高考数学总复习：第三篇 第4讲 定积分的概念及微积分基本定理

1、抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第4讲定积分的概念与微积分基本定理讲定积分的概念与微积分基本定理【2014年高考会这样考年高考会这样考】1考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理理2利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程的运动路程.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理(1)定积分的定义及相关概念定积分的定义及相关概念一般地，给定一个在区间一般地，给定一个在区间a，b上的函数上的函数yf(x

2、)，将，将a，b区间分成区间分成n份，分点为：份，分点为：ax0 x1x2xn1xnb.第第i个小区间为个小区间为xi1，xi，设其长度为，设其长度为xi，在这个小区间，在这个小区间上取一点上取一点i，使，使f(i)在区间在区间xi1，xi上的值最大，设上的值最大，设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.1定积分定积分抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考在这个小区间上取一点在这个小区间上取一点i，使，使f(i)在区间在区间xi1，xi上的值上的值最小，设最小，设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn. 抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考

3、向个考向揭秘揭秘3年高考年高考其中其中叫作叫作_，a叫作积分的下限，叫作积分的下限，b叫作叫作积分的上限，积分的上限，_叫作被积函数叫作被积函数(2)定积分的性质定积分的性质积分号积分号f(x)抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2微积分基本定理微积分基本定理(2)利用牛顿利用牛顿莱布尼茨公式求定积分的关键是莱布尼茨公式求定积分的关键是_ _，可将基本初等函数的导数公式逆向，可将基本初等函数的导数公式逆向使用使用求被求被积函数的原函数积函数的原函数抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)定积分与曲边梯形的面积定积分与曲边梯形的面积定

4、积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来定：一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来定：3定积分的应用定积分的应用抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一个公式一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算数，由此可知，求导与积分是互为逆运算两条结论两条结论(1)当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于x轴上

5、方时，定积分的值为正，轴上方时，定积分的值为正，当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负，当轴下方时，定积分的值为负，当位于位于x轴上方的曲边梯形与位于轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零等时，定积分的值为零(2)当定积分在物理中应用时，要知道加速度对时间积分为当定积分在物理中应用时，要知道加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程速度，速度对时间积分是路程【助学助学微博微博】抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考三条性质三条性质(1)常数可提到积分号外；常数可提到积分号外；(2)和差的

6、积分等于积分的和差；和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行积分可分段进行抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考1下列积分的值等于下列积分的值等于1的是的是 () 答案答案C考点自测考点自测抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A1 Be1 Ce De1答案答案C抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案D抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考4(教材习题改编教材习题改编)汽车以汽车以v(3t2)m/s作变速直线运动作变速直线运动时，在第时，在第1 s至第至第2 s间的间的

7、1 s内经过的路程是内经过的路程是_抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例1】计算以下定积分计算以下定积分 审题视点审题视点 求积分关键是求其原函数，当原函数较难求积分关键是求其原函数，当原函数较难 求时，可考虑由其几何意义解得求时，可考虑由其几何意义解得考向一定积分的计算考向一定积分的计算抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3

8、个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案C抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点审题视点 画出图形，由图象交点确定积分区间，由图象画出图形，由图象交点确定积分区间，由图象中曲线间的位置关系确定被积函数，然后用积分求面积中曲线间的位置关系确定被积函数，然后用积分求面积考向二考向二利用定积分求面积利用定积分求面积【例例2】 求曲线求曲线yx2，直线，直线yx，y3x围成的图形的面围成的图形的面 积积解解在同一直角坐标系下作出曲线在同一直角坐标系下作出曲线yx2，直线，直线yx，y3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积的图象，所求面积为图

9、中阴影部分的面积抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标定出积分的上、下限；横坐标定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的写出平面图形面积的定积分的表达式；定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求运

10、用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积出平面图形的面积抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练2】 (2013宁波五校联考宁波五校联考)由曲线由曲线y2x2，直线，直线y4x2，直线，直线x1围成的封闭图形的面积为围成的封闭图形的面积为_抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点审题视点 从题图上可以看出物体在从题图上可以看出物体在0t1时做加速运时做加速运动，动，1t3时做匀速运动，时做匀速运动，3t6时也做加速运动，但时也做加速运动，但加速度不同，也

11、就是说加速度不同，也就是说0t6时，时，v(t)为一个分段函数，为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积考向三定积分的应用考向三定积分的应用抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解解a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.设设t s后的速度为后的速度为v，则，则v200.4t.令令v0，即，即200.4t0，得，得t50.设列车由开始制动到停止所走过的路程为设列车由开始制动

12、到停止所走过的路程为s，【训练训练3】 列车以列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得的速度行驶，当制动时列车获得加速度加速度a0.4 m/s2，则列车应在进站前多长时间，以，则列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？及离车站多远处开始制动？抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【命题研究命题研究】 定积分及其应用是新课标的新增内容，近定积分及其应用是新课标的新增内容，近三年在高考题中经常出现，一般考查定积分的计算及三年在高考题中经常出现，一般考查定积分的计算及其在几何上的应用，主要以填空题或选择题的形式出其在几何上的应用，主要以填空题或选择题的形

13、式出现，难度较易现，难度较易热点突破热点突破88定积分模型方法示例定积分模型方法示例抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一、求分段函数一、求分段函数(带绝对值的函数带绝对值的函数)的积分的积分(1)分段函数在区间分段函数在区间a，b上的定积分可分成几段定积分的上的定积分可分成几段定积分的和的形式和的形式(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细按照原函数分段的情况分，无需分得过细抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考教你审题教你审题 求分段函

14、数解析式，根据定积分的几何意义求求分段函数解析式，根据定积分的几何意义求图形面积图形面积抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考反思反思 被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界函数，当某一边界是不同函数的图象时要分段去求边界函数，当某一边界是不同函数的图象时要分段去求抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若若f(x)为偶函数，且在区间为偶函数，且在区间a，a上连续，则上连续，则二、求奇偶函数在对称区间上的定积分二、求奇偶函数在对称区间上的定积分抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【真题探究真题探究2】 (2012湖北湖北)已已知二次函数知二次函数yf(x)的图象如的图象如图所示，则它与图所示，则它与x轴所围图形轴所围图形的面积为的面积为 ()教你审题教你审题 根据图形求二次函数根