线性代数新教材课件ch61

1、 本章主要介绍二次型的定义，利用线性变换化二次型本章主要介绍二次型的定义，利用线性变换化二次型为标准形的方法，二次型的正定性及其判别法这些知识为标准形的方法，二次型的正定性及其判别法这些知识在几何及其他许多领域中有着广泛的应用在几何及其他许多领域中有着广泛的应用 当当ija为为复复数数时时，称称二二次次型型f为为复复二二次次型型 定定义义 1 含含有有n个个变变量量12,nx xx的的二二次次齐齐次次函函数数 2221211 122 2(,)nnn nf x xxa xaxax 12 1 213 1 31,1222nn nna x xa x xaxx， (6.1) 当当ija为实数时，称二次型

2、为实数时，称二次型f为为实二次型实二次型； 注意注意 本章本章仅仅讨论实二次型讨论实二次型 称称为为n元元二二次次型型，简简称称二二次次型型 取取jiijaa， 则则2ij ijij ijjij ia x xa x xa x x， (6.1)可可写写为为 2221211 122 2(,)nnn nf x xxa xaxax 12 1 213 1 31,1222nn nna x xa x xaxx， (6.1) 11nnij ijija x x (6.2) 利利用用矩矩阵阵的的运运算算，(6.2)又又可可写写成成 221 2 122 222nna x xaxax x 21122nnnnnn na

3、 x xax xax 211 112 1 211nnfa xa x xa x x 111 112 21()n nfx a xa xa x 221 2 122 222nna x xaxax x 21122nnnnnn na x xax xax 211 112 1 211nnfa xa x xa x x 221 122 22()n nxa xaxax 1 12 2()nnnnn nxa xaxax 11 112 2121 122 22121 12 2(,)n nn nnnnnn na xa xa xa xaxaxx xxa xaxax 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaax

4、aaaxx xxaaax 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxfx xxaaax 记记 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaa， 12nxxxx， 则二次型则二次型(6.1)可写成可写成 tf x ax (6.3) 称称(6.3)为为二二次次型型f的的矩矩阵阵表表示示式式， a为为二二次次型型f的的矩矩阵阵， ( )r a为二次型为二次型f的的秩秩 注意注意 a为实对为实对 称矩阵称矩阵 例例 1 写出二次型写出二次型 22212311 21 322 33(,)2273f x xxxx xx xxx xx 的矩阵表示式，并求其秩的矩阵表示式，

5、并求其秩 解解 f的的矩矩阵阵表表示示式式为为 1123231111(,) 1721132xfx xxxx 因因 111117021132， 所以所以f的秩为的秩为 3 注意注意 对于给定的二次型对于给定的二次型12(,)nf x xx，其系数，其系数()ijjiijaaa可惟一确定一个可惟一确定一个n阶实对称矩阵阶实对称矩阵a； 反反之之，任任给给n阶阶实实对对称称矩矩阵阵a，也也能能够够惟惟一一确确定定一一个个 n元元实实二二次次型型 这这说说明明实实二二次次型型与与实实对对称称矩矩阵阵之之间间存存 在在一一种种一一一一对对应应关关系系 定定义义 2 称称 111 112 21221 12

6、2 221 12 2,n nn nnnnnn nxp yp yp yxp ypypyxp ypypy (6.4) 为为由由变变量量12,nx xx到到变变量量12,ny yy的的线线性性变变换换， 其中其中ijp为实数为实数 111 112 21221 122 221 12 2,n nn nnnnnn nxp yp yp yxp ypypyxp ypypy (6.4) 记记 12nxxxx，111212122212nnnnnnpppppppppp，12nyyyy， 则则(6.4)可可写写成成矩矩阵阵形形式式 xpy 若若p为可逆矩阵，称线性变换为可逆矩阵，称线性变换pxy为为可逆线性变换可逆线

7、性变换； 若若p为正交矩阵，称线性变换为正交矩阵，称线性变换xpy为为正交线性变换正交线性变换 线性变换线性变换 xpy 对于对于可逆线性变换可逆线性变换xpy， 由由此此可可确确定定一一个个由由变变量量 12,ny yy到变量到变量12,nx xx的可逆线性变换的可逆线性变换 1ypx， 称称1ypx为线性变换为线性变换xpy的的逆变换逆变换 对于对于二次型二次型 tf x ax 经经可可逆逆线线性性变变换换xpy ()()()ttttf x axpya pyyp ap y 记记tbp ap tf y by 因为因为()ttttbp app apb， 即即b仍是对称矩阵，仍是对称矩阵， 故故

8、tf y by是是含含变变量量12,ny yy的的二二次次型型 定义定义 3 设设,a b均为均为n阶矩阵，如果存在阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阶可逆矩阵阵p，使得，使得tp apb，则称，则称a合同于合同于b 容容易易验验证证，合合同同概概念念具具有有下下列列三三条条性性质质： (1) 自自反反性性 每每个个矩矩阵阵a与与其其自自身身合合同同； (2) 对称性对称性 若若a与与b合同，则合同，则b与与a合同；合同； (3) 传递性传递性 若若a与与b合同，合同，b与与c合同，则合同，则a与与c 合同合同 对于对于二次型二次型 tf x ax 经经可可逆逆线线性性变变换换xpy 其中其中tbp ap tf y by 二次型二次型tf x ax的矩阵的矩阵a与经过可逆线性变换与经过可逆线性变换xpy得到的二次型得到的二次型()ttf yp ap y的矩阵的矩阵tbp ap是合同是合同的的 定定理理 二二次次型型f经经可可逆逆线线性性变变换换后后，其其秩