2020大二轮高考总复习理数文档：攻略3考前必明的11大热点问题Word版含解析.doc

1、第四版缺 考前30天抢分攻略ri* 0, a2+ b2 J= 0, 即即 a2 + b2 = c2, ABC为直角三角形，且/ C= 90(2) / a + b + c= 1+ 2 , a2 + b2= c2,. 1+ 2 = a+ b + a2 + b2 2 ab + 2ab = (2 +1+ .2 =上2+ .2 22） : ab当且仅当a = b时上式等号成立，则- Sabc= *abw 2x 2 2= 4，即 ABC面积的最大值为寸.4. (2017全国卷n ) ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知sin(A+ C)=8sin2B2(1) 求 cos B;若a

2、 + c= 6,A ABC的面积为2,求b.解:(1) 由题设及 A + B + C= n得 sin B= 8sin2故 sin B= 4(1 cos B).上式两边平方，整理得17cos2B 32cos B+ 15= 0,解得cos B= 1（舍去），或cos B =1517.故 cos B=1517由cos B =需得sin B =診故 SABC=14acs in B= ac.又 SABC = 2,则ac=由余弦定理及17 a + c= 6 得 b2= a2+ c2 2accos B = (a + c)2 2ac(1 + cos B)= 36 2x-所以b= 2.热点3 数列的通项与求和问

3、题数列的通项与求和问题是高考考查的热点， 命题的重点多以等差数列、等比数列为背景, 求其通项公式与前 n项和，简单数列不等式的证明， 求数列中的最值问题， 会涉及考查等量 问题、代数形式与推理、基本量的求解等.其中方程思想、消元法经常用到，且在数列求和问题中，错位相减法与裂项相消法是常用技巧.典蚀3)(2017河南六市模拟)观察下列三角形数表：|第 | 行22 第空行34 3第3存477 4“”弟斗行51114 II 5第苗订 +11- *11- 假设第n行的第二个数为an(n2, n N*),(1) 归纳出an+1与an的关系式，并求出 an的通项公式；I阿凡题1083995(2) 设 an

4、bn= 1(n 2)，求证:b2 + b3+ bnV 2.思路点拨(1)利用数列的关系归纳出an+ 1与an的关系式，利用累加法求解即可.(2) 利用放缩法化简通项公式，通过裂项消项法求解即可.(1) 【解】 依题意 an+1= an+ n(n2), a2= 2,n 2 n+ 1 an= a2 + (a3 a2) + (a4 a3) + + (an an-1) = 2 + 2+ 3 + + (n 1)= 2+_所以 an= 2-n2 *n+ 1(n 2).2 21 1(2) 【证明】 因为 anbn= 1 ,所以 bn= 2n+ 2V 2n = 2 n ，n2 n+ 2 n2 nn 1 n11

5、1 11 丄 c 3 cb2 + b3 + b4+ + bnV 2 1 2 + 2 3 + + n 1 n = 2 1 V 2.点评有关数列与不等式相交汇问题的关键是会转化，即把所给数列的通项与前n项和的关系转化为数列的递推式，再把递推式进行转化.举一反三5. (2017邵阳模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,且6Sn= 3n+1 + a(n N +)(1) 求a的值及数列an的通项公式；1 、,设 bn= (1 an)log3(an an+1)，求 b 的前 n 项和为 Tn.解：(1) 等比数列an满足 6Sn = 3n+1+ a(n N +),n= 1 时，6a1= 9 + a;n2

6、 时，6an= 6(Sn Sn-1) = 3n 1 + a (3n+ a)= 2 x 3n. an= 3n1, n = 1 时也成立，1 x 6= 9 + a，解得 a = 3. an= 3n1.(2) bn = (1 an)log3(a2 an+1)=(1 + 3n)log3(32n2 3n)=(3n+ 1)(3n 2),1_ 丄 _J1 bn 3 3n 2 3n+ 1 *11矗的前n项和为Tn=-1111 + +44713n 2 3n+ 11_J_n1 3 3n + 13n+ 1热点4立体几何中的常青树平行、垂直及空间角问题近几年高考立体几何试题以中档为主，热点问题主要有证明空间线面平行、

7、垂直的位置关系，求空间角(热点是线面角和二面角)和距离(热点是两点间的距离问题 )其中利用空间 向量，将空间位置关系的判定与空间向量的运算相结合，使几何问题代数化是高考命题趋势.便溜 (2017吉林三模)已知四棱锥P-ABCD中，底面为矩形，PA丄底面ABCD , PA=BC = 1 , AB= 2, M 为 PC 中点阿凡题 1083996(1) 在图中作出平面 ADM与PB的交点N,并指出点N所在位置(不要求给出理由);(2) 在线段CD上是否存在一点 E,使得直线AE与平面ADM所成角的正弦值为，若 存在，请说明点 E的位置；若不存在，请说明理由；(3) 求二面角A-MD-C的余弦值.思

8、路点拨(1)过M作MN / BC,交PB于点N,由此求出结果.(2) 以A为坐标原点，以直线 AB, AD , AP所在直线建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出在线段CD上存在中点E,使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为(3) 求出平面 CMD的法向量和平面 AMD的法向量，由此利用向量法能求出二面角 A-MD-C的平面角的余弦值.【解】(1)过M作MN / BC,交PB于点N，连接AN，如图，则点N为平面 ADM与PB的交点N(在图中画出)由M为PC中点，得N为PB的中点.(2)因为四棱锥P-ABCD中，底面为矩形，PA丄底面ABCD，以A为坐标原点，以直线AB, AD, AP所在直线

9、建立空间直角坐标系如图所示:则 A(0,0,0), P(0,0,1),设在线段CD上存在一点 E(x,1,0)，则AE = (x,1,0),设直线AE与平面AMD所成角为0,平面AMD的法向量为u= (x, y, z),1 1 -则 u丄Am, u丄Ad,即 x+ 2y + 2z=,令 z= 2,则 u = (1,0,2),y= 0因为直线AE与平面ADM所成角的正弦值为卅所以sine=哼皿嚅，所以x = 1|AE|u|所以在线段CD上存在中点E，使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为需,设二面角 A-MD-C的平面角为 幅 平面CMD的法向量v = (xy, z), 1 1X一 一y +一

10、z = 0则v丄CM , v丄CD,即22,2x = 0J0令 z =- 1,贝 y y =- 1 ,所以v = (0， 1 , -1)，所以cos匸谕由图形知二面角 A-MD -C的平面角是钝角,所以二面角A-MD-C的平面角的余弦值为一点评利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三破 “求法向量 关”，求出平面的法向量；第四破 “应用公式关”，熟记二面角、线面角的公式，即求出 面角、线面角应注意：求二面角时，平面的法向量有两个方向，取的方向不同求出来的角 度就不同，所以应该根据这个二面角的实际情况确

11、定其大小.6. (2017焦作二模)在三棱柱 ABC-AiBiCi中，CA = CB，侧面 ABB1A1是边长为 2的正13方形，点E, F分别在线段 AA1、A1B1上，且AE= ?, A1F = 4, CE丄EF .证明：平面 ABBiAi丄平面 ABC;(2)若CA丄CB,求直线ACi与平面CEF所成角的正弦值.(1) 证明：取AB的中点D，连接CD , DF , DE ./ AC= BC, D 是 AB 的中点， CD丄 AB.13侧面ABBiAi是边长为2的正方形，AE = 2， AiF = 4.DF = ./2+ i - 3 2普 EF2+ DE2= DF2,： DE 丄 EF,又

12、 CE丄 EF, CE A DE = E, CE?平面 CDE , DE?平面 CDE , EF丄平面 CDE，又CD?平面CDE , CD 丄 EF ,又CD丄AB , AB?平面ABBiAi , EF?平面ABBiAi , AB , EF为相交直线, CD丄平面 ABBiAi ,又 CD? ABC ,平面ABBiAi丄平面ABC .平面 ABBiAi丄平面 ABC ,三棱柱ABC-AiBiCi是直三棱柱, CCi丄平面ABC ./ CA丄 CB , AB= 2, AC = BC= ;2 .以C为原点，以CA , CB , CCi为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 AC 2 , 0,0

13、) , C(0,0,0) , Ci(0,0,2) , E( ,2 , 0 ,，半，2 . ACi = (- .2 , 0,2) , CE= ( ,2 , 0 , 2) , CF =平,誉,2 .2 8 8n CE = 0 设平面CEF的法向量为n= (x, y, z),贝Un CF = 02x + 求y关于x的回归直线方程y= bx+ a;z= 0/+ 嶋+ 2z= 0令 z= 4,得 n= (- :2, - 9 .2, 4). ACi n = 10, |n|= 6a/5, |ACi|=&./ 立 n ACiV30 cos n, ACi=78 .|n| |ACi|直线ACi与平面CEF所成角的

14、正弦值为 器.热点5统计与概率的交汇问题统计与概率题已经发展为高考解答题的“盘中菜”，难度一般为中档统计与概率的交汇题常以现实生活中的问题为背景，命题的重点有以下三种类型：一是“双图（频率分布直方图、茎叶图）”与离散型随机变量及其分布列、期望、方差相交汇（特别是二项分布、超几何分布、相互独立事件的概率正态分布）；二是求回归直线及预报变量的值；三是独立性检验（2 X 2列联表的应用）.翼删（ 1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（卩3 6,叶3扌之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性

15、;下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9. 95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410. 26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95xi为抽取的第i个零件的尺寸,经计算得=寫=9.97,16i= i疋0.212,其中用样本平均数x作为的估计值仏用样本标准差s作为6的估计值6利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除和d精确到0.01).(:3； ；+ 3爲之外的数据，用剩下的数据估计附：若随机变量Z服从正态分布Ng, d)，则P( 3 o 1) = 1 P(X = 0) = 1 0.997 416

16、 0.040 8.X 的数学期望 EX = 16X 0.002 6 = 0.041 6.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3d,计3d之外的概率只有0.002 6, 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3 d 计3 d之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.由=9.97, s 0.212，得卩的估计值为9.97, d的估计值为d= 0.212,由样本数 据可以看出有一个零件的尺寸在(；一3d, ；+ 3爲之外，因此需对当天的生产过

17、程进行检查.AA AA1剔除(卩3d叶3o)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 新(16 X 9.97 9.22) = 10.02 .因此卩的估计值为10.02.16xF= 16X 0.2121 若天气预报明天的最低气温为10 C,用所求回归方程预测该店明天的营业额； 设该地3月份的日最低气温 XN(卩，?),其中近似为样本平均数，近似为样本 方差，求 P(0.6 X 3.8).+ 16X 9.972 1 591.134 ,X (1 591.134 9.222 15剔除(；一3： ；+ 3爲之外的数据 9.22,剩下数据的样本方差为 15X 10.022)0.008,因此 d的估计值为，0

18、.008 0.09.0举一反三7. (2017鞍山四模)某羽绒服卖场为了解气温对营业额的影响，营业员小孙随机记录了 该店3月份上旬中某5天的日营业额y(单元：千元)与该地当日最低气温 x(单位：C )的数据,如表:x258911y1210887xiyi nx yi= 1A AAAAAA 附： 回归方程 y = bx + a 中，b =, a = y b x , 22 + 52 + 8s + 92 + 112 =n295,2X 12+ 5X 10 + 8X 8+ 9X 8+ 11 X 7 = 287,(2)你3.2;若 XNg, (?),贝U P( o XV 叶 = 0.682 7, Pg 2(

19、K X V 叶 2 =0.954 5. 1解: 1P(0.6x 3.8) = P(0.6 x 13.4) P(3.8 x 10.2) = 0.135 9.热点6解析几何中的最值、定值问题解析几何在高考中的位置向来重要，一般是两道小题，一道解答题.小题重基础，难度中等或偏上；解答题难度整体上呈中等偏上.高考命题的热点是最值、定值问题，其中定值问题多与代数、三角函数、平面向量等知识综合考查，形式多样；定值问题需从整体上把握，要善于在动点的“变”中寻找“不变性”.此类问题多作为高考压轴题呈现，难度中等偏上.奥鋤 (2017 肇庆二模)已知圆 F1： (x+ 1)2+ y2= 9,圆 F2： (x 1

20、)2+ y2= 1,动圆 P 与圆F1内切，与圆F2外切.O为坐标原点阿凡题108398(1)求圆心P的轨迹C的方程.根据题意，计算x = 5X (2 +时8 +养11) = 7，y = 5x (12+ 10+ 8+ 8+ 7) = 9, 5xiyi n x yi= 1287 5X 7X 9295 5X 7X 70.56,a = y b x = 9 ( 0.56) X 7= 12.92, y关于x的回归直线方程y = 0.56x+ 12.92;(2) x= 10 时，y = 0.56X 10+ 12.92 = 7.32,预测该店明天的营业额为7 320元；(3) 由题意，平均数为 尸7,方差为

21、(?= 10,所以XN(7,10),1所以 P(3.8 x 7)= 2P(3.8 xIF1F2I,由椭圆的定义分析可得轨迹C是以Fi, F2为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹C的方程，即可得答案；(2)设 A(xi, yi), B(x2, y2),联立直线 I 与椭圆 C 的方程可得(3 + 4k设原点到直线AB的距离为d寸, |AB|= .1 + k2|xi X2|= ,1 + k2 xi+ X2 2 4xix2= . 1+ k2；+：2,G aob= 2|AB|d=芈皆,令 4 k2 1 = t(t 0)，则 4 k2 = 1+ t2,)/ 16kx+ 4= 0, 利用根与系数的关系可

22、以表示 AB|的值，进而可以表示 OAB的面积，由基本不等式的性质 分析可得答案.【解】(1)设动圆P的半径为r，依题意有|PFi|= 3 r, |PF2= 1 + r, |PF2| + |PFi|= 4 |FiF2|.所以轨迹C是以Fi, F2为焦点的椭圆，且 c= 1, a= 2,所以b = .3,当P点坐标为椭圆右顶点时，r = 0不符合题意，舍去.所以轨迹C的方程X + y = 1(xm 2).4 3设 A(x1, y1), B(x2, y2),y= kx 2联立直线I与椭圆C的方程x2 y2+匚=143可得(3 + 4k2)x2 16kx+ 4 = 0,Xi+ X2 =16k3+ 4

23、k24X1X2=2,3 + 4k2即当k=, OAB面积取得最大值3,此时直线方程为 y=2.1= 16(12k2 3)0,得 k24,点评求解最值问题需准确把握题意，结合圆锥曲线的定义及几何性质，建立函数或 不等式模型；再利用基本不等式、函数的单调性、数形结合等求其最值.注意所选用的变量的取值范围，这个范围就是所建立的函数的定义域当直线的斜率作为变量时，要考虑斜率的存在性，必要时分类讨论.0举一反三8. (2017濮阳二模)已知圆F仁(x+ 1)2+ y2= 16,定点F2(1,0), A是圆Fi上的一动点， 线段F2A的垂直平分线交半径FiA于P点.(1) 求P点的轨迹C的方程；(2) 四

24、边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线 EG, FH过原点O,若kEG kFH3=-3,求证：四边形 EFGH的面积为定值，并求出此定值.4(1) 解：因为P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|.所以 |PF2|+ |PF1|= |PA|+ |PF1|= |AF1|= 4 IF1F2I,所以轨迹C是以F1, F2为焦点的椭圆，且 c= 1, a= 2,所以b = 3, 故轨迹c的方程x + y = 1.证明：不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线 EH的斜率存在，设 EH的方程为y=kx+ m, E(x1, y1), H(x2, y2).y= kx+ m，得(3 + 4k2)x

25、2 + 8kmx+ 4m2 12= 0,8km4m2-12则 x1 + x2=-3+ 4k2, x1x2= 3+ 4k2由、，得2m2 4k2 3 = 0设原点到直线EH的距离为L 11k2|EH|= . 1(2| =8|m|/12k2 3m2+ 93+ 4kS 四边形 EFGH = 4SEOH =由、，得 S四边形EFGH =4 ,3,故四边形EFGH的面积为定值，且定值为 4 3热点7解析几何中的定点、探索性问题解析几何中的定点、探索性问题一直是高考命题的热点，它所给出的仅是一个问题的情景，而求解目标未知，没有固定的解题模式，能较好地考查考生的解题能力，受到命题者的青睐此类问题在高考中多以

26、压轴题的形式呈现，难度较大.喪删乃(2017通化二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:1(a b 0)的离心率为乂6且过点(3, - 1).|阿凡题10839993(1) 求椭圆C的方程；(2) 若动点P在直线I: x=- 2 2上，过P作直线交椭圆 C于M, N两点，使得PM =PN，再过P作直线I丄MN，直线I是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否， 请说明理由.思路点拨由已知条件推导出c2 a2- b26 2a2_ a2 3，同时能求出椭圆 C的方程.直线I的方程为x=- 2 2,设 P( 2 2, yo), yo -穿，晋,当 丫0工 0 时，设 M(X1, y1), N(

27、X2,y2),由题意知X1M X2,利用点差法I的方程为y=2器X+葺2，从而得到I恒过定点3，0 当y0= 0时，直线MN为x=- 2 2,由此推【解】(1) 椭圆C:=1(a b 0)的离心率为-363且过点(3, - 1),91彳了 + ?= 1c2 a2- b2 a2=丁63，解得 a2= 12, b2= 4,x2椭圆C的方程为廿4 =1 直线I的方程为x=-2 2，设P( 2 2, y0), y02*33，2,33，当 y0M 0 时，设 M(x1,y1), N(X2, y2)，由题意知 X1M X2 ,必 + y2= 1124联立 22，迤 + y2= 1124.x1- x2 丄

28、y1 - y2 = 0 -12 十 4=0,.yi y2 _ 1 xi + X2xi X23 yi + y2,又 PM = PN,. P为线段 MN的中点,yo.直线MN的斜率为1二三2 =寻,3 yo3yo又I丄MN,. I的方程为y= 3yo x+山, 223.I恒过定点，o.4*23当yo= 0时，直线MN为x= 2 .2，此时I为x轴，也过点 综上，I 恒过定点一 4、2, 0 .3点评存在性问题、定点问题都是高考数学中的重要题型，解决问题的关键：一是先假设存在，然后寻找条件去推理论证，若得出相应结论则存在；若导出矛盾则不存在二是若点的坐标满足所求直线的直线系方程，则直线经过该定点.举

29、一反三9. (2017石家庄模拟)已知抛物线 C: 严2px(p0)过点M(m,2),其焦点为 F,且|MF| =2.(1)求抛物线C的方程；设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F: (x 1)2+ y2= 1相切，切点分别为 A, B，求证：直线 AB过定点.解：(1)抛物线C的准线方程为x= p,所以 |MF|= m+ 2= 2,又因为 4 = 2pm, 即即 4= 2p 2 * .所以 p2 4p+ 4= 0,所以p= 2,抛物线C的方程为y2= 4x.设点E(0, t)(t工0)，由已知切线不为 y轴，设 EA： y= kx+ ty= kx+

30、t联立。消去 y,可得 k2x2 + (2kt 4)x+ t2= 0y2= 4x因为直线EA与抛物线C相切，所以= (2kt 4)2 4k2t2 = 0,即即 kt= 1,代入 px2- 2x+12= 0,所以 x= t2,即即 A(t2,2t),设切点B(xo, yo)，则由几何性质可以判断点O, B关于直线EF: y=- tx+ t对称，则yo、，t 0X =xo0 1yo=-僚 t2t2xo = t2T7， 解得2t2t2t2+ 1，2tt2+ 1思路1:直线AB的斜率为kAB=2t ,t2 1 (t 丰 1)y0=予2t直线AB的方程为y= p(x12)+ 2t，2t整理y = t2二

31、7(x 1)所以直线AB过定点恒过定点 F(1,0)当 t= 1 时，A(1，2)，B(1，)，此时直线 AB 为 x= 1，过点 F(1,0). 综上，直线 AB过定点恒过定点F(1,0).2t思路2:直线 AF的斜率为kAF= t2(t工1)，直线BF的斜率为kBF =2tt22t2t2 + 12t口(t M)，所以kAF= kBF，即卩A，B，F三点共线.当 t= 1 时，A(1，2)，B(1，)，此时 A，B，F 共线.所以直线AB过定点F.热点8函数单调性、最值、极值问题函数的单调性、最值、极值问题在高考中常以解答题的形式呈现，难度较大，多为高考压轴题利用导数的符号判断函数的单调性，

32、求函数的极值与最值及含参数问题的讨论一直是近几年高考命题的热点，应予以关注.奥械8； (2017厦门二模)已知函数f(x) = x 1一 aln x(a R).|阿凡题1084000(1) 求f(x)的单调区间；(2) 设 g(x) = f(x) + 2aIn x，且 g(x)有两个极值点 X1，X2，其中 X1 (0， e，求 g(x1) g(x2)的最小值.思路点拨(1)求函数的定义域和导数，讨论a的取值范围，利用函数单调性和导数之 间的关系进行求解即可.求出函数g(x)的表达式，求出函数 g(x)的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关 系进行求解.【解】 函数f(x)的定义域是(0 ,

33、+m ),i a x2 ax+1f (x)=1+采x=旷 当aw 0时，f (x) 0恒成立，此时函数f(x)在(0 ,+s)上是增函数, 当 a0 时，由 f (x)= 0,得 x2 ax+ 1 = 0,a.当判别式 = a2 4w 0时，即0v aw 2时，f (x) 0恒成立，此时函数在(0, + m)上是增函数,a / a2 4b.当 = a2 40时，即a2时，方程 x2 ax + 1 = 0的两个根 xi =七,X2 =a+ ,a2 420,a一 2-a2 4时，f (x) 0,此时函数f(x)为增函数,a , a2 42a+( 4时，f (x) 0,此时函数f(X)为增函数,f(

34、x)的递增区间为(0 ,+m)，无递减区间.当a 2时，函数的递增区间为0,十Pa2 4 +十m，单调递减区间为 巳凹,(2)由于1 、g(x)= f(x) + 2aln x= x x + aln x,其定义域为(0, + m),求导得,g (x)= i + 暫 + a=x?+?+ i,x2 xx2若 g (x)= 0 两根分别为 xi, X2，则有 xi x2= 1, xi + x2= a, I X2 =丄，从而有 a= X!,xixint丄则 g(xi) g(x2) = g(xi) g 打111 =X1-X1+aln X1- X1X1+aln Xi=2 xi - + 2aln Xi = 2

35、 xi XiXi2 xi+ - In xi, Xi11令 h(x) = 2 x - 2 x + - In x, x (0, e,入入则g(xi) g(x2) mi n = h(x) min ,1h (x) = 2 1 + X2 -21 1 11 x2 x+ x+ xx2 1 + x 1 x In x当 x (0,1时，h (x) v0, h(x)在(0,1上单调递减,当 x (1, e时,h (x)g(x) + ；(3) 是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理 由.1 x 1(1)解：因为 f(x)= x In x, f (x) = 1 _=,x x所以

36、当0 x 1时，f (x) 0,此时函数f(x)单调递减，当1 x 0，此时函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的极小值为f(1) = 1.证明：因为函数f(x)的极小值为1,即函数f(x)在(0, e上的最小值为1. 又g (x)= Up,所以当0 x0，此时g(x)单调递增.x1 1 1所以 g(x)的最大值为 g(e) = - 2,1所以在(1)的条件下，f(x) g(x) + 2.解：假设存在实数 a,使f(x) = ax In x, x (0, e,有最小值3, 则 f (x) = a = ax 1,x x当 aw 0 时，f (x) 0, f(x)在 (0, e上单调递减,4f(

37、x)min = f(e) = ae 1 = 3, a= -(舍去)，此时函数f(x)的最小值不是 3. e111 当Ov 一 e时，f(x)在(0, e上单调递减，af(x)min = f(e) = ae 1 = 3, a=-(舍去), e此时函数f(x)的最小值不是3,综上可知存在实数a= e2,使f(x)的最小值是3.热点9函数与不等式恒成立、不等式证明相交汇问题函数与不等式恒成立、不等式证明相交汇的问题在近年高考有升温趋势，常以解答题的压轴题呈现，一般难度较大，不等式恒成立问题常转化为函数的最值问题，不等式的证明常利用分析法与综合法，通过构造函数，利用导数解题.(2017 宁夏大学附中二

38、模)已知函数 f(x) = 2ax + bx 1 2ln x(a R). | 阿凡题 1O84001(1) 当b = 0时，讨论函数f(x)的单调区间；(2) 若对？ a 1,3 , ? x (0,+ ), f(x) 2bx 3恒成立，求实数 b的取值范围；(3) 当 xye 1 时，求证：exln (y+ 1)eyln (x+ 1).思路点拨(1)当b= 0时，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f(x)单调区间；将原不等式转化成 a+ -严b，对？ x (0,+ a)? a 1,3恒成立，构造辅助函，求导，求得函数的最小值，由a的取值范围，即可求得实数 b的取值范围；(3)由题意可知

39、：exeyexln (y+ 由 f (x)0,解得：x-, a eyln (x+ 1).只需证x+ 1 m y+ 1，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得g(x) g(y),即可证明不等式成立.22 ax 1(1)【解】 当 b = 0 时，f(x)= 2ax 1 2ln x,求导 f (x) = 2a ；=x(x0),当a w 0时，f (x) v 0在(0 ,+s )上恒成立，函数f(x)在(0, + a)上单调递减，1当 a 0 时，由 f (x)v 0，解得：0vxv ,a11 f(x)在0,-单调递减，在 -，+ 8单调递增，aa1综上可知：当aw 0时，f(x)在(0, + )

40、上单调递减；当a0时，f(x)在0, 单调递减，a1在-，+ 8单调递增.a(2)【解】 由已知对？ a 1,3, f(x)2bx 3，对？ x (0, + 8)恒成立，则 2ax+ bx-1 2ln x 2bx 3，对? x (0, + 8), ? a 1,3恒成立，1 in x b即 a +2，对？ x (0, + 8), ? a 1,3恒成立，x x 21 in x11 In x in x 2设 g(x) = a +乂，? x (0, +8), ? a 1,3，求导 g(x)=护一壬 = 厂则g(x)在(0, eh(x)min = 1 - 0，即 g (X) 0, g(x )在(e 1,

41、+8 )上单调递增， e xye 1 时，g(x)g(y),xy即 一 e一,in x+ 1 in y+ 1当 xye 1 时，exin (y+ 1)eyln (x+ 1).点评破解不等式证明的关键是构造函数，并用导数法判断函数的单调性来证明不等式根据题设条件的结构特征构造一个函数，所构造函数需要与所证不等式有相同的结构；由不等式恒成立求参数取值范围常利用“分离参数法”，也可以利用导数法，通过分类讨论)单调递减，在(e2,+ 8)单调递增，1b1当 x0 时，g(x)min = g(e2)= a p,即zw a -2，e2eb 12由 a 1,3，则亍 w 1 g，即 b w 2 g2实数b的

42、取值范围一8, 2;(3) 【证明】xy e 1,贝U x+ 1 y + 1 e, in (x + 1) in (y+ 1) 1,欲证 en (y+ 1)eyin (x+ 1).exey只需证令 令，ex令g(x)=in7+?，x (e1+8)，求导(x)=ex In x + 11x+ 1In2 x+ 11显然函数h(x)= In (x+ 1)，在(e 1, + 8)上单调递增，x+ 1使问题获解.注意：恒成立问题与能成立问题的区别.与举一反三2 2 a11. (2017江南十校联考)已知函数f(x)= + (a+ 2)ln x ax 2.x(1)当0 v a v 2时，求函数f(x)的单调区间；1已知a= 1,函数 g(x)= x2 4bx 4.若对任意 X1 (0 , e,都存在 X2 0,2，使得f(xj g(x2)成立，求实数b的取值范围.解：(1)当 0v a v 2 时，f (x)=ax2a+ 2 x+ 2 2 ax 2 ax 2 a x2当 0vav 2时，f (x) 0? 2v xv