自动控制理论_19开环对数频率特性曲线绘制

1、第五章第五章频率域方法频率域方法5.3 开环对数频率特性曲线的绘制开环对数频率特性曲线的绘制 根据叠加原理，绘出各环节的对数幅频特性根据叠加原理，绘出各环节的对数幅频特性分量，再将各分量的纵坐标相加，就得到整个系分量，再将各分量的纵坐标相加，就得到整个系统的开环对数幅频特性；将各环节的相频特性分统的开环对数幅频特性；将各环节的相频特性分量相加，就成为系统的开环对数相频特性。量相加，就成为系统的开环对数相频特性。例例 ) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(sssssG1.1.确定出系统开环增益确定出系统开环增益K，并计算，并计算 。 20lgK2.2.确定各环节的确定各环节的转折频率

2、转折频率，并标注在横轴上。，并标注在横轴上。 3.3.在半对数坐标上确定在半对数坐标上确定 =1且纵坐标等于且纵坐标等于20lgK dB的点的点A。过。过A点做一直线，使其斜率等于点做一直线，使其斜率等于-20 dB/dec/dec。当。当 =0, =1, =2时，斜率分别是时，斜率分别是(0，-20，-40)/dec/dec。 伯德图的绘制的一般方法伯德图的绘制的一般方法（无须叠加）（无须叠加） 4.4.从低频段第一个从低频段第一个转折频率转折频率开始做斜直线，该直开始做斜直线，该直线的斜率等于过线的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜点直线的斜率加这个环节的斜率（惯性环节加率（惯性环节加

3、-20，振荡环节加，振荡环节加-40，一阶微分，一阶微分环节加环节加+20的斜率），这样过每一个转折频率都的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的加减。要进行斜率的加减。 例例 已知单位负反馈系统如图所示，试做出已知单位负反馈系统如图所示，试做出系统的开环伯德图。系统的开环伯德图。 解：解： 作作L( ): :(1) 4040/41011(4)(1)1144KG ss ss Tsssss 因此，因此，开环增益开环增益 K=10转折频率转折频率 114(1/s)20lg20dBKT /s-1L( )/dB0.11011002040-20-400-20 dB/dec4AB-40 dB/dec例

4、例 。用伯德图一般法重绘例15例例 已知一单位负反馈系统开环传递函数已知一单位负反馈系统开环传递函数 220010.24100sG ss sss 试作系统开环对数幅频试作系统开环对数幅频L( )图。图。 解：解： 作作L( ): : 220010.2 100510.010.041sG sssss 2001020lg20dB0.2 100KK 123n0.2,1,10,0.2 120lg8dB2 /s-1L( )/dB0.11011002040-20-400A-20 dB/dec0.2B-40 dB/decC-20 dB/decD-60 dB/dec 1 1 2 3 例例 已知某最小相位系统的对

5、数幅频特性渐近线如图，已知某最小相位系统的对数幅频特性渐近线如图，试写出该系统的开环传递函数。试写出该系统的开环传递函数。 decdB/20decdB/40decdB/20dB1572解：（解：（1 1）低频渐近线的斜率为）低频渐近线的斜率为-20-20故系统有且仅有一个积分环节即故系统有且仅有一个积分环节即 1v（2）因低频渐近线在）因低频渐近线在 处的对数幅值为处的对数幅值为15dB 16 . 515lg20KK（3）在 处，对数幅频特性渐近线的斜率由-20变为-40，故 是惯性环节的转折频率， 225 . 021TT（4）在 处，特性曲线的斜率由-40 变回到-20，则知 是一阶微分环节

6、的转折频率， 7714. 071) 15 . 0() 114. 0(6 . 5) 1() 1()(sssTsssKsG 控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题，频域稳定判据的特点是根据开环解决的首要问题，频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，使用方系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，使用方便，易于推广。便，易于推广。 NyquistNyquist稳定判据是其中的代表。稳定判据是其中的代表。 5-4 频率稳定判据 一、奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定判据反馈控制系统 sNsMsG11 sNsMsH22开环传递函

7、数 sNsNsMsMsHsG2121闭环传递函数闭环传递函数 sHsGsF1令令 sMsMsNsNsNsMsHsGsGs2121211)( sNsNsMsMsNsN212121将F(s)写成零、极点形式，有 niiniipszssF11辅助函数辅助函数F(s)具有如下特点：具有如下特点： 其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。 其零点的个数与极点的个数相同。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差常数辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。 设设S S为复变量，为复变量，F F( (S S) )为为S S的有理分式函数，对于的有理分式函数

8、，对于S S平面上任一变平面上任一变量点，通过复变函数量点，通过复变函数F F( (S S) )的映射关系，在的映射关系，在F F( (S S) )平面上可确定关于变平面上可确定关于变量的象。量的象。 在右半在右半S S平面上任选一条不通过平面上任选一条不通过F F( (S S) ) 任何零极点的任何零极点的闭合曲线闭合曲线s s，S S从闭合曲线从闭合曲线s s上任意一点上任意一点A A起起, ,顺时针沿顺时针沿s s运动一周运动一周, ,再回到再回到A A点，那么相应点，那么相应F F( (S S) )平面上的象平面上的象F(s)F(s)则从则从B B点起点起, ,到到B B点止形成一条闭

9、合曲线点止形成一条闭合曲线F F。1.1.辐角原理（柯西）辐角原理（柯西）)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsF S S平面上的闭合曲线平面上的闭合曲线s s内部仅有内部仅有1 1个个F(s)F(s)的零点，的零点，F F ( (s s) )的其的其它零极点如图所示。当闭合曲线它零极点如图所示。当闭合曲线s s上任一点上任一点S S沿顺时针方向转动一沿顺时针方向转动一圈时，圈时，F(s)F(s)总的相角增量为总的相角增量为)()()()()()()()()(212111nnniiniipspspszszszspszssF)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsF nii

10、niipszssF11202 上式表明，在上式表明，在F F ( (s s) )平面，平面，F F曲线从曲线从B B点开始绕原点顺点开始绕原点顺时针转了一圈。时针转了一圈。 同理，当同理，当s s在在s s平面从平面从A A点开始绕点开始绕1 1个个F(s)F(s)的极点顺时的极点顺时针转一圈时，在针转一圈时，在F(s)F(s)平面上，平面上，F F曲线从曲线从B B点开始绕原点点开始绕原点反时针转一圈。反时针转一圈。)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsF定理如下：如果封闭曲线如果封闭曲线 内有内有Z Z个个F(s)F(s)的的零点，有零点，有P P个个F(s)F(s)的极点，则

11、的极点，则s s依依 顺时针转一圈时，在顺时针转一圈时，在F(s)F(s)平面上，平面上，F(s)F(s)曲线绕原点曲线绕原点反反时针转的圈数时针转的圈数R R为为P P和和Z Z之差，即之差，即R RP PZ Zss若若R R为负为负, ,表示表示F(s)F(s)曲线绕原点曲线绕原点顺顺时针转过时针转过的圈数。的圈数。 将将s s曲线扩展为整个右半曲线扩展为整个右半s s平面，此时的曲线叫做平面，此时的曲线叫做奈奈奎斯特轨迹奎斯特轨迹，则辐角原理可以用来判断闭环稳定性。，则辐角原理可以用来判断闭环稳定性。 闭环系统稳定的充要条件为闭环系统稳定的充要条件为F F( (S S) )函数在函数在s

12、 s平面右半部平面右半部的零点数的零点数Z Z=0=0即即 PR 2 2、奈氏判据、奈氏判据 对于包含了整个右半对于包含了整个右半s s平面的平面的NyquistNyquist轨迹来说，轨迹来说，Z Z和和P P分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半s s平面上的平面上的极点数，极点数，s s沿奈氏轨迹运动，沿奈氏轨迹运动，F(s)F(s)在在F(s)F(s)平面上绕原点反平面上绕原点反时针旋转圈数时针旋转圈数 R=P-Z .R=P-Z . F(s)F(s)与与G(s)H(s)G(s)H(s)相差常数相差常数1 1，显然，显然F(s)F(s)在在F(s)F

13、(s)平面上平面上绕原点等效于在绕原点等效于在G(s)H(s)G(s)H(s)平面上绕平面上绕(-1,j0)(-1,j0)点，而点，而G(s)H(s)G(s)H(s)平面上的函数通过平面上的函数通过s=jws=jw替代就是开环幅相频率替代就是开环幅相频率特性曲线特性曲线. . G(s)H(s)=F(s)-1OjF(s)平面平面O-1jG(s)H(s)平面平面 定理如下定理如下： 若开环传函 在s的右半平面有p个极点，为了使闭环系统稳定，当 从 变化时， 的轨迹必反时针包围 GH 平面上的(-1,j0)点P次。即)()(sHsG)()(jHjG0RPzz闭环传递函数在s右半平面的极点数。（ 的零

14、点数）p开环传函在s右半平面的极点数。R 绕(-1,j0)点反时针转的次数。若为顺时针转需注意符号。 )()(jHjG)(sF例已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别K=0.5和K=2时的闭环系统稳定性。1)(sKsG分别作出K=0.5和K=2时开环幅相特性曲线 K=0.5时，闭环时，闭环系统不稳定。系统不稳定。 K=2时，闭环系时，闭环系统稳定。统稳定。例例 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 )52)(2(2 . 5)()(2ssssHsG试利用试利用NyquistNyquist判据判断闭环系统的稳定性。判据判断闭环系统的稳定性。 已知 0P由图知 ，则2RRPZ2)2(0有有2 2个

15、闭环右极点个闭环右极点系统不稳定系统不稳定 例例 某某型系统在型系统在s s右半平面无开环极点，已知其开环特性右半平面无开环极点，已知其开环特性如图所示，试判别系统的稳定性。如图所示，试判别系统的稳定性。 解：已知解：已知P P=0=0，由图知，由图知R R=-2=-2，则，则P PR R，闭环系统不稳定。，闭环系统不稳定。其位于其位于s s右半平面的极点数为右半平面的极点数为 2)2(0RPZ201)()(0ZPNjjHjG转过的圈数为：），曲线绕（变化，对应的从NPRPZ2系统不稳定， 考虑到开环幅相频率特性曲线具有对称性考虑到开环幅相频率特性曲线具有对称性例例 系统开环传递函数为系统开环

16、传递函数为 )52)(2(2 . 5)()(2ssssHsG试利用试利用NyquistNyquist判据判断闭环系统的稳定性。判据判断闭环系统的稳定性。 已知 0P由图知 ，则1NNPZ22)2(0例例 某某型系统在型系统在s s右半平面无开环极点，已知其开环特性右半平面无开环极点，已知其开环特性如图所示，试判别系统的稳定性。如图所示，试判别系统的稳定性。 解：已知解：已知P P=0=0，由图知，由图知N N=-1=-1，则，则P P22N N，闭环系统不稳定。，闭环系统不稳定。其位于其位于s s右半平面的极点数为右半平面的极点数为 2)2(02NPZ 例例 设某设某型系统的开环特性如图所示。

17、开环传递函数型系统的开环特性如图所示。开环传递函数在右半在右半s s平面上没有极点，试用平面上没有极点，试用NyquistNyquist判据判断系统的稳判据判断系统的稳定性。定性。 解：已知解：已知P P=0=0，由图可知，由图可知N N=0=0，则，则Z Z0 0，闭环系统稳定。，闭环系统稳定。 * *G G( (S S) )H H( (S S) )包含积分环节的处理办法包含积分环节的处理办法.90)0()0(的圆弧逆时针补一个起从vjHjG穿越法判断包围圈数穿越法判断包围圈数 设设N N为开环幅相频率特性曲线穿越为开环幅相频率特性曲线穿越（1 1，j j0 0）点左侧负实轴的次数，点左侧负

18、实轴的次数，N N表示正穿越的次数（从表示正穿越的次数（从上往下穿越），上往下穿越），N N表示负穿越的次数（从下往上表示负穿越的次数（从下往上穿越），则穿越），则)(22NNNR例例 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 )52)(2(2 . 5)()(2ssssHsG试利用试利用NyquistNyquist判据判断闭环系统的稳定性。判据判断闭环系统的稳定性。 已知 0P由图知01NN，NPZ22)2(0)( 22NNNR2二、对数频率稳定判据二、对数频率稳定判据 在极坐标图上应用奈氏判据时，（在极坐标图上应用奈氏判据时，（1,1,j j0 0）点是个关）点是个关键点，开环频率特性键点，开环

19、频率特性G G( (jj) )H H( (jj) ) 曲线是否围绕它，怎曲线是否围绕它，怎样围绕它，围绕几圈，掌握这些信息后，就可以判断闭环样围绕它，围绕几圈，掌握这些信息后，就可以判断闭环系统是否稳定。系统是否稳定。 （1，j0）点表示成幅角形式是）点表示成幅角形式是 而而A()1对应于对数幅频坐标图上对应于对数幅频坐标图上L()0的水平线；的水平线； 则对应于对数相频坐标图上则对应于对数相频坐标图上180的水平线。因此可以进行坐标系转换。的水平线。因此可以进行坐标系转换。1)(1801A，即180)(180)( 在极坐标图上，在极坐标图上， G G( (jj) )H H( (jj) ) 曲

20、线每包围（曲线每包围（1,1,j j 0 0）点一次，必然是点一次，必然是G G( (jj) )H H( (jj) ) 在在A A( () ) 1 1的条件下穿越的条件下穿越负实轴负实轴( (，1)1)区段一次。若区段一次。若G G( (jj) )H H( (jj) ) 曲线逆时曲线逆时针包围（针包围（1,1,j j 0 0）点一圈，意味着）点一圈，意味着G G( (jj) )H H( (jj) )曲线在曲线在( (，1)1)区段有一次正穿越；相反，若区段有一次正穿越；相反，若G G( (jj) )H H( (jj) ) 曲线顺时针包围（曲线顺时针包围（1,1,j j 0 0）点一圈，意味着有一次负穿）点一圈，意味着有一次负穿越。越。 这种正负穿越在对数坐标图上的对应关系是：在这种正负穿越在对数坐标图上的对应关系是：在对数坐标图的对数坐标图的L L( () ) 0 0dBdB的范围内，当的范围内，当增加时，增加时，相频特性曲线从下向上穿过相频特性曲