第五章大数定律及中心极限定理

1、 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种泛，其中最重要的有两种:大数定律与中心极限定理大数定律

2、与中心极限定理 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 一、大数定律的客观背景一、大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率 二、几个常见的大数定律二、几个常见的大数定律切比雪夫切比雪夫th1: 切比雪夫切比雪夫(chebyshev)定理的特殊情况定理的特殊情况说明说明 （2） 在所给的条件下，当在所给的条件下，当n充分大时，充分大时，n个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有较小的偏差的可能性比较大。较小的偏差的可能性比较大。可以考虑可以考虑用

3、算术平用算术平均值作为所研究指标值的近似值均值作为所研究指标值的近似值。（1）此定理也称为切比雪夫大数定理）此定理也称为切比雪夫大数定理 证明切比雪夫大数定律主要的数学工证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式具是切比雪夫不等式.注意注意切比雪夫不等式切比雪夫不等式证证 |22)(|xdxxfx dxxfx)()(122 |)(|xdxxfxp当当x为连续型随机变量时为连续型随机变量时, 设设x的概率密度为的概率密度为f(x),则则22 说明说明例例 =3 ,p |x- | = p |x- | 3 0.8889 =4 p |x- | =p |x- |105的近似值的近似值解解e(vk

4、)=5, d(vk)=100/12 (k=1,2,20).近似服从正态分布近似服从正态分布n(0,1),387.020)1210(1001 vp387.020)1210(100 vp2012/1005201052012/100520 vp105 vp 387.02211dtet 348. 0)387. 0(1 348. 0105 vp所以所以 1001kkxx例例3. 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次炮击次炮击, 在每次在每次炮击中炮击中, 炮弹命中颗数的数学期望为炮弹命中颗数的数学期望为2, 均方差为均方差为1.5, 求在求在100次炮击中次炮击中,有有180颗到颗到220颗

5、炮弹命中目标的颗炮弹命中目标的概率概率.解解:设设xk为第为第k次炮击炮弹命中的颗数次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100),在在100次炮击中炮弹命中的总颗数次炮击中炮弹命中的总颗数相互独立地服从同一分布，相互独立地服从同一分布，e(xk)=2, d(xk)=1.52 (k=1,2,100)33. 15 . 120033. 1220180 xpxp)200(151)2(5 . 110011001 xxkk随机变量随机变量近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布8164. 019082. 021)33. 1(2)33. 1()33. 1(33. 133. 12122 dtet例例4 对于一个

6、学生而言，来参加家长会的家长人对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加会议的家长数设各学生参加会议的家长数相互独立相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数x超过超过450的概率的概率.(2) 求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的的概率概率.解解(1) 以以xk (k=1,2,400)记第记

7、第k个学生来参加会议个学生来参加会议的家长数的家长数,其分布律为其分布律为pk0.050120.80.15xk1 .1)( kxe.400,.,2 , 119.0)( kxdk 4001kkxxxk 相互独立地服从同一分布相互独立地服从同一分布 450xp19. 04001 . 14004001 kkx随机变量随机变量近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布1257. 0)147. 1(1 19. 04001 . 1400 x 19.04001 .140045019.04001 .14001xp 19.04001 .140045019.04001 .1400xp 147. 119. 04001

8、 . 14001xp(2) 以以y表示有一名家长来参加会议的学生表示有一名家长来参加会议的学生, 则则yb(400, 0.8) 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400yp)5 . 2( 9938. 0 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400yp340 yp三三 小结小结1、独立同分布的中心极限定理、独立同分布的中心极限定理2.李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理3.棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理nnkknkknkknkknkknbxxdxexz 11111)()( 近似服从近似服从标准标准正态分布正态分布n(0,1)。一船舶在某海

9、区航行，已知每遭受一次波浪的冲一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于击，纵摇角大于3 的概率为的概率为p=1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇次纵摇角度大于角度大于3 的概率是多少？的概率是多少？解解将船舶每遭受一次冲击看作是一次试验，将船舶每遭受一次冲击看作是一次试验，假定各次试验是独立的假定各次试验是独立的90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于3 的次数记为的次数记为x，xb(90000,1/3),思考题思考题3050029500 xp所求概率为所求概率为90000,.,1 ,0,323130500295019000090000 kckkkk计算太麻烦！计算太麻烦！90000,.,1 , 0,32319000090000 kckxpkkk分布律为分布律为采用棣莫佛拉普拉斯定理采用棣莫佛拉普拉斯