计算机控制系统第七章

1、 基于传递函数模型的极点配置与最优化设计方法的比较： （1）极点配置设计方法： （a）考虑确定性的跟踪系统； （b）性能指标是闭环模型传递函数，给定较困难。 （2）最优化设计方法： （a）主要讨论随机的调节系统； （b）性能指标为输出量或输出量加控制量的二次函数，给定较容易。第7章 基于传递函数模型的最优化设计方法第一节 设计问题一、对象及干扰模型控制对象y(t)u(t)v1c(t)图 1 （a）图（a）中：u(t)-控制量，零阶保持器的输出。 v1c(t)-随机的过程干扰。 y(t)-输出量。gp(s)y(t)u(t)v1c(t)图 1 （b）图（b）中：gd1(s)+)()()(sgsus

2、yp)()()(11sgsvsydcgp(s)y(t)u(t)v1c(t)图 1 （c）gd1(s)+gd2(s)ec(t)图（c）中：v1c(t)-不是白噪声，为具有有理功率频谱密度函数的 有色噪声。 ec(t) - 白噪声。 gd2(s)-假想的动态环节的传递函数。gp(s)y(t)u(t)ec(t)图 1 （d）图（d）中：gd(s)+)()()(21sgsgsgddd 控制对象离散化，对于gp(s) ，假设u(t)是零阶保持器的输出，采用零阶保持器法，将gp(s)化为gp(z) 。ssgzzsgpp)()1 ()(1（1）gd(s)的离散化方法：cxbeaxxcc（2）即：将gd(s)

3、化为如下的状态方程：设ec(t)是均值为零、方差为 的白噪声，进一步设：2cccbee （3）则（2）式变为：cxeaxxcc（4）2)()(cttccbbtetee（5）可求得 的协方差为：ce式（4）可离散化为：)()()()() 1(kcxkkekfxkxcd（6）其中：dtkteekeeftcadat0)()( ,（7）式中，t为采用周期， 是等效的离散白噪声序列，其协方差为：)(kedtbbdebbeqctctatat220（8）显然有：tbdddqct ,（9）从而式（6）可以写为：)()()()() 1(kcxkkdekfxkxcd（10）其中 ed(k) 是均值为零、方差为1的

4、白噪声序列。从而可以求得等效得离散传递函数为：dfziczgd1)()(（11）其等效离散控制对象的结构图如下：gp(z)y(k)u(k)ed(k)图 2gd(z)+设)()()( ,)()()(2111zazczgzazbzgdp（12）由图2，有)()()()()()()(2111kezazckuzazbkyd（13）经通分进一步化为：)()()()()()()(kezazckuzazbkyd（14）其中a(z)为首一多项式。0c)(zc（15）其中有：)()( ,)()(00keckeczczcd（16）2202202)()(ckeeckeed（17）设 首项系数为 ，则（14）式变为：

5、)()()()()()()(kezazckuzazbky从而有于是，c(z)也变成首一多项式。则式（15）写为：)()()()()()(kezckuzbkyza（18）此式便是标准的控制对象及干扰模型。若令e(k)=0，则为确定性系统的传递函数模型。若令u(k)=0，则为arma(autoregression moving average)随机过程模型。对于式（18）的标准模型，有如下条件： （1）a(z)和c(z)均为首一多项式； （2）dega degb; （3）degc - dega=0； （4）c(z)的零点均在单位圆内。其中（3）（4）均由于c(z)是噪声驱动模型的性质所决定。二、性

6、能指标及容许控制0)(21keyj研究调节系统，即 r(k)=0。b(z)/a(z)y(k)u(k)e(k)图 3c(z)/a(z)+d(z)由于 ee(k)=0，则ey(k)=0但是希望 j1 越小越好。对于离散系统，性能指标可以表示为：nknkynej121)(1lim（19）对于连续系统，性能指标表示为：201lim( )tcnjy t dtt（20）具有上述性能指标的最优控制问题为最小方差控制。为对控制量进行限制，可在指标中对控制量进行加权，即)()(222kukyej（21）其中 为加权系数。上述指标为更一般形式的二次型性能指标，称为广义最小方差控制。设计问题：设计控制器 d(z)，

7、使二次型指标 j1 或 j2 最小。一、 最优预报控制对象模型：)()()()()()( )()()()()()()(1*1*1*1*kezazckuzzazbkezazckuzazbkyd（1）第二节 最小方差控制其中)(deg)(deg)(deg)(degzbzadzczan（2）y(k)u(k)e(k)图 1 控制对象结构图+)()(1*1*zazc)()(1*1*zazbdz)(kyu)(dkyu)(k)()()(dkykkyu若使 j1 最小，最好使 ，则)()(kdkyu0)(2key（3）然而，此控制不能实现。因为：) 1()()( )( )( )(kukkykukydkyuud

8、z则) 1()()( )(dkudkdkydkyu因此， 决不能完全抵消 。)(k)(dkyu使 j1 最小的方法：根据 k-d 及以前的信息最好地估计出 k时刻的干扰量 ，并使)/( dkk)/( )(dkkdkyu从而)/( )()()()(dkkkdkykkyu（4）于是221)/( )()(dkkkekeyj或221)/( )()(kdkdkedkeyj（5）（6）即：输出量的最小方差等于最优预报估计误差的方差。问题：求最优预报 ，使 j1 最小。)/( kdk 利用多项式除法，得到：)()()()()(1*1*1*1*1*zazgzzfzazcd（7）其中)1(1111*1)(ddz

9、fzfzf)()()() 1() 1()( )()()()1 ( )()()()(1*1*111*1*)1(1111*1*kezazgkefdkefdkedkezazgzzfzfdkezazcdkdddd（8）（9）由图1得到：由式（6），得到：（10）21*1*2212121*1*112)/( )()()()1 ( )/( )()()() 1() 1()( )/( )(kdkkezazgeffkdkkezazgkefdkefdkeekdkdkedd其中22)(kee要使（10）式取得最小值，必须有)()()()/( 1*1*kezazgkdk（11）22121222)1 ( )/( )()(

10、)(dffddkdkedkeykey于是此即为最优预报估计误差。（12） 式（11）表示由e(k)，e(k-1)，来获得最优预报 ，而我们希望由 来获得 ，因此需要进行如下变换：)/( kdk )/( kdk ),1( ),(kk由图1，得到)()()()(1*1*kzczake（13）（ 的零点均在单位圆内）)(1*zc代入（11）式，有)()()()/( 1*1*kzczgkdk（14）此即为最优预报公式。求最优预报计算步骤：（1）作多项式的带余除法运算，如式（7），即)()()()()(1*1*1*1*1*zazgzzfzazcd或写成：)()()()(1*1*1*1*zgzzfzazc

11、d（15）其中 如式（8），即)(1*zf)1(1111*1)(ddzfzfzf（15）式两边同乘以 ，得到1dnz)()()()(1zgzfzazczd其中1211)(dddfzfzzf（16）（17）从而可以求出 和 或 f(z)和g(z)。)(1*zf)(1*zg（2）计算干扰量最优预报估计：)()()()()()()/( 1*1*kzczzgkzczgkdk（18）最优预报估计误差如式（12），即221212)1 ()(dffkey二、最小方差控制1、最小方差控制的实现：)/( )(dkkdkyu从而实现最小方差控制，控制器结构如图2所示。给定 u(k)，使得图2 最小方差控制系统结构

12、图dz)(ky)()(1*1*zazb)(1*zd)(ke)(ku)(kyu)()(1*1*zazc)(dkyu)(kv)/( )(kdkvkyu由得到)()()()()()()(1*1*11*1*kvzczgkyzdzazb于是有*1*1*1*1*1()()( )()()()( )a zg zv kd zb zc zy k(19)由图2,得到)()()()()()(1*11kyzdzazbzkvkyd于是得到)()()(1)()(1*11zdzazbzkykvd(20)将(20)代如(19),整理得到)()()()(1*1*1*1*zfzbzgzd或者)()()()(zfzbzgzd说明：（

13、1）最小方差控制由两部分组成： （a）计算最优预报估计)/( kdk （b）产生最优控制 ， 使得)/( )(kdkkyu( )( )( )( )( )g zu ky kb z f z 故与分离性原理相似。（2）d(z) 将抵消对象的分子多项式 b(z)，故最小方差控制只适用于b(z) 零点均在单位圆内的情况。2、计算实例：控制对象模型：)()()()()()()(1*1*1*1*kezazckuzzazbkyd211*11*211*6 . 05 . 11)(5 . 01)(7 . 07 . 11)(zzzczzbzzza已知22)(kee要求：计算最小方差控制器的传递函数及最小性能指标)(2

14、1keyj 解：211121211*1*7 . 07 . 11)1 . 02 . 0(17 . 07 . 116 . 05 . 11)()(zzzzzzzzzazc于是有：11*1*1 . 02 . 0)( , 1)(zzgzf从而5 . 0)5 . 0(2 . 0)(zzzd111*1*1*1*5 . 011 . 02 . 0)()()()(zzzfzbzgzd（1）延时拍数 d=1或最小方差为：221)(keyj（2）设延时拍数 d=22112121211*1*7 . 07 . 11)14. 024. 0(2 . 017 . 07 . 116 . 05 . 11)()(zzzzzzzzzz

15、azc于是有：11*11*14. 024. 0)( ,2 . 01)(zzgzzf从而)2 . 0)(5 . 0(14. 024. 0)(2zzzzzd)2 . 01)(5 . 01 (14. 024. 0)()()()(1111*1*1*1*zzzzfzbzgzd或最小方差为：222221104. 1)2 . 01 ()1 (fj可见，当延时增大时，最小方差也增大。3、与极点配置设计法的比较控制对象模型：)()()()()()(kezckuzbkyza（21）)()()()()()()(kyzfzbzgkyzdku由于故)()()()()()()()()(kezckyzfzbzgzbkyza

16、（22）（23）于是)()()()()()()()()()()(kezhkezgzfzazbzczbzfky（24）其中)()()()()()()()(zgzfzazbzczbzfzh（25）由式（16），即)()()()(1zgzfzazczd得到)()()(1zczbzzd)()()()()(zgzfzazbz上式为 e(k) 到 y(k) 的闭环传递函数，其特征多项式为：（26）（27）（28）可见，系统的极点由三部分组成：（1）d-1 个原极点；（2）b(z) 的零点（n-d个）；（3）c(z) 的零点（n个）。极点配置设计法中，)()()()(kyzrzsku（29）则 r(z) 和

17、 s(z) 满足如下的 diophantine 方程：maabbsar0（30）选定, , ,10dmzacabb则得到)()( ),()()(zgzszbzfzr（31）代入（29）式，得到)()()()(zfzbzgzd（32） 此即为最小方差控制。由此可见，最小方差控制是按极点配置设计方法的一个特例。三、对象具有单位圆外零点时的最小方差控制1、计算方法定理1 给定控制对象的模型为：)()()()()()(kezckuzbkyza（33）将 b(z) 分解为)()()(zbzbzb（34）其中b+(z) 包含所有单位圆内的零点（首一多项式）， 包含所有单位圆外和圆上的零点。假定c(z)的所

18、有零点均在单位圆内，a(z)和互质，则最小方差控制为：)(zb)(zb)()()()()(kyzfzbzgku（35）其中 f(z)和g(z)满足如下的 diophantine 方程：)()()()()()(*1zgzbzfzazbzczd（36）在上式中，求 degg(z) dega(z) 的最小阶解，f(z)和g(z)的阶次分别为：1)(deg)(degzbdzf1)(deg)(degzazg（37）（38）)(*zb)(zb是的互反多项式。 定理证明略 定义：定义： 互反多项式：设nnnnpzpzpzpzp1110)(称01111*)()(pzpzpzpzpzzpnnnnn为 p(z)

19、的互反多项式。 i 型最小方差控制：最小方差控制器抵消 b(z) 的全部零点。 ii 型最小方差控制：最小方差控制器只抵消 b+(z)而不抵消 。)(zb说明： i 型最小方差控制使得输出方差达到极小值，但控制量可能趋于 无穷大（抵消 ）。)(zb ii 型最小方差控制使得输出方差达到有限制的极小值，而不是最 小值，但它使得控制量是稳定的。2、计算实例控制对象模型：)()()()()()(kezckuzbkyza)7 . 0()(19 . 0)()7 . 0)(1()(zzzczzbzzza已知22)(kee要求：计算最小方差控制。baddegdegb的零点在单位圆外，取9 . 0)( , 1

20、9 . 0)( , 1*zzbzzbb11degdegbdf解： 控制器的设计11degdegag于是，设1010)( ,)(gzgzgfzfzf代入 diophantine 方程（待定系数法）：)()()()()()(*1zgzbzfzazbzczd)(19 . 0()(7 . 0)(1()9 . 0)(7 . 0(1010gzgzfzfzzzzz通过系数比较，得到7 . 0 , 1 , 1 , 11010ggff即7 . 0)( , 1)(zzgzzf故最小方差控制为：17 . 0)()()()(zzzfzbzgzd 计算输出方差：y(k)u(k)e(k)+)()(zazc)()()(zf

21、zbzg)()(zazb求出 e(k) 到 y(k) 的闭环传递函数 h(z):*1*1)(bzfcbzbfcbgbafbfcbzhdd代入具体参数，得到从而111111( )( ) ( )( )( )0.91 0.90.1 1( )( )( )1 0.9zzy kh z e ke ke kzzze ke kw kz其中110.1( )( )1 0.9zw ke kz9 . 01)(zzzh即( )0.9 (1)0.1 (1)w kw ke k由此可以看出，e(k) 与 不相关，从而有( )w k222( )( )( )eykee kew k22222( )0.9(1)0.1(1)ew kew

22、 kee k假设系统处于平衡状态，有2222(1)( ) (1)( )ee kee kew kew k于是22220.1( )( )1 0.9ew kee k所以222222053. 11920)(9 . 011 . 01)(keekey3、与极点配置设计法比较闭环系统特征方程（y(k)/e(k)）：)()()()(*1zczbzbzzd（39）可见，系统的极点由四部分组成：（1）d-1 个原极点 ；（2）对象中位于单位圆内的零点b+(z)；（3）对象中单位圆外零点关于单位圆周的镜象 ；（4）c(z) 的零点（n个）。1dz)(*zb极点配置设计法中，)()()()(kyzrzsku（40）则

23、 r(z) 和 s(z) 满足如下的 diophantine 方程：maabbsar0（41）选定, ,*10bzacadm则得到)()( ),()()(zgzszfzbzr（42）可得到)()()()()(kyzfzbzgku（43）可见，ii 型最小方差控制器的设计也可以看成是按极点配置设计方法的一个特例。第三节 广义最小方差控制最小方差控制的弱点：（1）性能指标中没有对控制量加以限制，因此控制量幅度大；为限制控 制量幅度，需要取较大的采样周期，这常使系统的其他性能变差；（2）当对象包含有单位圆外的零点时，需要采取改进措施，即采用ii型 最小方差控制。故采用如下更具一般性的二次型函数：)(

24、 )(222kukyej（1）以此作为性能指标的最优控制称为广义最小方差控制。由上节（1）式与（7）式，得到（2）)()()()()()()()( )()()()()()()( )()()()()()()(1*1*1*1*1*1*1*1*1*1*1*1*1*1*kezazgdkezfkuzazbdkezazgzzfkuzazbdkezazcdkuzzazbdkydd一、广义最小方差控制的计算同理由上节（1）式，得到)()()()()()()(1*1*1*1*kuzzczbkyzczaked（3）（c(z)的零点均在单位圆内）（3）式代入（2）式，得到：)()( ) 1() 1()( )()()

25、( )()()( )()()( )()()()()(*11*kucfbkycgkefdkefdkekufacabkycgdkefkuzgccabkycgdkefkuzcagbabkycgdkefkuzcbkycaagkuabdkefdkydddd（4）根据 e(k) 是白噪声序列及 的假设，可以得到：22)(kee2*221212)()()1 ()(kucfbkycgeffdkeyd（5）若令上式取极小，便可以得到最小方差控制，即)()()()()()()()()(1*1*1*kyzfzbzgkyzfzbzgku（6）由于系统已处于平衡状态，从而（1）式可以表示为：)()()()(22222d

26、kuedkeykuekeyj（7）（5）式代入（7）式，得到：)(2)( )()()()(2)(*2kukucfbkycgkukucfbkycgekuj)()()()1 (22*221212kukucfbkycgeffjd（8）为使 j2 最小，求 j2 对 u(k)的导数。（9）) 1()( )()( )(1)1)( )()()()(1011011)1(1111101*1*1*kubkubkuzbbkuzczczfzfzbzbbkuzczfzbnnddmm（10）由于故0*)()()(bkucfbkycgku（11）（11）式代入（9）式，得到)(2)()(2)(0*2kubkucfbkyc

27、gekuj（12）使上式等于零即可求得使 j2 极小的控制为：)()()()()( )()()()()()(01*01*1*1*kyzcbzfzzbzzgkyzcbzfzbzgku（13）0 此即为要求的广义最小方差控制。若令 ，则上式便变为最小方差控制（ 时 d(z) 不抵消控制对象的零点b(z)）。0计算广义最小方差控制的步骤如下：（1）计算 和 ：)(1*zf)(1*zg)()()()(1*1*1*1*zgzzfzazcd或计算 f(z) 和 g(z)：)()()()(1zgzfzazczd（2）代入广义最小方差控制器公式：)()()()()()(0kyzcbzfzzbzzgku二、计算

28、实例控制对象模型：)()()()()()(kezckuzbkyza)7 . 0()(19 . 0)()7 . 0)(1()(zzzczzbzzza已知1 . 0 ,)(22kee要求：计算广义最小方差控制。设计：9 . 0 , 1degdeg0bbad)7 . 0)(1(7 . 01)7 . 0)(1()7 . 0()()(1zzzzzzzzazczd故有7 . 0)( , 1)(zzgzf广义最小方差控制器为：0( )0.7( )1.010.922( ) ( )( )zg zzd zzzb z f zc zb 求输出方差 )(2key（1）求出 e(k) 到 y(k) 得闭环传递函数)693

29、. 0)(111. 0()913. 0(1)(zzzzbdacdabaczh（2）求输出方差cdzzzhzhjkey2112)()(21)(其中 c 为单位圆周。) 1693. 0)(1111. 0)(693. 0)(111. 0() 1913. 0)(913. 0( )693. 0)(111. 0()913. 0()693. 0)(111. 0()913. 0()()(1111111zzzzzzzzzzzzzzzzzhzh)()(1zhzh在单位圆内有两个极点，即 z= - 0.111 和 z= - 0.693，利用计算留数得方法求复变积分，有22693. 0111. 02069. 1) 1

30、693. 0)(1111. 0)(693. 0() 1913. 0)(913. 0( ) 1693. 0)(1111. 0)(693. 0() 1913. 0)(913. 0()(zzzzzzzzzzzzkey（3）求u(k)的方差：)()()693. 0)(111. 0()17. 0(99. 0 )()693. 0)(111. 0()913. 0(922. 001. 17 . 0 )()()()()()(kezhzzzzkezzzzzzkezhzdkyzdkuu与前面类似，可以求得：2211264. 5)()(21)(cuudzzzhzhjkeu（4）对于 i 型最小方差控制，有22)(ke

31、y b(z)的零点在单位圆外，因而从 的传递函数是不稳定的，因此：)()(kuke)(2keu（5）对于 ii 型最小方差控制，有22053. 1)(key（已求得）)(9 . 07 . 0)(9 . 0117 . 0 )()()()()()(kezzkezzzzkezhzdkyzdku利用与前面类似的方法可以求得：2247.14)(keu（6）结论 i 型最小方差控制： 输出方差最小（ ），控制量趋于无穷（ ）； 广义最小方差控制： 输出方差最大（ ），控制量方差较小（ ）； ii 型最小方差控制： 输出方差较大（ ），控制量方差较大（ ）。22069. 1264. 52053. 1247.

32、14三、与极点配置设计法的比较由前述可知，从e(k)到y(k)的闭环传递函数h(z)为：)()()()()()()(1)()()(zdzbzazczdzazbzazczh（14）由于)()()()()(zczfzzbzzgzd其中0b（15）（16）将（15）式代入（14）式，有)()()()()()()( )()()()()()()()( )()()()()()()()()()( )()()()()()()()()()()( )()()()()()()()(1zazbzzczczfzzbzczczazczzzbzczfzzbzczczazgzfzazzbzczfzzbzczgzzbzczaz

33、fzzbzazczfzzbzczczfzzbzzgzbzazczhdd（17）由此可见，系统的极点由两部分组成： c(z) 的零点。这部分极点将被抵消，因此可看成是观测器的极点； 的零点。可以看作是闭环传递函数要求的极点。)()(zazbzd与极点配置设计方法的比较：设)()()()(kyzrzsku（17）对比式（15），显然有)()()()()()(zzgzszczfzzbzr（18）参考式（17）的推导过程，可以求得)()()( )()()()()()()()()()()(zazbzzczzgzbzczazfzzbzazszbzrzad（19）对比标准的 diophantine 方程，即

34、maabbsar0（20）取)()()( ),()( , 1)(0zazbzzazczazbdm则（18）式，即)()()()()()(zzgzszczfzzbzr为标准 diophantine的解。因此，广义最小方差控制也可看作是按极点配置设计方法的一个特例。控制器中加权系数 的选择：（1）试凑法： 初选 设计广义最小方差控制器 仿真检验 修改 最终确定0（2）根据希望的闭环系统极点来确定 。闭环系统的极点为：)()()(0zabzbzzadm根据要求的闭环系统的极点 来确定上式中的加权系数 。)(zc第四节 跟踪系统的设计1、跟踪系统控制器的设计y(k)u(k)e(k)+)()(zazc)(2zd)()(zazb)(1zd+_r(k)控制器图 3 跟踪系统的结构图设计问题：设计出控制器传递函数 d1(z) 和 d2(z)，以使系统具有满意的 抗干扰和跟踪性能。设)()()( ,)()()(21zrzszdzrztzd（1）则控制器方程为：)()()()()()(kyzskrztkuzr（2）从而设计问题变为设计 r(z)，t(z) 和 s(z)。 与极点配置设计方法比较，c(z) 相当于观测器多项式。按照方式1引入参考输入，即