高等数学第五周讲义课件

1、高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义3、掌握无穷小的概念及性质，理解无穷、掌握无穷小的概念及性质，理解无穷小阶的概念并能比较两个无穷小。小阶的概念并能比较两个无穷小。注意无穷小、无穷大、无界的关系注意无穷小、无穷大、无界的关系如判断：函数如判断：函数xxycos 是否无界，是否为无穷大量。是否无界，是否为无穷大量。P33:B(1)高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义4、掌握函数连续性的定义及判断，掌握函数连续性的定义及判断，会判断间断点的类型会判断间断点的类型函数常见的间断点来源：函数无定义的函数常见的间断点来源：函数无定义的点、分段函数的分界点。点、分段函数的分界点。讨论函数讨论函数xxfn

2、nxxn2211lim)( 的连续性，若有间断点，判别其类型。的连续性，若有间断点，判别其类型。P543（4）高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义掌握初等函数的连续性、并会用闭区间上掌握初等函数的连续性、并会用闭区间上连续函数的性质（最值定理、介值定理连续函数的性质（最值定理、介值定理)进进行简单的证明。行简单的证明。如：如：P62（B（2）、）、P64(7)高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义第一章总复习题选讲第一章总复习题选讲baxbaxxx,求, 1lim112如：当如：当又如：又如：2lim11223xbxaxx时，时，求求a,b113)2(3)2(limnnnnn)(求,)(lim)

3、 1(xfxfnnxnnnnnn)1 (lim211xxxxcbax1)(lim30 xxxtan)2/()(sinlimP64(5)高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义nnnR222sinlim圆内接正圆内接正 n 边形面积为边形面积为nnAA lim圆)sin(2221nnRnA2R2n例：求半径为例：求半径为R的圆的面积的圆的面积高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例9（连续复利问题）和为年后本，则此人若：以年为计。，投资的年利率为本金为利期周息trPtrp)1 ( 和为年后本，则此人若：以月为计。，投资的年利率为本金为息期周息trPtrp1212)1 ( 高等数学第五周讲义高等数学第五

4、周讲义和为年后本，则此人若：以天为计。，投资的年利率为本金为息息周期trPtrp365365)1 ( 和为年后本，则此人年为计若：以。，投资的年利率为本金为息期周息/1tnrPntnrp)1 ( ntnrnp)1 (limrte连续复利公式：连续复利公式：高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义课后作业课后作业 P48(A) 3 P54(A) 3(1,2) P59(A) 奇数题奇数题高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节导数的概念导数的概念 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义 引例引例1. 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度设描述质点位移与时

5、间的函数为设描述质点位移与时间的函数为)(tfs 0t则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义 xyo2. 曲线在某点的切线曲线在某点的切线NT0 xMx割线割线 M N 的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 00 lim0 xx)f(x)-f(xkxx切线的斜率)(xfy T高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义上述属同类数学问题。上述属同类数学问题。瞬时速度瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt

6、 切线斜率切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义二、函数在一点处可导二、函数在一点处可导定义定义 . 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxf存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记作记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点在点0 x处处可导可导, 在点在点0 x的的导数导数. 若上述极限不存在若上述极限不存在 ,在点 不可导. 0 x就说函数就说函数若也称也称)(xf在在0 x的导数为的导数为无

7、穷大无穷大 .0limxx00)()(xxxfxf高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx函数在函数在x0处可导的增量形式处可导的增量形式0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义在在 时刻的瞬时速度：位移关于时间的导数时刻的瞬时速度：位移关于时间的导数。0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线在曲线在 M 点处的切线斜率：曲线在点处的切线斜率：曲线在M处的导数处的导数 lim0 xxk)()(0 xfxf0

8、 xx )(0tf )(0 xf 引例问题的解：引例问题的解：导数就是一种特殊类型的极限。导数就是一种特殊类型的极限。高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例例1：求函数：求函数y=x2+1在在x=2处的导数。处的导数。xxxfxfxfxxfy 4)()12(1)2()2()2()()(22200解： 函数的增量：xxxxyxx 4)(limlim2004)4(lim0 xx4)2( f高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数与自变量之间构成的函数称为此时导数与自变量之间构成的函数称为导函数导函数.记作记作:;y; )(xf ;dd

9、xy.d)(dxxf就称函数就称函数在在 I 内可导内可导. 函数在区间上的导数（导函数）函数在区间上的导数（导函数）高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义Cxf)(求基本初等函数的导数求基本初等函数的导数)()(1aaxaxxx1)(lnaaaxxln)(0)()( Cxf高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义hxhxhsin)sin(lim0例例6. 求函数求函数xxfsin)(的导数的导数. 解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin类似可证得类似可证得xxsin)(

10、cosh高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义在点在点0 x的某个的某个右右 邻域内邻域内四、四、 单侧导数单侧导数)(xfy 若极限若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为则称此极限值为)(xf在在 处的处的右右 导数导数,0 x记作记作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf定义定义 . 设函数设函数有定义有定义,存在存在,高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义定理定理. 函数函数在点在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0

11、 xf简写为简写为可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例例. 证明函数证明函数xxf)(在在 x = 0 不可导不可导. 证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在 , .0不可导在即xx高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义处可导在点xxf)(五、五、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点在点 x 处可导处可导,)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函数所以函数

12、)(xfy 在点在点 x 连续连续 .注意注意: 函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在在 x = 0 处连续处连续 , 但不可导但不可导.即高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义在点在点处处右右 导数存在导数存在0 x定理定理3. 函数)(xf)(xf在点在点0 x必必 右右 连续连续.(左左)(左左)若函数若函数)(xf)(af)(bf与都存在都存在 , 则称)(xf显然显然:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(baCxf在开区间在开区间 内可导内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba且高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义第二节第二节函数的求导

13、法则函数的求导法则 第二章 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、差、 积、 商商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导, 且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()(

14、)(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如例如,高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义(2)vuvuvu )(证证: 设设, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC w

15、vuwvuwvu( C为常数为常数 )高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义求下列函数的导数：求下列函数的导数：9223 xxxyxxylncosxxxyln)cos2(sin 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义)()( lim0 xvhxvh(3)2vvuvuvu证证: 设设)(xf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC( C为常数为常数 )高等数学第五周讲义高等数学第

16、五周讲义 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理4. y 的某邻域内严格单调可导的某邻域内严格单调可导, 证证: 在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性

17、知且由反函数的连续性知 因此因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyx 1 )(1yf1 )(1yf11高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义证明的另外一种写法：证明的另外一种写法：00110)()(01lim )(yyyfyfyyyf 0y )()()(0001limxfxfxxxxyfx 000)()(lim/1xxxfxfxx )(/10 xf 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义1例例. 求反三角函数的导数求反三角函数的导数.解解: 1) 设,arcsin xy 则则

18、,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得类似可求得 )(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211x0cosy, 则则高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义在点在点 x 可导可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理5.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导可导复合函数复合函数 fy )(xg且且)()(ddxgufxy在点在点 x 可导可导,证证:)(ufy 在点在点 u 可导可导, 故故)(lim0ufuyuuuufy)(（当

19、时 )0u0故有故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例：求下列函数的导数。例：求下列函数的导数。xycosln xy5sin 0|,|ln xxy高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例例. 设设, )co

20、s(lnxey 求求.ddxy例例6. 设设),sinln(xxy .y求高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义基本初等函数的导数基本初等函数的导数 (P78) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义定义定义.若函数若函数)(xfy

21、 的导数的导数)(xfy可导可导, ,或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy类似地类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二阶导数二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称五、高阶导数五、高阶导数高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义求幂函数求幂函数nxy 的各阶导数的各阶导数。,2210nnxaxaxaay求求.)(ny例，设例，设例例. ,2xex

22、y 求求)5(y高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义课后作业课后作业P73（A）（）（1）P83（A）（）（2、3）高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义第三节第三节隐函数和参变量函数求导法则隐函数和参变量函数求导法则 第二章 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程若由方程0),(yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,函数为函数为隐函数隐函数 .则称此则称此（1）隐函

23、数与显函数的概念。隐函数与显函数的概念。0sin yexyx高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义（2）隐函数隐函数求导方法：方程两边同时求导。求导方法：方程两边同时求导。 0),(yxF0),(ddyxFx两边对两边对 x 求导求导(解含导数解含导数 的方程的方程)y高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例例. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 的导数，并求在的导数，并求在 x = 0处的导数值。处的导数值。解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故2

24、10dd xxy0确定的隐函数确定的隐函数高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义求由方程求由方程0sin yexyx确定的函数确定的函数y=y(x)、函数、函数x=x(y)的导数的导数高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例例. 求求)0(sinxxyx的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 ,xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx两边求导法在显函数上的应用：取对数求导法。两边求导法在显函数上的应用：取对数求导法。高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义用对数求导法求导用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuv

25、u)ln(uvuuvuyv幂指函数幂指函数 的导数的求法。的导数的求法。)()(xvxuy 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数参数方程：参数方程：)()(tytx可以确定一个可以确定一个 y 与与 x 之之间的函数关系间的函数关系高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数若参

26、数方程若参数方程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数)(, )(tt可导可导, 且且,0 )( )(22tt则则0)( t时时, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时时, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )关系关系,高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例例8：设函数：设函数y=f(x)由参数方程：由参数方程：tbytax33sincos所确定，求此函数的导数。所确定，求此函数的导数。 tyttxcos1sin例例7：设函数：设函数y=f(x)由参数方程

27、：由参数方程：所确定，求此函数的导数。所确定，求此函数的导数。高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义)(, )(tt二阶可导二阶可导,且且,0)( t则由它确定的函数则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数可求二阶导数 .)()(tytx若参数方程中若参数方程中高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例例9. 设由方程设由方程)cos1 ()sin(tayttax确定函数确定函数, )(xyy 求求.dd22xy高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义)(sincos xyteytextt，求，求已知参变量函数已知参变量函数 课堂作业课堂作业高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义第四节第四节微分微分 第二

28、章 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 0 xx20 xA xx 02)( x0 x变到变到,0 xx边长由边长由其其2020)(xxxA 20)(2xxx主要部分主要部分可忽略部分可忽略部分高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义故xxA02称为函数在称为函数在 的微分的微分0 x高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义的微分微分,定义定义: 若函数若函数)(xfy 在点在点 的增量可表示为的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A

29、 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd)( xoxA在点在点0 x可微可微,微分就是函数增量的线性主要部分微分就是函数增量的线性主要部分高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例：若例：若x=1，对于，对于x=0.1,0.05=0.1,0.05时，对时，对于于y= =x3 3，d dy分别是多少？分别是多少？高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义定理定理 : 函数函数证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点在点 可微可微 ,0 x则则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故故Axf

30、)(0)( xoxA)(xfy 在点在点 可导可导,0 x且且)(xfy 在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,0 x且, )(0 xfA即即xxfy)(d0微分的求法微分的求法高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即即xxfy)(d0在点在点 可导可导,0 x则则高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义求函数y=x在任意一点处的微分dxdy xxfxxfyd)()(d 从而)(ddxfxy导数也叫作微商xx

31、x )(高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义微分的几何意义微分的几何意义xx0 xyo)(xfy 0 xyyd切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112又如又如,高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义二、二、 微分运算法则微分运算法则设设 u(x) , v(x) 均可微均可微 , 则则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvuvudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义基

32、本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 (见见 P91)高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义的微分的微分求求xxxycosln 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义微分运算法则：复合函数的微分。微分运算法则：复合函数的微分。分别可微分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性则复合函数则复合函数dxydyx duydtyut 高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例例., )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeex

33、xxd12222xe高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义课堂练习xeyeyxbaxsin1)cos( 求下列函数的微分：求下列函数的微分：高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义例例. 设设,0)cos(sinyxxy求求 .dy0)d(cos()sin( dyxxyxyyxdsindsin )sin(yx0)(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(隐函数的微分：两边求微分隐函数的微分：两边求微分xxyyxdcosdsin)sin(yx0)(d ydx高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义三、三、 微分的应用：近似计算微分的应用：近似计算dxxfxfxxf)()()(00

34、0 )()(0 xoxxfy当x很小时,dyy xxf )(0 xxfxfxxf)()()(000得近似等式:)()()(000 xxxfxfxf高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义328的近似值的近似值 .例例5. 计算计算近似计算使用原则近似计算使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx高等数学第五周讲义高等数学第五周讲义特别当特别当00 xxffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明: 令)1 ()(xxf得得, 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 ()()()(000 xxxfxfxf（x要接近要接近0）高等数学第