高等数学在极坐标系中的累次积分法PPT精选文档

1、第九章第九章 第九章第九章 重积分重积分第第九九章章 第三讲第三讲二重积分在极坐标系二重积分在极坐标系 的累次积分法的累次积分法3内容提要：内容提要：一，极坐标系中的面积元素。一，极坐标系中的面积元素。二，将二重积分化为极坐标系中的累次积分二，将二重积分化为极坐标系中的累次积分三，例题讲解三，例题讲解四，课堂练习（学生黑板演示）四，课堂练习（学生黑板演示）第第九九章章 4重点重点： 二重积分在极坐标系下化为累次积分的解法二重积分在极坐标系下化为累次积分的解法难点难点： 极坐标系下的积分限的确定极坐标系下的积分限的确定基本要求基本要求： 一理解把直角坐标方程转化为极坐标系下方程一理解把直角坐标方

2、程转化为极坐标系下方程 二学会把二重积分化为累次积分的三种基本类型二学会把二重积分化为累次积分的三种基本类型 三学会把二重积分化为极坐标下的累次积分，并三学会把二重积分化为极坐标下的累次积分，并会计算二重积分的值会计算二重积分的值第第九九章章 第第九九章章 iiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf AoDiiiiirr iirrr二重积分的计算法（二重积分的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分第第九九章章 二重积分化为二次积分的公式（）二重积

3、分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图极点在区域之外极点在区域之外ADo)(1 r)(2 r , ).()(21 r Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd区域特征如图区域特征如图AoD)(1r)(2r, ).()(21 r Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd第第九九章章 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图（极点在区域特征如图（极点在D的边界上）的边界上）AoD)(r, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(0 rd

4、rrrfd注意内下限未必全为注意内下限未必全为0二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图（极点在（极点在D的内部）的内部）DoA)(r第第九九章章 ,2 0).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 例例 1 1 写出积分写出积分 Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形的极坐标二次积分形式，其中积分区域式，其中积分区域 D:)0(222RRyx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx第第九九章章 所以圆方程为所以圆方程为 r=R D

5、dxdyyxf),(.)sin,cos(200Rrdrrrfd例例 2 2将二重积分将二重积分dxdyyxfD),(化为极坐标化为极坐标系中的累次积分，系中的累次积分，其中其中 D ：)0(0,222RyRxyx所围成的闭区域所围成的闭区域.解解在在极极坐坐标标系系下下D：cos20Rr ，20 xyo第第九九章章 dxdyyxfD),(cos2020)sin,cos(Rrdrrrfdcos2Rr Ayxo第第九九章章 解解sin2040:RDdfddyxfRD40sin20)sin,cos(),(yxDAORyyx222xy 例例3 3 将二重积分将二重积分 ，化为在极坐标系中的累次，化为在

6、极坐标系中的累次积分，其中积分，其中 D为由为由 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.第第九九章章 例例 4 4计算二重积分计算二重积分DdxdyyxR222,其中积分区域为其中积分区域为)0(:222RRyxD.解解ddRddRDD2222222sincos原式32002232RdRdR222Ryxyxo第第九九章章 . 0,2:,. 522yxyxDdyxD其中）（计算二重积分例dd20cos20)sin(cos(ddD)sin(cos解：原式d2034)sincos(cos38322y)cos2(222xyxAxo2第第九九章章 例例6 计算计算RxyxDdyxRD 22222:, 解

7、解rdrrRdIR22cos022 2223220cos)(31 dRrR第第九九章章 22232223)cos(31dRRR dRsin1 32233 2033)sin1(32 dR)34(33 R|)sin|)(sin(3232 注注意意第第九九章章 思考题思考题 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa二、小结二、小结二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd （在积分中

8、注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）第第九九章章 思考题解答思考题解答oxy cosar aDararccos ararccos ,cos022: arD.),(arccosarccos0 araradrfdrI 第第九九章章 练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx322

9、20)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.第第九九章章 三三、试试将将对对极极坐坐标标的的二二次次积积分分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交交换换积积分分次次序序. .四四、设设平平面面薄薄片片所所占占的的闭闭区区域域D是是由由螺螺线线 2 r上上一一段段 弧弧( (20 ) )与与直直线线2 所所围围成成, ,它它的的面面密密度度为为22),(yxyx , ,求求这这薄薄片片的的质质量量. .五五、 计计算算以以xoy面面上上的的圆圆周周ax

10、yx 22围围成成的的闭闭区区域域为为底底，而而以以曲曲面面22yxz 为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积. .第第九九章章 练习题答案练习题答案一一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd； 3 3、 sec2034)(rdrrfd； 4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd； 5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . . 二二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a； 第第九九章章 5 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圆周是由圆周 Rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、