高二数学复数概念

1、经全国中小学教材审定委员会 2003年审查通过良乡中学数学组良乡中学数学组 任宝泉任宝泉 第三册第三册 （选修（选修II）高中数学选修第三章高中数学选修第三章 导数导数2021年年10月月20日日书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！3.1 复数的概念复数的概念知识回顾知识回顾对于实系数一元二次方程对于实系数一元二次方程 ，当，当 时，时，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在没有实数根我们能否将实数集进行

2、扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 02 cbxax042 acb解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 3.1 复数的概念复数的概念自然数自然数有理数有理数整数整数无理数无理数实数实数复数复数数系的扩充数系的扩充引入一个新数引入一个新数 ， 叫做叫做虚数单位虚数单位，并规定：，并规定： ii（1 1）它的平方等于它的平方等于-1-1，即，即（2 2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，原有的加、乘运算律仍然成立 12 i

3、新授课新授课根据对虚数单位根据对虚数单位i i的运算规定易知：的运算规定易知：44142431,1,nnnniii iii 形如形如 的数，叫做复数的数，叫做复数 )R,( babia全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C C表示表示 . .N Z Q R CNZQR新授课新授课C C新授课新授课复数的表示：复数的表示：通常用字母通常用字母 z z 表示，即表示，即),(Rbabiaz 当当 时，时，z z 是实数是实数a a0 b当当 时，时，z z 叫做虚数叫做虚数0 b实部实部虚部虚部复数复数当当 且且 时，时， 叫做纯虚数叫做纯虚数0 b

4、0a zb i复数集复数集C实数集R虚数集虚数集I I例例1 1：实数：实数m m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1 1）实数？）实数？ （2 2）虚数？）虚数？ （3 3）纯虚数？纯虚数？immz)1(1 解解：（：（1 1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z z是实数是实数01 m1m （2 2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z z是虚数是虚数01 m1 m（3 3）当当 ，且，且 ，即，即 时，时，复数复数z z 是是纯虚数纯虚数01 m01 m1m 新授课新授课新授课新授课如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个说这两个

5、复数相等复数相等即如果即如果 ，那么，那么Rdcba ,dbcadicbia ,例例2 2 已知已知 ，其中，其中 ，求求iyyix)3()12( Ryx ,. yx与与解：更具复数相等的定义，得方程组解：更具复数相等的定义，得方程组 )3(112yyx所以所以4,25 yx新授课新授课从复数相等的定义，我们知道，任何一个复数从复数相等的定义，我们知道，任何一个复数 ，都可以由一个有序的实数对，都可以由一个有序的实数对 唯一确定，；我唯一确定，；我们还知道，有序的实数对们还知道，有序的实数对 与平面直角坐标系中与平面直角坐标系中的点是一一对应的。因此我们可以建立复数集与平面的点是一一对应的。因

6、此我们可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应直角坐标系中的点集之间的一一对应zabi( , )a b( , )a bxyOZ（a，b）如图，点如图，点Z的横坐标是的横坐标是a，纵坐标是纵坐标是b，复数，复数z=a+bi可用可用Z（a，b）表示。表示。这个建立了直角坐标这个建立了直角坐标系来表示复数的平面系来表示复数的平面叫做叫做复平面复平面新授课新授课xyOZ（a，b）x轴叫轴叫实轴实轴，y轴叫做轴叫做虚轴虚轴，实轴上的点都表示实数；，实轴上的点都表示实数；除了原点除了原点y，虚轴上的点都表示，虚轴上的点都表示纯虚数纯虚数。象限中的。象限中的点都表示点都表示非纯虚数非纯虚数。按照

7、这种表示方法，按照这种表示方法，每一个复数，有复平每一个复数，有复平面内唯一确定的点和面内唯一确定的点和它对应；反过来，复它对应；反过来，复平面上的每一个点，平面上的每一个点，有唯一确定的复数和有唯一确定的复数和它对应。即复数集它对应。即复数集C和和复平面内的点所组成复平面内的点所组成的集合是一一对应的。的集合是一一对应的。复数复数z=a+bi复平面内的点复平面内的点Z（a，b）新授课新授课例例3 3：课本：课本P150 P150 练习练习1 1，2 2例例4 4：实数：实数m m取什么值时，复数取什么值时，复数对应的点对应的点（1 1）位于第一、三象限？）位于第一、三象限？（2 2）位于第四

8、象限？）位于第四象限？22(815)(514)mmmmi课堂小结课堂小结1 1复数有关的概念，复数的代数表示形式；复数有关的概念，复数的代数表示形式；2 2复数相等的定义复数相等的定义作业：作业：161P复习参考题四复习参考题四2 2，3 3，练习练习课后习题课后习题1 1，2 2，3 3 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文英文calculatecalculate（计算）一词是从希腊文计算）一词是从希腊文calculus calculus （石卵）演变来的

9、。中国古藉易系辞中说：石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上上 古结绳而治，后世圣人易之以书契。古结绳而治，后世圣人易之以书契。 直至直至18891889年，皮亚诺才建立自然数序数年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。理论。 自然数自然数 零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（数法中的零（zero）来自印度的（来自印度的（su

10、nya ）字，其原意也是字，其原意也是空或空白。空或空白。 中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的了负整数的引入。减法运算可看作求解方程引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果如果a，b是自然数，是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。然数系扩大为整数系。 整数整数分分 数数 原始的分数概念来源于对量的分割。如说原始的分数概念来源于对量的分割。如说文文八部对

11、八部对“分分”的解释：的解释：“分，别也。从八从分，别也。从八从刀，刀以分别物也。刀，刀以分别物也。”但是，九章算术中的分但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其数是从除法运算引入的。其“合分术合分术”有云：有云：“实实如法而一。不满法者，以法命之。如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。个分数。 古埃及人约于公元前古埃及人约于公元前1717世纪已使用分数。世纪已使用分数。 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力

12、的大小），人类很早已发现有必要理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前引进无理数。约在公元前530530，毕达哥拉斯学派已知道边，毕达哥拉斯学派已知道边长为长为1 1的正方形的对角线的长度（即的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。）不能是有理数。 15 15世纪达芬奇（世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是把它们称为是“无理的数无理的数”（irrational numberirrational number），），开开普勒（普勒（J. Kepler,

13、1571- 1630J. Kepler, 1571- 1630）称它们是称它们是“不可名状不可名状”的数。的数。 法国数学家柯西（法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875A.Cauchy,1789- 1875）给出了回给出了回答：无理数是有理数序列的极限。答：无理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用们想到用“无限不循环小数无限不循环小数”来定义无理数，这也是直来定义无理数，这也是直至至1919世纪中叶以前的实际做法。世纪中叶以前的实际做法。 2无理数无理数 实数系的逻辑基础直到实数系的逻辑基础直到

14、1919世纪世纪7070年代才得以奠年代才得以奠定。从定。从1919世纪世纪2020年代肇始的数学分析严密化潮流，年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学使得数学 家们认识到必须建立严格的实数理论，尤家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（斯特拉斯（18591859年年 开始）、梅雷（开始）、梅雷（18691869）、戴德金）、戴德金（18721872）与康托尔（）与康托尔（1872 1872 ）作出了杰出的贡献。）作出了杰出的贡献。 实数实数复数复数 从从1616世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开数开 平方的问题。卡尔达诺在大法（平方的问题。卡尔达诺在大法（15451545）中）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代复数及其代 数运算的几何表示，是数运算的几何表示，是1818世纪末到世纪末到1919世世纪纪3030年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的