磁学习题课骆素华

1、1大学物理习题课大学物理习题课磁学部分磁学部分2稳恒磁场与电磁相互作用稳恒磁场与电磁相互作用一一. 磁感应强度磁感应强度b的计算的计算1) 叠加法或积分法叠加法或积分法 :电流元的磁场分布电流元的磁场分布024idlrdbr2) 应用安培环路定理应用安培环路定理 :)(0lilil db内3) 典型磁场典型磁场 :长直导线的磁场长直导线的磁场:012(coscos)4ibr02ibr( 无限长无限长 )04ibr( 有限长有限长 )( 半限长半限长 )3圆电流轴线上圆电流轴线上: :30sin2rib ( ( 方向沿轴线方向方向沿轴线方向 ) )rib20( ( 圆电流中心圆电流中心 ) )0

2、22ibr （ 为圆心角）为圆心角）载流圆柱体载流圆柱体: :)( ,220rrrrib)(,120rrrib0(0)br4通电螺线管通电螺线管:)cos(cos21120nibnib0( 无限长管内任一点无限长管内任一点 )012bni( 有限长轴线上有限长轴线上 )( 半限长面中心处半限长面中心处 )二二.磁场的性质磁场的性质1. ,0:ssdb高斯定理无源场无源场;2.)(0:包围安培环路定理llildb有旋场有旋场;5三三. . 磁场力磁场力1. 1. 运动电荷受力运动电荷受力: :bvqf2. 2. 电流元受力电流元受力: :blidfd3. 3. 载流线圈受磁力矩载流线圈受磁力矩:

3、 :mmisbpb磁矩磁矩: :mpis ()mnpn is匝lblidf6四四. . 磁介质磁介质磁介质中的高斯定理磁介质中的高斯定理: :0)(0sdbbsdbss磁介质中的安培环路定理磁介质中的安培环路定理: :)(包围传lildh磁场强度：磁场强度：bh7ddt （掌握符号规则）（掌握符号规则）lbvbaabd)()()( 动动 dkabsbeldst 感电磁感应电磁感应（搞清两个夹角）（搞清两个夹角）法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律动生电动势动生电动势感生电动势感生电动势感生电场（非保守场）感生电场（非保守场）:ke1. 感应电动势感应电动势82. 自感和互感自感和互感 li12

4、2121mii212121dimdtdimdt 3. 磁场能量磁场能量212mb21d2mvbwv212mwlildildt 9练习练习1. 一根无限长的直导线在一根无限长的直导线在p处弯成半径为处弯成半径为r的细的细圆环，如图所示，当通以电流圆环，如图所示，当通以电流i时，圆心时，圆心o处的磁感处的磁感应强度的大小为应强度的大小为( )：000000( )( )24( )()2244iiabrriiiicdrrrr答案答案: (c)orp10练习练习2. 将两条无限长的直导线分别从中间部分弯成将两条无限长的直导线分别从中间部分弯成半径为半径为r的半圆弧和的半圆弧和1/4圆弧，如图所示，当通以

5、电圆弧，如图所示，当通以电流流i时，圆心时，圆心o处的磁感应强度为处的磁感应强度为( )：00000000( ),( ),4824(c),(d),4884iiiiabrrrriiiirrrr方向为；，方向为方向为；，方向为方向为；，方向为方向为；，方向为答案答案: (a)roro022ibr111. 在在 xy 平面内平面内,有一宽度为有一宽度为 l 的无限长载流薄金属板的无限长载流薄金属板,沿沿 x 方向单位长度上的电流（线电流密度）为方向单位长度上的电流（线电流密度）为 。试求试求: x 轴上轴上 p 点的磁感应强度的大小和方向点的磁感应强度的大小和方向;yxdolp解：解：在在x处取宽度

6、为处取宽度为dx的无限载流窄长条；其电流的无限载流窄长条；其电流)(2/0 xdldidb其在其在 p 点的磁感应强度为点的磁感应强度为：dxdi整个载流金属板在整个载流金属板在 p 点的磁场点的磁场方向：dx,ln20dlddbblxdldx00)(2方向：12根据对称性分析：根据对称性分析：yff j0 xf 解：解：dd sinyyfff例例2 如图一通有电流如图一通有电流 、半径为、半径为 的半圆形导线放在磁感应的半圆形导线放在磁感应强度为强度为 的均匀磁场中，导线平面与磁感强度的均匀磁场中，导线平面与磁感强度 垂直。求磁垂直。求磁场作用于导线的力。场作用于导线的力。ibrbddfi

7、lbddfib labcxyibodfrd i ldddcosd cosxffib lddsind sinyffib ldf13sindlbi0sindfbir2fbi r jbi ab jddrl 因因dd sinyfffabcxyibodfrd i ld2bi rab 为缺口的长度143. 一半径为一半径为r的无限长导体圆柱，在离轴线的无限长导体圆柱，在离轴线d处挖去处挖去半径为半径为r0(r0d)的无限长小圆柱，两圆柱的轴线互相的无限长小圆柱，两圆柱的轴线互相平行，余下部分沿轴向流过均匀的电流密度。求平行，余下部分沿轴向流过均匀的电流密度。求: (1) 大圆柱轴线上的磁感应强度；大圆柱轴

8、线上的磁感应强度；(2) 空圆柱轴线上的磁感应强度；空圆柱轴线上的磁感应强度；(3) 证明挖空部分为均匀磁场证明挖空部分为均匀磁场ooj解：采用解：采用填补法填补法，将此空心圆，将此空心圆柱假想为柱假想为电流密度为电流密度为j、半径为、半径为r的实心圆柱电流的实心圆柱电流与与电流密度电流密度为为-j的半径为的半径为r0的实心圆柱的实心圆柱电流电流的叠加的叠加15半径为半径为r的载流圆柱体在的载流圆柱体在oo轴上产生的磁场轴上产生的磁场b1=0；半径；半径为为r0的载流圆柱在的载流圆柱在oo轴上产生的磁感应强度由安培环路轴上产生的磁感应强度由安培环路定理得定理得00200020 0022ibdl

9、ibdr jrbjd 方向：垂直于纸面向外方向：垂直于纸面向外即，大圆柱轴线上的磁感应强度即，大圆柱轴线上的磁感应强度20 002rbbjd方向：垂直于纸面向外方向：垂直于纸面向外16(2) 同理，半径为同理，半径为r的载流圆柱体在的载流圆柱体在oo轴上产生的磁感轴上产生的磁感应强度由安培环路定理得应强度由安培环路定理得102100122ib dlibdd jdbj 方向：垂直于纸面向里方向：垂直于纸面向里半径为半径为r r0 0的载流圆柱在的载流圆柱在oo轴上产生的磁感应强度轴上产生的磁感应强度b b0 0=0=0012dbbj方向：垂直于纸面向里方向：垂直于纸面向里所以，空圆柱轴线上的磁感

10、应强度所以，空圆柱轴线上的磁感应强度17opor2r1r(3) 如图所示，设如图所示，设p为空心圆柱内的为空心圆柱内的任一点，设任一点，设op=r1, op=r2，-j电流电流在在p点产生的磁感应强度由安培环路点产生的磁感应强度由安培环路定理得定理得0222bjr j j在在p p点产生的磁感应强度为点产生的磁感应强度为0112bjr 所以，所以，p p点磁感应强度为点磁感应强度为001212012022()22pbbbjrjrjrrjd d由由oo指向指向oo故，空心部分为大小和方故，空心部分为大小和方向均不变的均匀磁场，向均不变的均匀磁场，得证得证18解法一解法一:分别考虑动生电动势和感生

11、电动势分别考虑动生电动势和感生电动势ac:012viica cabd:022 ()viicab db例例4 如图，已知无限长载流直导线中通有电流如图，已知无限长载流直导线中通有电流i=i(t)，与其共面，与其共面的矩形导体线框以速度的矩形导体线框以速度 垂直于载流直导线向右运动，求矩垂直于载流直导线向右运动，求矩形导体线框中的感应电动势形导体线框中的感应电动势v ？i iblv() dnmiblv0ac2iba0bd2ibab02ibxabcvabcdib001222 ()动生vviiiiiccaab 方向方向:ca b d02()vibca ab 190d ( )(ln)2d=cabi ta

12、t abcvabcdioxdxxbdsdd感生=it 00( )d ( )ln2()2dvii tcbabi tca abat 矩形框的法线方向为垂直向内（矩形框的法线方向为垂直向内（ ca b d ）dddddisbstt0dd2da baic xx t0d ( )(ln)2d=cabi tat 20 练习练习5 如图所示，一根长直导线与一等边三角形线圈如图所示，一根长直导线与一等边三角形线圈 abc 共面放置，共面放置，三角形高为三角形高为 h ，ab 边平行于直导线，且与直导线的距离为边平行于直导线，且与直导线的距离为 b ，三角形线，三角形线圈中通有电流圈中通有电流 i=i0sint，

13、电流，电流 i 的方向如箭头所示，求直导线中的感生的方向如箭头所示，求直导线中的感生电动势。电动势。解答提示解答提示设长直导线为线圈设长直导线为线圈 1，三角形回路为线圈，三角形回路为线圈 2 ，并设长直导线通过电流为并设长直导线通过电流为 i1, 求三角形回路磁通量求三角形回路磁通量：02()23idbdsbhr drr0101(1)()ln()33bhbiibhbhddrbhhrb02111()ln()3bhmbhhiib.cos)ln()(300212thbhbhbidtdimdtdimabcihbror21解：解：0 12ibx0 1 22ddd2i ilfbilx练习练习 长为长为

14、载有电流载有电流 的导线与电流为的导线与电流为 的长直导线的长直导线 放在同放在同一平面内（如图），一平面内（如图），求求作用在长为作用在长为 的载流导线上的磁场力。的载流导线上的磁场力。1i2ill2ddfilb2ddfi b lxyo1iddyfdxf2di ldfbcosldfdfdxdd cosxl0 1 2dd2cosi ixfx22( )=dlffcos0 1 2d2cosd ldi ixx0 1 2cosln2cosi idld讨论：讨论： （1）00 1 2ln2i idlfd（2）20 1 22i i lfdxyo1iddyfdxf2di ldfbcosldfdfdx236. 一细而薄的圆柱面长为一细而薄的圆柱面长为l、半径为、半径为a，其上均匀带电，其上均匀带电，面电荷密度为面电荷密度为 。若圆柱面以恒定的角加速度。若圆柱面以恒定的角加速度 绕绕中心轴转动，若不计边缘效应，试求：中心轴转动，若不计边缘效应，试求：(1)圆柱壳内磁场的磁感应强度圆柱壳内磁场的磁感应强度(2)圆柱壳内电场的强度圆柱壳内电场的强度(3)圆柱壳内的磁场能和电场能圆柱壳内的磁场能和电场能解：解：0bni则则(1)(1)圆柱面内的磁场可按长直螺线管计算，即圆柱面内的磁场可按长直螺线管计算，即00001 22albnilaat