第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计

1、第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位fir数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计fir滤波器滤波器7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计fir滤波器滤波器7.4 利用切比雪夫逼近法设计利用切比雪夫逼近法设计fir滤波器滤波器7.5 iir和和fir数字滤波器的比较数字滤波器的比较第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1 线性相位线性相位fir数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特

2、点 fir滤波器具有线性相位的特性，它的幅度有特滤波器具有线性相位的特性，它的幅度有特殊的对称性，零点和网络结构也很特别。殊的对称性，零点和网络结构也很特别。 1. 线性相位的条件线性相位的条件 对于长度为对于长度为n的的h(n)，传输函数为，传输函数为)(10)()()(jgnnnjjehenheh第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，式中，hg()称为幅度特性，称为幅度特性，()称为相位特性。称为相位特性。注意，这里注意，这里hg()不同于不同于|h(ej)|, hg()为为的实函数，的实函数，可能取负值，而可能取负值，而|h(ej)|总是正值。总是正

3、值。h(ej)线性相位是指线性相位是指()是是的线性函数，即的线性函数，即 ()=-, 为常数为常数 (7.1.3) 如果如果()满足下式也称为线性相位，满足下式也称为线性相位， ()=0-, 0是起始相位是起始相位 (7.1.4) 严格地说，此时严格地说，此时()不具有线性相位。但以上两种情不具有线性相位。但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即况都满足群时延是一个常数，即( )dd 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 所以两种情况都称为线性相位。一般称满足所以两种情况都称为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是式是第一类线性相位；满足第一类线性相位；满足(

4、7.1.4)式为第二类线性相位。式为第二类线性相位。 fir滤波器具有第一类线性相位的条件是：滤波器具有第一类线性相位的条件是：h(n)是是实序列且对实序列且对(n-1)/2偶对称，即偶对称，即 h(n)=h(n-n-1) fir滤波器具有第二类线性相位的条件是：滤波器具有第二类线性相位的条件是：h(n)是实是实序列且对序列且对(n-1)/2奇对称，即奇对称，即 h(n)=-h(n-n-1) 2. 线性相位线性相位fir滤波器幅度特性滤波器幅度特性hg()的特点的特点第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波

5、器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3. 线性相位线性相位fir滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点 第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：式，综合起来用下式表示：(1)1( )()nh zzh z 图图7.1.1 线性相位线性相位fir滤波器零点分布滤波器零点分布 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 4. 线性相位线性相位fir滤波器网络结构滤波器网络结构 设设n为偶数，则有为偶数，则有11120021122(1)

6、00( )( )( )( )( )( )(1)( )(1)nnnnnnnnmnnnnn mnmh zh n zh n zh n zh zh n zh nmzh nh nn 令令m=n-n-1,则有则有第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计12(1)0(1) 121(1)20( )( )( )( )(1)2nnn nnnnnn nnh zh n zznh zh n zzhz 如果如果n为奇数，则将中间项为奇数，则将中间项h(n-1)/2单独列出，单独列出， 从上面的公式可以看出，线性相位从上面的公式可以看出，线性相位fir滤波器比滤波器比fir滤波器的直接型结构节省

7、乘法器近一半。线性相滤波器的直接型结构节省乘法器近一半。线性相位滤波器的网络结构图如下：位滤波器的网络结构图如下： 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.2 第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(n/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(n1)/2)n 偶数n 奇数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.3 第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(n/21)x(n)y(n)

8、z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(n1)/2)n 偶数n 奇数111111111第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计fir滤波器滤波器 设希望设计的滤波器传输函数为设希望设计的滤波器传输函数为hd(ej)，hd(n)是它是它的单位脉的单位脉冲响应，因此冲响应，因此 对于理想的低通滤波器，它的传递函数为对于理想的低通滤波器，它的传递函数为()( )1( )()2jjddnjj nddheh n eh nheed第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 相应的单位取样响应相应的单位

9、取样响应hd(n)为为,()0,j acjdcehe1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna 为了构造一个长度为为了构造一个长度为n的线性相位滤波器，只有将的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对截取一段，并保证截取的一段对(n-1)/2对称。设对称。设截取的一段用截取的一段用h(n)表示，即表示，即 h(n)=hd(n)rn(n)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 我们实际实现的滤波器的单位取样响应为我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长长度为度为n，其系统函数为，其系统函数为h(z)，10( )( )

10、nnnh zh n z图图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 以上就是用窗函数法设计以上就是用窗函数法设计fir滤波器的思路。另滤波器的思路。另外，我们知道外，我们知道hd(e j)是一个以是一个以2为周期的函数，可以为周期的函数，可以展为傅氏级数，即展为傅氏级数，即()( )jj nddnheh n e根据复卷积定理，得到：根据复卷积定理，得到：(1()()()2jjjdnh ehered 式中，式中，hd(e j)和和rn(e j)分别是分别是hd(n)和和rn(n)的傅里叶变换，即的

11、傅里叶变换，即111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)nnjnjj nj njannnnnnrern eeere第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计sin(/21( ),sin(/2)2nnnrrn()称为矩形窗的幅度函数；将称为矩形窗的幅度函数；将hd(ej)写成下式：写成下式：()( )jj addhehe按照按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性式，理想低通滤波器的幅度特性hd()为为1,( )0,cdch将将hd(e j)和和rn(e j)代入代入(7.2.4)式，得到：式，得到：()1()( )()21( )()2jj aj

12、adnj adnh eheredehrd 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 将将h(ej)写成下式：写成下式： 其卷积结果用图表示比较直观。其卷积结果用图表示比较直观。 ()( )1( )( )()2jj adnh ehehhrd第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图图7.2.2 矩形窗对理想低通矩形窗对理想低通 幅度特性的影响幅度特性的影响 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 通过以上分析可知，对通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，加矩形窗处理后，h()和原理想低通和原理想低通h

13、d()差别有以下两点：差别有以下两点： (1)在理想特性不连续点在理想特性不连续点=c附近附近h()有过渡带。有过渡带。过渡带的宽度，近似等于过渡带的宽度，近似等于rn()主瓣宽度，即主瓣宽度，即4/n。 (2)通带内通带内h()有波动，最大的峰值在有波动，最大的峰值在c-2/n处。处。阻带内阻带内h()有余振，最大的有余振，最大的负峰在负峰在c+2/n处。处。 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 下面介绍几种常用的窗函数。设下面介绍几种常用的窗函数。设 h(n)=hd(n)w(n) 式中式中w(n)表示窗函数。表示窗函数。 1. 矩形窗矩形窗(rectang

14、le window) 2. 三角形窗三角形窗(bartlett window) 3. 汉宁汉宁(hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗 4. 哈明哈明(hamming)窗窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗 5. 布莱克曼布莱克曼(blackman)窗窗第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.4 常用的窗函数常用的窗函数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图图7.2.5 常用窗函数的幅度特性常用窗函数的幅度特性 (a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利巴特利特窗特窗(三角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e

15、)布莱克曼窗布莱克曼窗 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(n=51,c=0.5) (a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗； (d)哈明窗；哈明窗；(e)布莱克曼窗布莱克曼窗第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 下面介绍用窗函数设计下面介绍用窗函数设计fir滤波器的步骤。滤波器的步骤。 (1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为如果

16、给出待求滤波器的频响为hd(ej)，那么单位取样，那么单位取样响应用下式求出：响应用下式求出：1( )()2jjddh nhee d22101( )()mjkjknmmmdkhnheem第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 (2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度式，并估计窗口长度n。设待求滤波。设待求滤波器的过渡带用器的过渡带用表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。 (3) 计算滤波器的单位取样响应计算滤波器的单位取样响应h(n)， h(n)=hd(n)w(n)

17、(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：响应用下式计算：10()( )njj nnh eh n e第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 例例7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计fir低通滤低通滤波器，设波器，设n=11,c=0.2rad。 解：解： 用理想低通作为逼近滤波器，按照用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有式，有sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnnnh nnn第第7章

18、章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 用汉宁窗设计：用汉宁窗设计：( )( )( ),0102( )0.5(1cos)10dhnhnh nh nnnnn用布莱克曼窗设计：用布莱克曼窗设计：它们的幅频特性如图它们的幅频特性如图 所示。所示。)()104cos08. 0102cos5 . 042. 0()()()()(11nrnnnnnhnhblbld第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.7 例例7.2.1的低通幅度特性的低通幅度特性第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.5 iir和和fir数字滤波器的比较数字滤波器的比较 首先，从性能上来说，首先，从性能上来说，iir滤波器传输函数的极点滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。是以相位的非线性为代价的。fir滤波器可得到线性相位，阶数较高。滤波器可得到线性相位，阶数较高。 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器