请说明理由【分析】（1）连接oc，由d为bc的中点，得到cd=bd，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理得到aeod，根据平行线的性质得到odde，于是得到结论【解答】（1）证明：连接oc，d为bc的中点，cd=bd，bod=12boc，bac=12boc，a

16、dob；（2）解：de与o相切，理由：adob，aeod，deae，odde，de与o相切【方法小结】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键【变式5-1】（2019淮安）如图，ab是o的直径，ac与o交于点f，弦ad平分bac，deac，垂足为e（1）试判断直线de与o的位置关系，并说明理由；（2）若o的半径为2，bac60，求线段ef的长【分析】（1）欲证明de是o的切线，只要证明ode90即可；（2）过o作ogaf于g，得到af2ag，根据直角三角形的性质得到ag=12oa1，得到af2，推出四边形aodf是菱形，得到dfoa，d

17、foa2，于是得到结论【解析】（1）直线de与o相切，连结odad平分bac，oadcad，oaod，oadoda，odacad，odac，deac，即aed90，ode90，即deod，de是o的切线；（2）过o作ogaf于g，af2ag，bac60，oa2，ag=12oa1，af2，afod，四边形aodf是菱形，dfoa，dfoa2，efdbac60，ef=12df1【变式5-2】（2019泰州）如图，四边形abcd内接于o，ac为o的直径，d为ac的中点，过点d作deac，交bc的延长线于点e（1）判断de与o的位置关系，并说明理由；（2）若o的半径为5，ab8，求ce的长【分析】（1

18、）连接oc，由ac为o的直径，得到adc90，根据ad=cd，得到adcd，根据平行线的性质得到cdedca45，求得ode90，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到adcd52，由圆周角定理得到abc90，求得bc6，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】（1）de与o相切，理由：连接od，ac为o的直径，adc90，d为ac的中点，ad=cd，adcd，acd45，oa是ac的中点，odc45，deac，cdedca45，ode90，de与o相切；（2）o的半径为5，ac10，adcd52，ac为o的直径，abc90，ab8，bc6，baddce，abdcde45，abdcde，abcd

19、=adce，852=52ce，ce=254【达标检测】1（2019苏州）如图，ab为o的切线，切点为a，连接ao、bo，bo与o交于点c，延长bo与o交于点d，连接ad若abo36，则adc的度数为（）a54b36c32d27【答案】d【解析】ab为o的切线，oab90，abo36，aob90abo54，oaod，adcoad，aobadc+oad，adc=12aob27；故选：d2（2019无锡）如图，pa是o的切线，切点为a，po的延长线交o于点b，若p40，则b的度数为（）a20b25c40d50【答案】b【解析】连接oa，如图，pa是o的切线，oaap，pao90，p40，aop50，

20、oaob，boab，aopb+oab，b=12aop=125025故选：b3（2019灌南县二模）如图，菱形abcd的边ab5，面积为20，bad90，o与边ab、ad都相切，ao2，则o的半径长等于（）a235b55c335d255【答案】d【解析】连接ac，bd，oe，四边形abcd是菱形，acbd，amcm，bmdm，o与边ab、ad都相切，点o在ac上，设amx，bmy，bad90，xy，由勾股定理得，x2+y225，菱形abcd的面积为20，12xy5，x2+y2=2512xy=5，解得，x25，y=5，o与边ab相切，oea90，oeabma，oaebam，aoeabm，oebm=

21、oaab，即oe5=25，解得，oe=255，故选：d4（2019镇江一模）已知abc的三边长分别是4，5，6，则abc的内切圆半径是（）a62b72c2d32【答案】b【解析】如图所示：设ac4，bc5，ab6，作adbc于d，设bdx，则cd5x，由勾股定理得：ad2ab2bd2ac2cd2，62x242（5x）2，解得：x=92，bd=92，ad=62-(92)2=372，abc的面积=12bcad=125372=1574，abc的内切圆半径=215744+5+6=72；故选：b5（2019南京）如图，pa、pb是o的切线，a、b为切点，点c、d在o上若p102，则a+c 【答案】219

22、【解析】连接ab，pa、pb是o的切线，papb，p102，pabpba=12（180102）39，dab+c180，pad+cpab+dab+c180+39219，故答案为：2196（2019宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为2【答案】2【解析】直角三角形的斜边=52+122=13，所以它的内切圆半径=5+12-132=2故答案为27（2018连云港）如图，ab是o的弦，点c在过点b的切线上，且ocoa，oc交ab于点p，已知oab22，则ocb 【答案】44【解析】连接ob，bc是o的切线，obbc，oba+cbp90，ocoa，a+apo90，oaob，oab

23、22，oaboba22，apocbp68，apocpb，cpbapo68，ocb180686844，故答案为：448（2019高淳区二模）如图，abc的内切圆o分别与三角形三边相切于点d、e、f，若dfe55，则a 【答案】70【解析】连接od，oe，如图所示：则adoaeo90；由圆周角定理知，doe2dfe110；a360adoaeodoe70故答案为：709（2019盐城）如图，在rtabc中，acb90，cd是斜边ab上的中线，以cd为直径的o分别交ac、bc于点m、n，过点n作neab，垂足为e（1）若o的半径为52，ac6，求bn的长；（2）求证：ne与o相切【解析】（1）连接dn

24、，ono的半径为52，cd5acb90，cd是斜边ab上的中线，bdcdad5，ab10，bc=ab2-ac2=8cd为直径cnd90，且bdcdbnnc4（2）acb90，d为斜边的中点，cddadb=12ab，bcdb，ocon，bcdonc，oncb，onab，neab，onne，ne为o的切线10（2019扬州）如图，ab是o的弦，过点o作ocoa，oc交ab于p，cpbc（1）求证：bc是o的切线；（2）已知bao25，点q是amb上的一点求aqb的度数；若oa18，求amb的长【解答】（1）证明：连接ob，oaob，oaboba，pccb，cpbpbc，apocpb，apocbp，

25、ocoa，aop90，oap+apo90，cbp+abo90，cbo90，bc是o的切线；（2）解：bao25，abo25，apo65，pobapoabo40，aqb=12（aop+pob）=1213065；aqb65，aob130，amb的长=aqb的长=23018180=2311（2018徐州）如图，ab为o的直径，点c在o外，abc的平分线与o交于点d，c90（1）cd与o有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若cdb60，ab6，求ad的长【解析】（1）相切理由如下：连接od，bd是abc的平分线，cbdabd，又odob，odbabd，odbcbd，odcb，odcc90，cd与o相切

26、；（2）若cdb60，可得odb30，aod60，又ab6，ao3，ad=603180=12（2019南通）如图，在rtabc中，acb90，a30，bc1，以边ac上一点o为圆心，oa为半径的o经过点b（1）求o的半径；（2）点p为劣弧ab中点，作pqac，垂足为q，求oq的长；（3）在（2）的条件下，连接pc，求tanpca的值【解析】（1）作ohab于h在rtacb中，c90，a30，bc1，ab2bc2，ohab，ahhb1，oaahcos30=233（2）如图2中，连接op，pa设op交ab于hpa=pb，opab，aho90，oah30，aop60，oaop，aop是等边三角形，p

27、qoa，oqqa=12oa=33（3）连接pc在rtabc中，ac=3bc=3，aqqo=12ao=33qcacaq=3-33=233，aop是等边三角形，pqoa，pq1，tanacp=pqcq=1233=3213如图，ab为o的直径，c为o上一点，d为bc的中点过点d作直线ac的垂线，垂足为e，连接od（1）求证：adob；（2）de与o有怎样的位置关系？请说明理由【解答】（1）证明：连接oc，d为bc的中点，cd=bd，bod=12boc，bac=12boc，adob；（2）解：de与o相切，理由：adob，aeod，deae，odde，de与o相切14（2019镇江）如图，在abc中，abac，过a