高等数学讲义曲线积分与曲面积分课件

1、高等数学讲义曲线积分与曲面积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1。曲线积。曲线积分分1。第一类曲线积分。第一类曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分（1）定义）定义先考虑问题：质线的质量，求此质线的质量。处的线密度为上点在面内的曲线弧有设有一条平面质线，占),(),(,yxyxccxoy高等数学讲义曲线积分与曲面积分niiiicciniiiiiiinsfdsyxfdsyxfcyxfssfniisincMMMccyxfxoyc101121),(lim),(,),(),(,0max),(, ), 2 , 1( ),(,),(,. 1即曲线积分，记作上对弧长的在曲线弧那么称此极限

2、值为函数时极限存在值当各小段的长度的最大如果和式上任取一点小段在第小段的长度为设第小段分成把上任取的点用上的有界函数是定义在函数面上的一条光滑曲线弧为设定义高等数学讲义曲线积分与曲面积分一类曲线积分。为第对弧长的曲线积分又称称为弧微分称为积分弧段称为被积函数其中,),(dscyxf必定存在。积分曲线上连续时在光滑曲线弧当函数cdsyxfcyxf),(,),(上连续。在一般我们总是假设cyxf),(高等数学讲义曲线积分与曲面积分（2）性质）性质由定义可知，曲线积分有以下性质ccdsyxfkdsyxkf),(),(cccdsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),(),(),(2121),(),

3、(),(ccccdsyxfdsyxfdsyxf)(的弧长曲线csdsc高等数学讲义曲线积分与曲面积分（3） 计算方法计算方法ttytxccyxf, )(, )(),(的参数方程为设曲线弧上有定义且连续，在曲线弧设函数dtttds)()(22由于dtttttfdsyxfc)()()(),(),(22故bacdxxyxyxfdsyxfbxaxyyc)(1)(,(),()( )(2给出，则由方程设曲线弧高等数学讲义曲线积分与曲面积分对于空间曲线 ：ttzztyytxx, )(, )(, )(dttztytxtztytxfdszyxf)()()()(),(),(),(222类似地有drrrrfdsyx

4、frrcc)()()sin)(,cos)(),()()(22则给出，由极坐标方程设曲线高等数学讲义曲线积分与曲面积分)0 , 1 (,)3(,)2() 1 , 1 (,) 1 (,. 12AOABOBBOBxycxdsc折线段的直线段连接的一段弧上是其中计算曲线积分例xyoB(1,1)A(1,0)20( )cos1 (),sin(,. 22ttayttaxcdsyc摆线的一拱其中计算曲线积分例高等数学讲义曲线积分与曲面积分。的一段弧到从上相应于螺旋线为其中计算曲线积分例20,sin,cos,)(. 3222tbtztaytaxdszyx边界。内所围成的区域的整个轴在第一象限及直线为圆周其中计算

5、曲线积分例xxyayxcdsecyx,. 422222高等数学讲义曲线积分与曲面积分先考虑问题：变力沿曲线所作的功所作的功。求变力沿曲线弧的作用，力移动过程中，质点受到在，移动到点从点面上沿曲线弧设有一个质点，在cjyxQiyxPFBAcxoy),(),(1) 定义定义2. 第二类曲线积分第二类曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分.),(,. ),2, 1(),(,),(,),(,),(, ),(,. 211101111222111iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMncyxMyxMyxMccyxQyxPBAxoyc上任取一点在设个

6、有向小弧段分成把上任取的点用数上的有界函是定义在函数曲线弧的一条有向光滑到点面上从点为设定义即记作的曲线积分，上对坐标在有向曲线弧数那么称此极限值为函时极限存在大值当各小弧段的长度的最如果和式,),(),(,0max),(1ciniiiidxyxPxcyxPsxP高等数学讲义曲线积分与曲面积分niiiicxPdxyxP10),(lim),(niiiiccniiiiyQdyyxQdyyxQycyxQyQ1010),(lim),(),(,),(),(lim即记作的曲线积分上对坐标在有向曲线弧此极限值为函数存在，那么称类似地，如果极限曲线积分。类的曲线积分均称为第二或对坐标对坐标yx高等数学讲义曲线

7、积分与曲面积分cccdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(为了方便常把上式记作在应用中经常出现第二类曲线积分除了具有与第一类曲线积分相似的性质外，还有一个特殊的性质：ccdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPccc),(),(),(),(曲线弧，那么有方向相反的同一条表示与为有向曲线弧，设高等数学讲义曲线积分与曲面积分(2) 计算方法计算方法，到从的参数方程为设有向曲线弧ttytxc),(),(dttttQtttPdyyxQdxyxPc)()(),()()(),(),(),(那么高等数学讲义曲线积分与曲面积分)0 , 1 (,)3(,)2() 1 , 1 (,) 1

8、 (,2. 522AOABBOBBOxycdyxxydxc的一段弧沿折线段的一段弧到沿直线从的一段弧到上从沿是其中计算曲线积分例xyoB(1,1)A(1,0).(,)()(. 622222按逆时针方向绕行为圆周其中计算曲线积分例ayxcyxdyyxdxyxc高等数学讲义曲线积分与曲面积分3.两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系向量的方向余弦。的切线为有向曲线弧其中cdsdydsdxcos,cosccdsQPQdyPdxcoscos下联系两类曲线积分之间有如dsdsysdydsdsxsdxcscos),cos(,cos),cos(,则正向的切线方向为曲线弧设高等数学讲义曲线积分与曲面积分

9、。的切线向量的方向余弦点上为有向曲线弧其中),(cos,cos,coszyxdsRQPRdzQdyPdxcoscoscos有如下联系两类空间曲线积分之间。化为对弧长的曲线积分把对坐标的曲线积分的曲线弧变化到从上相应于为曲线设例RdzQdyPdxttztytx,10,. 732高等数学讲义曲线积分与曲面积分2。格林公式。格林公式(*),)(,),(, ),(,. 1cDQdyPdxdxdyyPxQDyxQyxPcD则有上具有一阶连续偏导数在函数围成由分段光滑的曲线设闭区域定理.)*(格林公式式又称为，的取正向的整个边界是其中Dc正向是指沿着该方向走左手指向区域内部 .1。格林公式。格林公式高等数

10、学讲义曲线积分与曲面积分)(212,(*)是面积为区域因此则取式中在公式DsydxxdysdxdyxdyydxyPxQcDcDcdxdyyPxQQdyPdx)(用，即格林公式经常反过来使高等数学讲义曲线积分与曲面积分的正向。是圆其中计算曲线积分例22222. 1ayxcdyxyydxxc.sin,cos. 233所围的面积求星形线例taytax。为顶点的三角形闭区域是以其中计算例) 1 , 0(, ) 1 , 1 (, )0 , 0(,. 32BAODdxdyeDy高等数学讲义曲线积分与曲面积分的一段。到上从为曲线其中，计算曲线积分例) 1 , 1 () 1 , 1()cos()12(. 42

11、BAxycdyyxedxxyecyy的一段。到从是沿直线其中计算曲线积分例) 1 , 1 ()1 (2. 522AOxycdyyexdxecyy高等数学讲义曲线积分与曲面积分2。曲线积分与路径无关的条件。曲线积分与路径无关的条件。内具有一阶连续偏导数在区域是一个开区域，函数设GyxQyxPG),(, ),(内与路径无关。在分恒成立，那么称曲线积等式和的任意两条有向曲线到及从内任意两点如果对于GQdyPdxQdyPdxQdyPdxccBABAGccc2121,（1）曲线积分与路径无关高等数学讲义曲线积分与曲面积分0)(2121ccccQdyPdxQdyPdxQdyPdx则如果积分的值为零。内沿任

12、一闭曲线的曲线的等价条件是在与路径无关内曲线积分在GQdyPdxGcc1c2高等数学讲义曲线积分与曲面积分内恒成立。在件是等式内与路径无关的充要条在那么曲线积分内具有一阶连续偏导数在函数是一个单连通域设开区域定理GxQyPGQdyPdxGyxQyxPGc,),(, ),(,. 2的值。与路径无关，并求证明曲线积分例），（），（02124223442234)56()4()56()4(. 6dyyyxdxxyxdyyyxdxxyxc高等数学讲义曲线积分与曲面积分的一段。到从为摆线其中计算例)2 ,()0 , 0(,cos1,sin,)()sin32(. 72AOtyttxcdyyexdxxxycy

13、的正向。为圆周其中计算例2222222,. 8ayxcdyyxxdxyxyc的正向。为椭圆周考虑：1422 yxc高等数学讲义曲线积分与曲面积分2121ccQdyPdxQdyPdxccyPxQ必定相等。即有上的曲线积分、两条封闭曲线时，包含“洞”的任意当1c2c1l2l2122110)(cclclcQdyPdxQdyPdxQdyPdx高等数学讲义曲线积分与曲面积分dyyudxxuduyxuu其全微分为对于二元函数, ),(呢？恰为某个函数的全微分满足什么条件时那么当dyyxQdxyxPyxQyxP),(),(,),(, ),(当这个函数存在时，又如何求得？3.全微分求积全微分求积高等数学讲义曲

14、线积分与曲面积分内恒成立。在件是等式的全微分的充分必要条内为某一个函数在那么内具有一阶连续偏导数在函数是一个单连通域设开区域定理GxQyPyxuGdyyxQdxyxPGyxQyxPG),(),(),(,),(),(,. 3并求出这样一个函数。是某个函数的全微分，验证例dyyyxdxxyx)2cos()sin3(. 932高等数学讲义曲线积分与曲面积分. ),(,2),(2),(,2),(,),(.11), 1()0, 0()1 ,()0, 0(yxPxydydxyxPxydydxyxPtxydydxyxPxoyyxPttc求函数恒有实数又对任意与路径无关曲线积分数面上具有一阶连续偏导在设函数例

15、并求出这样一个函数。是某个函数的全微分，验证例dyxyxyxyydxxyxyx)cossin(cos)cos2(.1022高等数学讲义曲线积分与曲面积分3. 曲面积分曲面积分(1) 定义定义先考虑问题：曲面的质量，求此曲面的质量。的面密度为处上点，在设有一张光滑曲面),(),(zyxzyx1。第一类曲面积分。第一类曲面积分-对面积的曲面积分对面积的曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分.),(, )(,),(,. 121上任取一点是设小块的面积又表示第小块既表示第小块任意分成把上有界在函数是光滑的设曲面定义iiiiinsiissssnzyxfniiiiisfdSzyxfdSzyxf10),(l

16、im),(,),(即记作.),(,0),(1上对面积的曲面积分在曲面那么称此极限值为函数时极限存在值当各小块的直径的最大如果和式zyxfsfniiiii高等数学讲义曲线积分与曲面积分(2) 计算方法计算方法由曲面面积的计算方法知:曲面的面积元素为dxdyyzxzdS221上连续。在数。被积函数具有连续的偏导在，函数区域为的投影在给出，的方程由设曲面),(),(),(zyxfDyxzzDxoyyxzzxyxy对面积的曲面积分又称为第一类曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分上连续。在积函数具有连续的偏导数。被在函数，的投影区域为在给出，的方程由设曲面),(),(),(zyxfDzyxxDyozz

17、yxxyzyzdydzzxyxzyzyxfdSzyxfyzD221,),(),(则dxdyyzxzyxzyxfdSzyxfxyD221),(,),(高等数学讲义曲线积分与曲面积分截出的顶部。被平面是球面其中。计算曲面积分例)0(,12222ahhzazyxzdS边界曲面。所围成的四面体的整个及由平面是其中。计算曲面积分例10, 0, 0,2zyxzyxxyzdS高等数学讲义曲线积分与曲面积分所围立体的整个边界。平面及为圆锥面其中。计算曲面积分例1,32222zyxzdSyx所截的部分。被柱面是圆锥面其中计算曲面积分例axyxyxzdSxzyzxy2,)(. 42222高等数学讲义曲线积分与曲面

18、积分先介绍曲面的侧的概念-单侧与双侧在以后讨论的曲面都假定是双侧的，指定了侧的曲面称为有向曲面。（1）定义）定义2。第二类曲面积分。第二类曲面积分-对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分即流量指定侧的流体的质量，流向求在单位时间内上连续都在，函数曲面是速度场中的一片有向给出，度场由）的速流体（假定密度为设稳定流动的不可压缩,),(),(),(,),(),(),(1zyxRzyxQzyxPkzyxRjzyxQizyxPv考虑流向曲面指定侧的流量AnvA高等数学讲义曲线积分与曲面积分定义为面上的投影在则为轴正向的夹角与上各点处的法向量设面上得一投影区域投影到把上取一小块曲面

19、在是有向曲面设xyxysxoysznsxoyss)(,)(,时。当时当时当0cos,)(,0cos,0,0cos,)()(xyxyxysxyzos高等数学讲义曲线积分与曲面积分,)(),(, )(,),(,. 221xyiiiiiiinsxoyssiissssnzyxR面上的投影为在上任取一点，是设小块的面积小块又表示第既表示第小块任意分成把的有界函数上是函数是有向的光滑曲面设定义.),(,0)(,(1的曲面积分、上对坐标在有向曲面那么称此极限值为函数时极限总存在值当各小块的直径的最大如果和式yxzyxRsRnixyiiiinixyiiiisRdxdyzyxRdxdyzyxR10)(,(lim

20、),(,),(即记作高等数学讲义曲线积分与曲面积分的曲面积分。即、对坐标积分及函数的曲面、对坐标同理，可以定义函数zxzyxQzyzyxP),(),(niyziiiisPdydzzyxP10)(,(lim),(nixziiiisQdxdzzyxQ10)(,(lim),(对坐标的曲面积分统称为第二类曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分特殊性质：则对坐标的曲面积分有同一曲面取相反侧的表示与如果用是有向曲面设,RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz为了方便常把上式记作在应用中经常出现高等数学讲义曲线积分与曲面积分xy

21、ixyixyxyszyxRDyxzzDxoyyxzz)()(),(,),(,0cos,),(上连续。由定义知在被积函数上有一阶连续偏导数在函数面上的投影区域为在即取上侧给出由方程设积分曲面xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,(),(2) 计算方法计算方法高等数学讲义曲线积分与曲面积分，则此时即取下侧如果曲面xyixyis)()(,0cos,xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,(),(，则有面上的投影区域为在，给出的方程由类似地，如果曲面yzDyozzyxx),(yzDdydzzyzyxPdydzzyxP),),()(),(反之取负号。取正号时即的前侧时当积分曲面取,

22、0cos,高等数学讲义曲线积分与曲面积分，则有面上的投影区域为在，给出的方程由类似地，如果曲面zxDzoxzxyy),(zxDdzdxzzxyxQdzdxzyxQ),(,()(),(反之取负号。取正号时即的右侧时当积分曲面取,0cos,部分的外侧。在为球面其中计算曲面积分例0,01,. 5222yxzyxxyzdxdy高等数学讲义曲线积分与曲面积分立体表面的外侧。所围及为其中计算曲面积分例10,0,0,. 6zyxzyxxzdxdyyzdzdxxydydz表面的外侧。所围立体及平面锥面为其中计算曲面积分例2, 1,. 72222zzyxzdxdyyxez高等数学讲义曲线积分与曲面积分3.两类曲

23、面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系dSRQPRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos(。处的法向量的方向余弦上的点曲面分别为有向其中),(cos,cos,coszyx高等数学讲义曲线积分与曲面积分4.高斯公高斯公式式(*)( ,),(, ),(, ),(,RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPzyxRzyxQzyxP则有上具有一阶连续偏导数在函数所围成是由分片光滑的闭曲面定理：设空间闭区域称为高斯公式。的外侧，公式其中曲面积分取闭曲面(*)由两类曲面积分的联系，高斯公式又可以写成处法向量的方向余弦。上点是其中）（),(cos,cos,cos)coscoscos(zyxdS

24、RQPdvzRyQxP1.高斯公式高斯公式高等数学讲义曲线积分与曲面积分。的整个边界曲面的外侧空间闭区域所围成的及平面为柱面其中计算曲面积分例3,01)()(. 122zzyxdxdyyxxdydzzyI。的整个边界曲面的外侧的空间闭区域所围成及为曲面其中计算例20,0,1)sin()(. 2222zyyzxzdxdyxydzdxeyxydydzIxz高等数学讲义曲线积分与曲面积分所截去部分的外侧。和被平面是圆柱面其中计算例024) 1(. 422zzxyxdxdyzydzdxI的下侧。为其中计算例)0(12)()(. 32222zyxzzdxdydzdxzxydydzyzxI高等数学讲义曲线

25、积分与曲面积分cos,cos,cos),(,),(),(),( nzyxnRQPkzyxRjzyxQizyxPA处的单位法向量即上点是为场内的一张有向曲面具有一阶连续偏导数其中给出设一向量场由)( coscoscos 或流量指定侧的通量通过曲面称为向量场则曲面积分ARdxdyQdzdxPdydzdSRQPdSnA(1)通量2. 通量与散度通量与散度高等数学讲义曲线积分与曲面积分流向曲面负侧的流量。流量等于时表示流向曲面正侧的当的负侧。时表示有流体流向曲面当的正侧。时表示有流体流向曲面当 000的流量。表示流体流出闭曲面，为封闭曲面时当dSnA)(0)(0洞内有负源称场在如果，泉内有正源称场在如果高