高等数学在数学建模中的应用举例

1、 高等数学是现代各科知识的理论基础，在数高等数学是现代各科知识的理论基础，在数 学建模中有广泛的应用，极限、连续和积分学建模中有广泛的应用，极限、连续和积分等数学思想是建立数学模型的基本思想，抽等数学思想是建立数学模型的基本思想，抽象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。在教学中，融入数学建模思想和方法，让学生在教学中，融入数学建模思想和方法，让学生养成数学建模的习惯。养成数学建模的习惯。 暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力。培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力

2、。高等数学在数学建高等数学在数学建模中的应用举例模中的应用举例某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。例例1 舰舰艇的会合艇的会合12,11222aabrbaah令：令：则上式可简记成则上式可简记成 ： 222rh-yx)(a(0,b)xyb(0,-b)p(x,y)o航母航母 护卫舰护卫舰 1 2 )()(22222b-yx

3、 a byx即：即：22222222) 1(411ababaayx可化为：可化为：记记v2/ v1=a通常通常a1 222|ap|a|bp|则则汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。 bxy)(tan1（护卫舰的路线方程）（护卫舰的路线方程）bxy)(tan2（航母的路线方程（航母的路线方程 ）即可求出即可求出p点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。本模型虽简单，但分析本模型虽简单，但分析极极清晰清晰且且易于实际应用易于实际应用 例例2 双层玻璃的功效双层玻璃的功效在寒冷的北方，在寒冷的北方， 许多住房的许多住房的 玻璃窗都是双层玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单玻璃的，现在我们

4、来建立一个简单 的数学模的数学模型，研究一下双层玻璃到底有多型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。大的功效。比较两座其他条件完全相同的房屋，它们比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的的差异仅仅在窗户不同。差异仅仅在窗户不同。 不妨可以提出以下不妨可以提出以下 假设假设：1、设室内热量的流失是热传导、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对引起的，不存在户内外的空气对流。流。2、室内温、室内温 度度t1与户外温与户外温 度度t2均均为常数。为常数。3、玻璃是均匀的，热传导系数、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。为常数。设玻璃的热传导系数设玻璃的热传导系数 为为k1，空气的，空气的热

5、传导系数热传导系数 为为k2，单位时间通过单，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为的一侧的热量为 ddl室室外外t2室室内内t1tatb由热传导公式由热传导公式 =kt/d dttklttkdttkbbaa21211)/()(21212121dklkttdklkta解得：解得：dklkdttkddklkttdklktk212112121211122)1 (此函数的图形为此函数的图形为dd室室外外t2室室内内t1dttk2211)/()(2221dklk类似有类似有 321621kk一般一般dl /811故故记记h=l/d并令并令f(h)= 1

6、81h01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考虑到考虑到美观美观和使用上和使用上 的的方便方便，h不必取得过大，例如，可不必取得过大，例如，可 取取h=3，即，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的时的 3% 。 例例3 崖高的估算崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间

7、，你又怎样来推算假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。方法一方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如， 设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则可求得h78.5米。米。221gth 我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。 vkmgdtdvmf除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当

8、属属空气阻空气阻力力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系落的速度，阻力系 数数k为常数，因而，由牛顿第二定律可为常数，因而，由牛顿第二定律可得：得： kgcevkt令令k=k/m，解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 ktekgkgv再积分一次，得：再积分一次，得： cekgtkghkt2若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h73.6米。米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 不妨设

9、不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1秒秒 ，假如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。 222)1(kgektkgkgekgtkghktkt多测几次，取平均多测几次，取平均值值代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：，得到计算山崖高度的公式： 将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+ ，即可，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真

10、正时间的真正时间 为为t1，声音传回来的时间记，声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个，还得解一个方程组：方程组： 933401212211.ttthkg)ekt (kghkt这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖

11、高的近似值。例如，崖高的近似值。例如， 若若h=69.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。 例例4 录像带还能录多长时间录像带还能录多长时间录像机上有一个四位计数器，一盘录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟分钟的录像带在开始计数时为的录像带在开始计数时为 0000，到结束时计，到结束时计数为数为1849，实际走时为，实际走时为185分分20秒。我们从秒。我们从0084观察到观察到0147共用时间共用时间3分分21秒。若录像秒。若录像机目前的计数为机目前的计数为1428，问是否还能录下一个，问是否还能录下一个 60分钟的节目？分钟的节目

12、？rrl由由vt)r(r22得到得到212rvtr又又 因和因和 得得 rl tvl trv积分得到积分得到tdt)rvtv(d02120rrvt2rvt2t2212021)()(即即从而有从而有rrvtn212)(12我们希望建立一个录像带已录像时我们希望建立一个录像带已录像时 间间t与计数器计与计数器计 数数n之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首 先必先必须搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像须搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像 带带的磁带的厚的磁带的厚 度是度是 常量，它被绕在一个半径常量，它被绕在一个半径 为为r的园的园盘上，见

13、图。磁带转动中的线速盘上，见图。磁带转动中的线速 度度v显然也是常数，显然也是常数，否则图象声音必然会失真。此外，计数器的读否则图象声音必然会失真。此外，计数器的读 数数n与与转过的圈数有关，从而与转过的角转过的圈数有关，从而与转过的角 度度成正比。成正比。 rrlrrvtn212)(12 此式中的三个参数此式中的三个参数、v和和r均不易精确测得，均不易精确测得，虽然我们可以从上式解出虽然我们可以从上式解出t与与n的函数关系，的函数关系，但效果不佳，故令但效果不佳，故令 则可将上式简化为：则可将上式简化为： v v/r2tn故故nnnt21222令令21a b2上式又可化简记成上式又可化简记成

14、 t= an2+bn t= an2+bn rrl上式以上式以a、b为参数显然是一个十分明智的为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了方便。将已知条件代入，得方程组：供了方便。将已知条件代入，得方程组： 3.351471478484185.331849(1849)12122tbatbaba从后两式中消从后两式中消 去去t1，解得，解得a=0.0000291, b=0.04646,故故t=0.0000291 n2+0.04646n，令，令n=1428，得到，得到t=125.69（分）由于一盒录像带实际可录像时间为（分）由于一盒录像带实际

15、可录像时间为185.33分，分，故尚可录像时间故尚可录像时间 为为59.64分，已不能再录下一个分，已不能再录下一个60分钟分钟的节目了。的节目了。 例例5 5 将形状质量相同的砖块一一向右往外将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均设砖块是均质的，长度与重量均 为为1 1，其，其 重重心在中点心在中点1/21/2砖长处，现用砖长处，现用归纳法归纳法推导。推导。 zn(n1)n(n1)由第由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-z

16、n= (n1) zn故故zn =1/(2n)，从而上面，从而上面 n块砖向右推出的块砖向右推出的总距离为总距离为 ，nkk121112121,时nnknkn 例例6 6 某人住在某公交线附近，该公交线路某人住在某公交线附近，该公交线路为在为在a a、b b两地间运行，每隔两地间运行，每隔 1010分钟分钟a a、b b两两地各发出一班车，此人常在离家最近的地各发出一班车，此人常在离家最近的 c c点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 b b去去a a的车，难道由的车，难道由 b b去去a

17、 a的车次多些吗？请的车次多些吗？请你帮助他找一下原因你帮助他找一下原因由于距离不同，设由于距离不同，设 a a到到c c行驶行驶3131分分钟，钟，b b到到c c要行驶要行驶 3030分钟，考察一分钟，考察一个时间长度个时间长度 为为1010分钟的区间，例分钟的区间，例如，可以从如，可以从 a a方向来的车驶方向来的车驶 离离c c站站时开始，在其后的时开始，在其后的 9 9分钟内到达的分钟内到达的乘客见到先来的车均为乘客见到先来的车均为 b b开往开往a a的，的，仅有最仅有最 后后1 1分钟到达的乘客才见到分钟到达的乘客才见到 由由a a来的车先到。由此可见，如果来的车先到。由此可见，

18、如果此人此人 到到c c站等车的时间是随机的，站等车的时间是随机的，则他先遇则他先遇 上上b b方向来的车的概率为方向来的车的概率为 90%90% 。例例7 方桌问题方桌问题将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不 允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转 ，是否总能设法使其四条腿同时落地？，是否总能设法使其四条腿同时落地？ 不附加任何条件，答案不附加任何条件，答案 显然显然 是否定的，是否定的， 因此我们因此我们假设假设 （1）地面为连续曲面地面为连续曲面 （2）方桌的四条腿长度相同方桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面

19、的弯曲程相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长度而言，方桌的腿是足够长的的 （4）方桌的腿只要有一点接触地方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。面就算着地。总可以使三条腿总可以使三条腿同时着地。同时着地。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌图所示，方桌的四条腿分别在的四条腿分别在a、b、c、d处，处，a、c的初始位置在的初始位置在x轴上，轴上，而而b、d则在则在y轴上，当方桌绕中轴上，当方桌绕中 心心0旋转时，对角线旋转时，对

20、角线 ac与与x轴轴的夹角记为的夹角记为。容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令定的。为消除这一不确定性，令 f()为为a、c离地距离之和，离地距离之和，g()为为b、d离地距离之和，它们的值离地距离之和，它们的值 由由唯一确定。由唯一确定。由假设假设（1），），f()、g()均为均为的连续函数。又的连续函数。又 由由假设（假设（3），），三条腿三条腿总能同时着地，总能同时着地， 故故f()g()=0必成立（必成立（ ）。不妨设）。不妨设f(0)=0,g(0)0（若（若g(0)也为也为0，则初始时

21、刻已四条腿着地，不必，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：再旋转），于是问题归结为：yxcdabo已知已知f()、g()均为均为的连续函数，的连续函数，f(0)=0,g(0)0且对任意且对任意有有f()g()=0，求证存在某一，求证存在某一0，使，使f(0)=g(0)=0。 （证法一）（证法一）当当=/2时，时，ac与与bd互换位置，故互换位置，故f(/2)0 , g(/2)=0。令。令h()=f()-g()，显然，显然，h()也是也是的连续函数，的连续函数，h(0)=f(0)-g(0)0，由连续函数的取，由连续函数的取零值定理，存在零值定理，存在 o，0o 0,g(/2)=

22、0。令。令o =sup |f ()=0，0,显然显然0 0，总有，总有0且且0。因为因为f(0+)g (o+)=0，故必有，故必有g (0+)=0，由，由可任意小且可任意小且g连续，可知必连续，可知必 有有 g (0)=0，证毕。证法二除用，证毕。证法二除用 到到f、g的连续性外，还用到了上确界的性质。的连续性外，还用到了上确界的性质。 圆周率是人类获得的最古老的数学概念圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约之一，早在大约37003700年前（即公元前年前（即公元前17001700年左右）的古埃及人就已经在年左右）的古埃及人就已经在 用用256/81256/81（约约3.16053.

23、1605）作为）作为的近似值了。几千年来的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求，人们一直没有停止过求的努力。的努力。例例8 的计算的计算 古古 典典 方方 法法 分分 析析 方方 法法 其其 它它 方方 法法 概率方法概率方法 数值积分方法数值积分方法 古典方法古典方法用什么方法来计用什么方法来计 算算的近似值呢？显然，不可能仅根的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。的古典方法。6边形边形12边形边

24、形24边形边形圆圆 阿基米德曾用圆内接阿基米德曾用圆内接 9696边形和圆外切边形和圆外切9696边形夹逼的方法证明了边形夹逼的方法证明了72271223 由由和和 导出导出 tansin 96 公元公元5世纪，祖冲之指出世纪，祖冲之指出3.14159273.1415926 比西方得到同样结比西方得到同样结果几乎早了果几乎早了1000年年 十五世纪中叶，阿尔十五世纪中叶，阿尔卡西给出卡西给出的的16位小数，打破了祖冲之的纪录位小数，打破了祖冲之的纪录 1579年年, ,韦达证明韦达证明373.14159265 353.14159265 1630年年, ,最后一位用古典方法求最后一位用古典方法求

25、的人的人格林伯格也只求到了格林伯格也只求到了的第的第39位小数位小数 分析方法分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求分析方法来求的近似值，其中应用的主的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求本节中我们将介绍一些用此类方法求近近似值的实例。似值的实例。067702.321201920543432122103516.341403940543432122 取取20 k取取10 k 1656年，沃里斯年，沃里斯( (wallis) )证明证明 112212227656543432122kkkkk 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有在微积分中我们学过泰勒级数，其中有12)1(53arct