2021届高考数学统考二轮复习增分强化练十九空间位置关系的判断与证明理含解析

1、增分强化练(十九)考点一空间线、面位置关系的判断1在长方体abcda1b1c1d1中，abad，aa12，则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为()a.b.c. d.解析：画出图形，如图所示连接ad1，b1d1，则ad1bc1，所以b1ad1即为ab1与bc1所成的角或其补角在b1ad1中，ab1ad1，b1d12，所以由余弦定理得cosb1ad1，所以异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为.故选a.答案：a2(2019宝鸡模拟)异面直线a，b所成的角为，直线ac，则异面直线b与c所成角的范围为()a. b.c. d.解析：作b的平行线b，交a于o点(图略)，所有与a垂直的直线平移到o点组成

2、一个与直线a垂直的平面，o点是直线a与平面的交点，在直线b上取一点p，作垂线pp平面，交平面于p，pop是b与面的夹角为，在平面中，所有与op平行的直线与b的夹角都是，在平面所有与op垂直的线，由于pp垂直于平面，所以该线垂直于pp，则该线垂直于平面opp，所以该线垂直于b，故在平面所有与op垂直的线与b的夹角为，与op夹角大于0，小于的线，与b的夹角为锐角且大于，故选b.答案：b3在直三棱柱abca1b1c1中，cacb4，ab2，cc12，e，f分别为ac，cc1的中点，则直线ef与平面aa1b1b所成的角是()a30 b45c60 d90解析：连接ac1，则efac1，直线ef与平面aa

3、1b1b所成的角，就是ac1与平面aa1b1b所成的角；作c1da1b1于d，连接ad，因为直三棱柱abca1b1c1中，cacb4，所以底面是等腰三角形，则c1d平面aa1b1b，可知c1ad就是直线ef与平面aa1b1b所成的角，cacb4，ab2，cc12，可得c1d3，ad3，所以tanc1ad，所以c1ad30.故选a.答案：a考点二空间线面平行、垂直关系的证明1(2019晋城模拟)若a，b是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中正确的是()a若a，b，ab，则b若a，b，ab，则c若a，b，ab，则d若a，b，ab，则解析：a中若a，b，ab，平面，可能垂直也可能平行或斜交；b中若

4、a，b，ab，平面，可能平行也可能相交；c中若a，ab，b，又b，故，所以ab必有；d中若a，b，ab，平面，可能平行也可能相交故选c.答案：c2(2019蚌埠模拟)如图，在以p为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆o的直径长为2，点c在圆o所在平面内，且ac是圆o的切线，bc交圆o于点d，连接pd，od.(1)求证：pb平面pac；(2)若ac，求点o到平面pbd的距离解析：(1)证明：因为ab是圆o的直径，ac与圆o切于点a，所以acab.又在圆锥中，po垂直底面圆o，所以poac，而poabo，所以ac平面pab，从而acpb.在pab中，pa2pb2ab2，所以papb，又paaca所以pb

5、平面pac.(2)因为ab2，ac，acab，所以在直角abc中，abc.又odob1po，则obd是等腰三角形，所以bd，sobd11sin.又pbpd，所以spbd，设点o到平面pbd的距离为d，由vpobdvopbd，即sobdpospbdd，所以d.考点三空间中的翻折问题1(2019淮南模拟)正三角形abc的边长为a，将它沿平行于bc的线段pq折起(其中p在边ab上，q在ac边上)，使平面apq平面bpqc.d，e分别是pq，bc的中点(1)证明：pq平面ade；(2)若折叠后，a，b两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥apbcq的体积解析：(1)证明：在apq中，apaq，d是pq的

6、中点，所以adpq.又因为de是等腰梯形bpqc的对称轴，所以depq.而added，所以pq平面ade.(2)因为平面apq平面bpqc，adpq，所以ad平面pbcq，连结bd，则d2ad2bd2.设adx，deax(e为bc的中点)，于是bd2de2be2 2a2.因此d2x2bd2x2de2be2x22a222a2，当xa时，dmina.此时四棱锥apbcq的体积为s梯形pbcqadaaa3.2如图1，在菱形abcd中，ab2，dab60，m是ad的中点，以bm为折痕，将abm折起，使点a到达点a1的位置，且平面a1bm平面bcdm，如图2.(1)求证：a1mbd；(2)若k为a1c的中点，求四面体ma1bk的体积解析：(1)证明：在图1中，四边形abcd是菱形，dab60，m是ad的中点，adbm，故在图2中，bma1m，平面a1bm平面bcdm，平面a1bm平面bcdmbm，a1m平面bcdm，又bd平面bcdm，a1mbd