(完整版)高等数学-微积分下-习题册答案-华南理工大学(6)

1、院系班级姓名作业编号1高等数学(下册)测试题一、选择题(每小题3分，本大题共15分)(在括号中填上所选字母)1 .设有直线L：x3y 22x y 10z 3 0A .平行于平面B.在平面上;C.垂直于平面；D .与平面斜交.0,(x, y) (0,0)t t1dyyf (x)dx，则F (2)=( B )A.2f(2);B.f (2); C.f (2)D. 0.4 .设 是平面-z 1 由 x 0,y 0, z 0 所确定的三角形区域,23则曲面积分(3x 2y 6z)dS =( D )21cA. 7;B.;C.214;D. 215 .微分方程y yex1的一个特解应具有形式(B)A.xae

2、b;B.axexb;C.aexbx;D.axexbx及平面:4x 2y z 20，则直线 L (2 .二元函数 f(x,y)xy2x严y)(0,0)在点(0,0)处A .连续、偏导数存在;B.连续、偏导数不存在;C.不连续、偏导数存在;D .不连续、偏导数不存在3 .设f (x)为连续函数，F(t)高等数学同步作业册2二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1 设一平面经过原点及点（6, 3,2），且与平面4x y 2z 8垂直，则此平面方程为2x 2y 3z 0;2 设z arctan，则 dz。二込型;1 xy243 .设 L 为x2y21正向一周，贝U ?exdy _0_;4 .设圆柱面

3、x2y23，与曲面 z xy 在（x,yo,Zo）点相交，且它们的交角为匸，则正数Zo3；6 25 .设一阶线性非齐次微分方程y P（x）y Q（x）有两个线性无关的解y1, y2，若yy也是该方程的解，则应有求及丄与上x x y_ v y2,2 2, y x x y四、（本题 7 分）已知点A（1,1,1）及点B（3,2, 1），求函数 u ln 3xy 2z3在点 A 处沿AB方向的方向导数uuu解：ABuuu。2 122,1, 2 , AB，一，3 33x三、（本题 7 分）设由方程组ue cos vU确定了u，v是x， y 的函数,eusin v解：方程两边取全微分，则dxdyeuco

4、svdu eusin vdv eusin vdu eucos vdvdu解出du,dv,dveucosvdxeusin vdxu .xdx ydye sin vdy22x yu. xdy ydxe cosvdy22x y从而x x院系班级姓名作业编号315032,3y3X6zgradu3333xy 2z 3xy 2z 3xy 2z3x，graduA3,3, 6从而-urAB2 13,3，323,3, 6五、（本题 8 分）计算累次积分2dx1XdyXX1 yeydy).解：依据上下限知，即分区域为DD-ID2, D1:1X2,1 yX;D2：2X.作图可知，该区域也可以表示为D:12,y2y从

5、而12dxiX.X1丄 eydyy4dx2XX1 弘x eydy2 yX2y12yeydxyeydyey2e2六、（本题 8 分）计算zd xd yd z，其中是由柱面X1及平1围成的区域.解：先二后一比较方便，I1zdz dxdy0Dz212dz一z2七.（本题 8 分）计算（x2y z)ds，其中是抛物面2zy2被平面 z 2 所截下的有限部分解：由对称性x3dS 0, y2dSx2dS2 232Xy从而(x y z)dS (z)dS22 2(Xy )dS(X2Dy2)、1X2y2dxdy2 2 _dr3、1 r2dr0 02 _2 r3-1 r2dr04t i i .ridt20 54高

6、等数学同步作业册4院系班级姓名作业编号31505八、(本题 8 分)计算L(4x空COS兰)dx 3cos*dyLy y y yL是点到点B(n,2n在上半平面(y 0)上的任意逐段光滑曲线解：在上半平面(y 0)上卫2 2x x2cos y2x2cosy y2x322x . xrSinyyP -(4x y y yMcos厶y02x2x2cos y y2.x3sin yy2x3从而在上半平面(y 0)上该曲线积分与路径无关，取 C(兀2L(4xAC CB24x2x4242,cos )dx 厂 cos dy _ y y2九、(本题 8 分)计算(x y )dydz (y z )dzdx(z)dx

7、dy，其中为半球面 z 1 x2y2上侧.解：补1:z 0取下侧，则构成封闭曲面的外侧(x)dydz(y z2)dzdx(z x2)dxdy1dvx2dxdy13dvx2dxdy13dxdy2201r3dr094十、(本题 8 分)设二阶连续可导函数7适合2yt2解:f (x)sf右2yt2s2Sfs2y2s2由已知卡2y2s0,s4t70,高等数学同步作业册6院系班级姓名作业编号n 1l n(1n)7即 x 4 f x 2xf xO, x4fx 0, x4fxGfG Cix xf x p , f xarctancx2422十、（本题 4 分）求方程的y 4y cos2x通解.解：解：对应齐次

8、方程特征方程为 r24 0,ri,22i非齐次项 f x cos2x,，与标准式 f x exPmx cos x P x sin x比较得 n max m,l 0,2i,对比特征根，推得 k 1，从而特解形式可设为*kxy x1Qnx cos x2Qnx sin x e axcos2x bxsin2x,M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小解：设点 M 的坐标为 x, y, z，贝 U 问题即V 8xyz在x2最小值。令 L 8xyzx2y2z2a2，则由2 2 2 2Lx8yz 2x0,Ly8xz 2y 0,Lz8xy 2z 0,x y z a附加题：（供学习无穷级数的学

9、生作为测试）y*(a 2bx)cos2x (b 2ax)sin 2x, y*(4a 4bx)sin 2x (4b 4ax)cos2 x代入方程得4asi n2x 4b cos2x cos2x,1y c1cos2xQsin2x xsin2x4a 0,b十二、（本题 4 分）在球面x2y2z2a2的第一卦限上求一点 M，使以y2z2a20求推出x y z冷,M 的坐标为a a a3 3 31 判别级数1)n1-是否收敛？如果是收敛的,n是绝对收敛还是院系班级姓名作业编号n 1l n(1n)8条件收敛?院系班级姓名作业编号11y22 y911解：由于叫in(FT訂该级数不会绝对收敛,显然该级数为交错

10、级数且一般项的比|单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2H 1 cos naf xsin nx, x an 1n2 .求幕级数2n2021Xn的收敛区间及和函数n!解:anlimn2n._ n 1.1 2 (n1)!limn2 (n1)an 12nn. 2!n 111 n1$2n从而收敛区间为, ,2n2nn 021Xn1nXn 2n2 ! 2n1n 1! 2n 2n 11X1X1n 0n!2n 0n!2n 0n!1nnn 1 1 x1nXX n!n 1n 1 ! 2n 0n!23 .将 f (x)0, 0axnHn,0 x a 展成以 2n为周期的傅立叶级数Hn,ax0解：已知该函数为奇函数，

11、周期延拓后可展开为正弦级数。an0bnx sin nxdx2aHsin nxdx2Hnacos nx02H 1 cos nanlimn丄non! 22xXXX21 e2242高等数学同步作业册10高等数学（下册）测试题二、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1.设zx y f (址, 且f（u）可导，则zxy为（D)xxyA .2xyB .2(x y)z;C .2(xy)D .2z .2 .从点P(2,1,1）到J一个平面引垂线， 垂足为点 M (0,2,5),则这个平面的方程呈是（B)A .2x3y6z360;B .2x 3y 6z360;C.2x3y6z360;D

12、.2x 3y 6z360.3 微分方程（1 x）y1的通解是（D ）B. 2e;2A.y (1 x )l n |1 x| G；B.yln |1 x | C1x C2;2C.y x In |1 x| Gx C2；D .y(1 x)ln |1 x | C1x C2.4 .设平面曲线L为下半圆周y.1 x2,则曲线积分（x2y2）ds 等于L(A)A.n;B.2n;C.3n;D.4n .xx2ux1 一4诂诂x 1 5 .累次积分 dxeyd ydxxeyd y =( A )院系班级姓名作业编号11y22 y11二.填空题（每小题5分，本大题共15分）331 .曲面3xyz za在点（0,a, a）

13、处的切平面方程是 x z a 0 ；2 .微分方程y 2y 3y 2xex的待定特解形式是 y*x ax b ex;2 2 2 23 .设是球面x y z a的外侧，则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy32= .（x y z ）三、一条直线在平面：x 2y 0上，且与另两条直线 Li:彳*葺及L2:x 4 y 1 z 2(即 L2:2 0 1x 4 2(zy 102）都相交，求该直线方程.（本题 7 分）解：先求两已知直线与平面的交点，由x 2y0?y z 1t,141x t, y 4t,z 1 t,5t 0,t0,x y 0,z 1.M10,0,1x 4 y 1 z :由 x 2y

14、0,t,0 1x4 2t, y 1,z 2 t,4 2t 20,t3,x2,z1.M22,1, 1由两点式方程得该直线：xz 12y22 2四、求函数 u x y2z 3z 在点Mo（1, 1,2）处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数.（本题 7 分）解：gradu 2x,2y,2z 3,graduM2, 2,1沿梯度方向上函数的方向导数 graduM0丁4 4 1 3五、做一个容积为 1 立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题 8 分）高等数学同步作业册12解：设底圆半径为r，高为 h，则由题意,要求的是S 2 r22 rh在条件r2h 1下的最小值。S 22 r丄22Q

15、 4 rr drr由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省六、设积分域D 为x2y24 , x0所围成, 试计算二重积分2 2sin(x y )d.(本题 8 分)D解：观察得知该用极坐标,4,r24, r cos 0, r sin0,02,0si n(x2y2)dD22d00. 2sin rrdr2sin r02-dr222cosr21 cos40七、计算三重积分zdv，式中为由2 2y所确定的固定的圆2台体.(本题 8 分)解：解：观察得知该用先二后一的方法2zdvzdz dxdy1Dz2z z2dz1z415八、设f(x)在()上有连续的一阶导数，求曲线积分MdxLyx2y2f (

16、xy) 1dy，其中曲线 L 是从点A(3,-)到点3B(1,2)的直线段.(本题 8 分)解：在上半平面(y0)上-Qx xxy2f(xy) 1 f(xy) y12yxyf (xy)院系班级姓名作业编号13高等数学同步作业册141yf (xy)y yf (xy) xyf (xy)Q且连续,x从而在上半平面（y0）上该曲线积分与路径无关,取折线A(3,2)C(3,2)B(1,2)3Lyy23 f (3y)d y24dy1dx22y32332131一3913y2入2322224宀3r211 4f (2x),1dy yf (3y)1dy-dx2y3231621 2312f (2x)dxf (t)d

17、t-xf(t)dt32y232362为 y2f(xy)计算曲面积分(xy z)ds，为上半球面：z2R2(z0) (本题 8 分)解：由于x, y, zx, y,z ，故(x yz)dS zdS为上半球面，则cos0,n2x,2y,2z/ x, y, zo,nx y zR R R原式z2dxdyRR2x22ydxdyRR2R2rr3dr1R2r22十、求微分方程tan xdydx2ecosx0,2rdry|nX 21的解.（本题 8院系班级姓名作业编号15高等数学同步作业册16依赖 k 而变化，从而二重极限不存在，函数在点(0,0)处不连续而f (x,0)0, f 0,y0,fx0,00, f

18、y0,00十二、设二阶常系数线性微分方程y y y ex的一个特解为，并求该方程的通解.(本题4分) 解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为*2卫1，否则不能有这样的特解。从而特征方程为2r 2 r 1 r 3r 2 0,因此 3,2Y1xex为非齐次方程的另一个特解，x 1 ex, y1x 2 ex解：dycosxycotx 2edx分)2ecosxecotxdxcotxdxedxlnsin xecosx lnsin x .2e e dx ccosx2e sin xdxsin xcsin xcosx2e由 y|nx 21，得c 2, ccosx1,y1 2esin x卜一

19、、试证f(x,y)2xy2x(x, y)4 :y0,(x, y)(0,0)在点(0,0)处不连续，但存(0,0)在有一阶偏导数.(本题 4 分)2解：沿着直线x ky , (x,y)(0,0),lim f(x,y)y 0 x ky202. xylim402x yky20kk21院系班级姓名作业编号17x 2 ex3 x 1 ex2xexex, x 2 3x 3 2x ,1附加题：(供学习无穷级数的学生作为测试)解：R lim丑lim -1一市n 2 3n 23nan 1nn 1 3看S tltn1,tn 1n1,1),s 01n 11t1 ,In 1 t ,则tstt,tstdtn 11t01

20、 tn 11】In1x,x 3,0) U (0,3)xxx3从而n1n 3ns331,x0由于在 x 3 时发散，在 x 3 时条件收敛，故收敛域为3,3)3(x 2) ln(4 x)在xo1处的幕级数展开式.解：f(x)(x1) 1 In 5(x 1)(x1)In 5xIn 1 -5(x 1)1 In 5nIn5x 1 I n5n1n 1non 1 5n1x 1non 1 5n 1故3,21,y y yex通解为2xc1ex(C2x)e1 求无穷级数n 1xnn 1n 3的收敛域及在收敛域上的和函数.2 .求函数 f(x)高等数学同步作业册18In 5 In 5n1 6n 11n 2x 1n

21、 05 n 1 n 23 将函数 f(x)0,1,0展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围.解：作周期延拓,4,12,a。x dx - 1dx2。ann x ,cos dx212cos2on x ,dx21 . sin nnansin dx221. n xsindx2201 cos nn从而 fnn xsin , x 2k, k Z2院系班级姓名作业编号19高等数学(下册)测试题三、填空题2.设f(x)x1eydy，则x3 .设 S 是立方体0 x, y, z 1的边界外侧，则曲面积分567x dydz y dzdx z dxdy 3.4 .设幕级数anxn的收敛半径为 3，则幕级数na.(

22、x 1)n 1的收敛区间n 0n 1为 2,45 .微分方程y 3y 4y x2e4x用待定系数法确定的特解(系数值不求)2(C)ytan (xy 1);1 若函数2f(x, y) 2x2ax xy2y在点(1, 1)处取得极值，则常数10f(x)dx高等数学同步作业册20(A)sec(xy 1) tan(xy 1);(B)ysec(xy 1)tan(xy 1);2(D)ytan (xy 1).的形式为 y x ax2bx4x、选择题2 2sin 2(x y )1 .函数f (x, y)x22,x2(A)无定义;(C)有极限但不连续;2 .设z sec(xy 1)，则).0,在点(0,0)处(

23、D).0,(B)无极限;(D)连续.3 .两个圆柱体x2y2R2，R2公共部分的体积 V 为(B ).院系班级姓名作业编号21R百百R x(A )2 dx. R x dy007R8 dx 一 R x dy ;o oRRx(C)RdxR2xRX dyR4 dx2=2. R x dy .RJR2x2Jn4 .若an0,Snak，则数列k 1(A )充分必要条件；条件；(C)必要条件，但非充分条件；非必要条件.；(B)；(D)有界是级数收敛的(A ).(B )充分条件，但非必要(D)既非充分条件，又(A)通解;四、求通过直线 L:x y 0 x y的两个互相垂直的平面，其中一个平0面平行于直线L-x

24、 y5.函数ysin x( C 为任意常数)是微分方程爭sin x的C ).(C)是解，但既非通解也非特解;(D )不是解.x y三、求曲面ezez4上点Mo(ln 2,ln 2,1)处的切平面和法线方程.解：n e?丄空丄z zxyxzyiee2 2 “z z2,2, 4ln 2 / 1,1, 2ln 2M0切平面为 x In2 yln2 2ln21 x y 2zln2 0法线为 x In 2 y In 2z 12ln 2(B)特解;高等数学同步作业册22解：设过直线 L 的平面束为x y 0,y z 20,n11,1院系班级姓名作业编号23第一个平面平行于直线Li: x y z,r ri即

25、有 n $1,1,11,1,121 0,从而第一个平面为11r1 - x1 - yz 20,x 3y 2z4,1, 3,223第二个平面要与第一个平面垂直，也即 n1n 1, 3,21,1,1133 226 0,3从而第二个平面为4x 2y z 20五、求微分方程y 4y 3y 0的解，使得该解所表示的曲线在点(0,2)处与直线2x 2y 40相切.直线2x 2y 4 0为y x 2,k1,y 01,y 02,特征方程为 r4r 3 0, r 3 r 10,口3,D1方程通解为y C1e3xC2ex，由定解的初值条件c,q2y3&e3xC2ex，由定解的初值条件3Gg 1从而 C1丄5，特解为 ye3x5ex12 2 2 22z2x试求出函数f(u).2fxzf u e cosy,2解:因为f u exsin xy,2z2x2sin yxf u e sin y从而有定解条件六、设函数f (u)有二阶连续导数，而函数f(esin y)满足方程2z2yze2xcosyf u ex( sin y)高等数学同步作业册24y院系班级姓名作业编号2522zz2xyf u e2xf (u )e2xf(u) 0特征方程为 r21Of 1,41, f uuuGec?e七、