2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第三节第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式学案理含解析

1、第三节第三节简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换最新考纲考情分析核心素养1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，能导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).两角和、差及倍角公式的正用、逆用和变形用仍将是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为 5 分.1.数学运算；2.逻辑推理知识梳理1两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin()1sin_c

2、os_cos_sin_(2)cos()2cos_cos_sin_sin_(3)tan()3tan tan 1tan tan .2两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sin cos cos sin 4sin()(2)cos cos sin sin 5cos()(3)tan tan 1tan tan 6tan()3二倍角公式(1)sin 272sin_cos_(2)cos 282cos21912sin210cos2sin2(3)tan 2112tan1tan24常用公式的变化形式(1)asin bcos a2b2sin()，其中 cos 12aa2b2，sin 13ba2b2或 asin xbcos

3、 x a2b2cos(x)，其中 cos 14ba2b2，sin 15aa2b2(2)tan tan tan()(1tan tan )(3)1tan 1tan tan4.(4)1tan 1tan tan4.常用结论用 tan 表示 sin 2与 cos 2sin 22sin cos 2sin cos sin2cos22tan tan21；cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan2.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意角()(2)两角和与差的正切公式中的角，是任意角()(3)cos

4、80cos 20sin 80sin 20cos(8020)cos 6012.()(4)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(5)存在实数，使 tan 22tan .()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修 4p127t2改编)若 cos 45，是第三象限的角，则 sin4 等于()a210b210c7 210d7 210答案：c3(必修 4p146a4(2)改编)tan 20tan 40 3tan 20tan 40_答案： 3三、易错自纠4(2019 届唐山市高三摸底考试)co

5、s 105cos 15()a22b22c62d62解析：选 d解法一：cos 105cos 15cos(6045)cos(6045)2sin60sin 452322262，故选 d解法二： 由题意， 可知cos 105cos 15sin 15cos 15(sin 15cos 15) 2sin(4515) 2sin 6062，故选 d5已知 cos32x78，则 sinx3 的值为()a14b78c14d78解析： 选 c因为 cos 32xcos2x23 78， 所以 sin2x3 121cos2x2312178116，从而求得 sinx3 的值为14，故选 c6已知 cos 15，523，那

6、么 sin2()a105b105c155d155解析：选 d523，54232.sin21cos 21152155.故选 d第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点三角函数公式的直接应用|题组突破|1(2019 年全国卷)tan 255()a2 3b2 3c2 3d2 3解析： 选 d由正切函数的周期性可知， tan 255tan(18075)tan 75tan(3045)3311332 3，故选 d2已知 sin 35，2，tan()12，则 tan()的值为()a211b211c112d112解析：选 a因为 sin 35，2，所以 cos 1sin245，所以 tan sin cos

7、 34.因为 tan()12tan ，所以 tan 12，则 tan()tan tan 1tan tan 211.故选 a3已知 sin 35且为第二象限角，则 tan24 ()a195b519c3117d1731解析：选 d由题意得，cos 45，则 sin 22425，cos 22cos21725.tan 2247，tan24 tan 2tan41tan 2tan424711247 11731.故选 d4(2019 届太原模拟)若 cos6 33，则 cos3 cos ()a2 23b2 23c1d1解析：选 ccos3 cos 12cos 32sin cos 3cos6 1，故选 c名师

8、点津三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 .考点一三角函数公式的逆用与变形用【例 1】(1)(2019 届西安模拟)已知 sin 223，则 cos24 ()a16b16c12d23(2)在abc 中，若 tan atan btan atan b1，则 cos c_(3)sin 101 3tan 10_解析(1)cos24 1cos 2421sin 22，sin 223，cos24 123216.(2)由 tan atan btan atan b1，可得tan atan b1tan atan

9、 b1，即 tan(ab)1.又因为 ab(0，)，所以 ab34，则 c4，cos c22.(3)sin 101 3tan 10sin 10cos 10cos 10 3sin 102sin 10cos 10412cos 1032sin 10sin 204sin（3010）14.答案(1)a(2)22(3)14名师点津两角和、差及倍角公式的逆用和变形的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)和差角公式变形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，tan tan tan()(1tan tan )(3)倍角公式变形

10、：降幂公式提醒tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题|跟踪训练|1若cos 2sin424，则 cos sin 的值为()a22b14c14d22解析：选 c因为cos 2sin4cos2sin222（sin cos ） 2(sin cos )24，所以 cos sin 14.故选 c2(2018 年全国卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin()_解析：因为 sin cos 1，cos sin 0，所以 sin2cos22sin cos 1， cos2sin22co

11、s sin 0， 两式相加，得 sin2cos2sin2cos22(sin cos cossin )1，所以 sin()12.答案：12考点二角的变换【例 2】(1)已知 sin 235220，所以22，52 ，故 cos 2172522425.答案：2425考点三角恒等变换的创新交汇应用问题【例】(2019 届保定一模)2002 年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的边长为 2，大正方形的边长为 10，直角三角形中较小的锐角为，则 sin2 cos3 等于()a43 310b43 310c43 310d43 310解析设直角三角形中较小的直角边长为 a，则 a2(a2)2102，所以 a6，所以 sin 61035，cos 81045，所以 sin2 cos3 cos 12cos 32sin 12cos 32sin 1245323543 310.故选 a答案a名师点津利用题目中条件信息确定 sin ，cos ，再