第二十二讲 定积分的概念

1、第六章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节第一节 一、一、定积分的实际背景定积分的实际背景二、二、 定积分的概念定积分的概念三、三、 定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的概念定积分的概念 四、四、 定积分的性质定积分的性质一、定积分实际背景一、定积分实际背景1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线以及两直线bxax,所围成所围成 , 求其面积求其面积 a .?a)(xfy 矩形面积矩形面积ahhaahb梯形面积梯形面积)(2bah1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在

2、区间在区间 a , b 中任意插入中任意插入 n 1 个分点个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第在第i 个窄曲边梯形上任取个窄曲边梯形上任取作以作以,1iixx为底为底 ,)(if为高的小矩形为高的小矩形, 并以此小并以此小矩形面积近似代替相应矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积,ia得得)()(1iiiiiixxxxfa),2, 1,nii)(xfy 3) 近似和近似和.nniixfxfxfxf)()()()(2211niiaa1niiixf1)(4) 取极限取极限.

3、令令, max1inix则曲边梯形面积则曲边梯形面积niiaa10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi称为最大小区间长称为最大小区间长将所有小矩形面积全部加起来，即将所有小矩形面积全部加起来，即)(xfy 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放2 2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,)(21上连续函数上连续函数是是tttvv 且且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)

4、 大化小大化小., ,1iiitt任取任取将它分成将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速代替变速以以iv 得得iiitvs)(,1,21个分点个分点中任意插入中任意插入在在ntt),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度已知速度n 个小段个小段过的路程为过的路程为01tt 1t2t1ntntt 21v2v3vnvt1ititiv。i3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同解决问题的方

5、法步骤相同 :“大化小大化小 , 常代变常代变 , 近似和近似和 , 取极限取极限 ” 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特定乘积和式的极限特定乘积和式的极限nntvtvtv)()()(2211)max(1inixniiixfa10)(lim二、定积分的概念二、定积分的概念,)(上有定义上有定义在在设函数设函数baxfy 任取分点任取分点,1210bxxxxxann), 2 , 1( ,1nixxnbaii个小区间个小区间为为分分max1inix令令iiixx上任取一点上任取一点再在每个小区间再在每个小区间,1的和式：的和式：作乘积作乘积iixf )(niiixf1)(nniixfx

6、fxfxf)()()()(2211时上述极限存在，时上述极限存在，如果如果0则称此极限值为则称此极限值为上的定积分，记为上的定积分，记为在区间在区间函数函数,)(baxf即即baxxfd)(iniixf10)(limbaxxfd)(abxoi1xix1ix的取法均无关的取法均无关的分割及点的分割及点这个极限值与这个极限值与iba,特定乘积和式的极限特定乘积和式的极限baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和称称为为积积分分区区间间,ba两个实际问题的积分表示为两个实际问题的积分表示为: :niiix

7、fa10)(lim曲边梯形面积曲边梯形面积iniitvs10)(lim变速运动路程变速运动路程baxxfd)(21d)(ttttv baxxfd)(读作读作 f (x) 从从 a 到到 b 的定积分的定积分. .1.1.定积分仅与被积函数及积分区间有关定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关 , 即即baxxfd)(battfd)(bauufd)(关于定积分的说明关于定积分的说明:abbaxxfxxfbad)(d)(时时当当0d)(aaxxf2.2.定义中曾要求积分限定义中曾要求积分限ab,ab,我们补充规定我们补充规定: :(1)(1)

8、上连续上连续在在函数函数,)(baxf.,)(可积可积在在baxf(2)(2),)(上有界上有界在在函数函数baxf且只有有限个间断点且只有有限个间断点 3.3.可积的充分条件可积的充分条件:.,)(可积可积在在baxf.,并给出结果并给出结果思考下列问题思考下列问题dxxf)() 1 (badxxf)()2()(xf0.)(为已知函数为已知函数xf为常数为常数为已知函数为已知函数baxf,)(三三 定积分的几何意义定积分的几何意义:axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值abyx1a2a3a4a5a54321d)(

9、aaaaaxxfba各部分面积的代数和各部分面积的代数和a)(xfy .,推证下列积分值推证下列积分值利用定积分的几何意义利用定积分的几何意义例例1 1：11d) 1 (xxxxrrrd)2(2220dsin)3(xx11d)4(xxox1y1xy 0221rrryxo22xryoyx211xysin0ox1y1xy 1四、定积分的性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在设所列定积分都存在)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()()(xfy （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质性质1 1 两个函数代数和的积分等于这两个函数两

10、个函数代数和的积分等于这两个函数 积分的代数和，即积分的代数和，即 yxoab)(xgy )()()(xgxfxhxxfkxxfkbabad)(d)( k 为常数为常数)badxxf)(badxxkf)(xyoab)(xfy )(akf)(af)(xkfy 性质性质2 2 被积式中的常数因子可以提到积分号前面被积式中的常数因子可以提到积分号前面bccabaxxfxxfxxfbcad)(d)(d)(时时若若性质性质3 3 (积分区间分割性质积分区间分割性质)cadxxf)(bcdxxf)()(xfy xcbaoyabc当当 a , b , c 的相对位置任意时的相对位置任意时, 例如例如,cba

11、则有则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(cbbcxxfxxfd)(d)(2 ）由定义说明（由定义说明（性质性质4. 若在若在 上上则则.0d)(xxfba,0)(xf,ba.)()(),()(,.4dxxgdxxfxgxfbababa则则上若上若在在性质性质)(xfy yx)(xgy oab设设, )(min, )(max,xfmxfmbaba则则)(d)()(abmxxfabmba)(ba 性质性质5 5 ( (积分估值性质积分估值性质) )即即可可得得证证利利用用abxbad得得由性质由性质已知

12、已知因为因为证证4,)(mxfmbababamdxdxxfmdx)(将常数因子提出将常数因子提出yxba1o1yxxfkxxfkbabad)(d)(2性质性质设设, )(min, )(max,xfmxfmbaba则则)(d)()(abmxxfabmba)(ba 性质性质5 5 ( (积分估值性质积分估值性质) )该性质的几何解释是：该性质的几何解释是：曲线曲线 y = f (x) 在在 a, b 上上的曲边梯形面积的曲边梯形面积 介于与区介于与区间间 a, b 长度为底长度为底， 分别分别以以 m 和和 m 为高的两个矩为高的两个矩形面积之间形面积之间. .y = f (x)yxabmmoba

13、例例2. 试估计试估计.d112xex证证: 设设)(xf2xe求在求在1 , 1上上 的最大值和最小值的最大值和最小值.)(xf因为因为22xxe得驻点得驻点令令, 0)( xf0 x比较在驻点及区间端点处的函数值比较在驻点及区间端点处的函数值, 1)0(0 efeeff1) 1 () 1(1故emm1, 1即2d2112xeex的值的值.)(d)()(5abmxxfabmba得得由性质由性质性质性质6. 6. 积分中值定理积分中值定理,)(上连续上连续在在如果如果baxf则至少存在一点则至少存在一点, ,ba使使)(d)(abfxxfba证证:,)(mmbaxf别为别为上的最小值与最大值分

14、上的最小值与最大值分在在设设则由性质则由性质5 5 可得可得mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理根据闭区间上连续函数介值定理, ,上至少存在一上至少存在一在在,ba, ,ba点使使xxfabfbad)(1)(因此定理成立因此定理成立. .)(d)()(5abmxxfabmba得得由性质由性质b b a a o x y 1 2 3 ) ( a f ) ( b f badxxfab)(1oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理

15、对积分中值定理对abxxfbad)(因因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn.,)(上的平均高度上的平均高度在在曲线曲线baxfy 小结小结1.1.定积分的概念定积分的概念两个实例两个实例定积分的定义定积分的定义3.3.定积分的性质定积分的性质曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程2.2.定积分的几何意义定积分的几何意义曲边梯形的面积的代数和曲边梯形的面积的代数和bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(1性质性质xxfkxxfkbabad)(d)(2性质性质bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(3性质性质.)()(),

16、()(,. 4dxxgdxxfxgxfbababa则则上若上若在在性质性质)(d)()(5abmxxfabmba性质性质性质积分中值定理性质积分中值定理思考题思考题 问下面两个式子是否均成立，为什么？问下面两个式子是否均成立，为什么？1.1.若当若当)( xg)( xfxb,有有abaxxfd)() 1 (baxxgd)(.)()(),()(,.4dxxgdxxfxgxfbababa则则上若上若在在性质性质xxfd)()2(xxgd)(xxfd)()3(xxgbad)(作业作业 p17p17o1 xyni练习练习. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解: 将将 0,1 n 等

17、分等分, 分点为分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取取),2, 1(ni2xy iiiixxf2)(则32niiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nno1 xyniiniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注注 利用利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加两端分别相加, 得得1) 1(3n)21 ( 3nn即即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n1.1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何几何意义推证下列积分的值：意义推证下列积分的值：思考题思考题 11d) 1 (xxxxrrrd)2(2220dsin)3(xx11d)4(xx问下面两个式子是否均成立，为什么？问下面两个式子是否均成立，为什么？2.2.若当若当)( xg)( xfxb,有有abaxxfd)() 1 (baxxgd)(xxfd)()2(xxgd)(.)()