北京信息科技大学概率与数理统计课件s2.42.6

1、2.2.理解离散型随机变量的概念及其分布列的性质理解离散型随机变量的概念及其分布列的性质; ; 会求离散随机变量的概率分布会求离散随机变量的概率分布. . 总总 结结1.1.理解随机变量的概念理解随机变量的概念. .3. 3. 离散型随机变量的几个重要分布离散型随机变量的几个重要分布. . 两点分布，二项分布，泊松分布两点分布，二项分布，泊松分布 xp xp xp xxp x x x x nin2121n概率统计研究对象:随机现象的统计规律 2.4- 2.4- 2.62.6一一. .连续随机变量连续随机变量二二. .分布函数分布函数三三. .连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度 2.4

2、 2.4 连续随机变量连续随机变量一一. .连续随机变量连续随机变量1.离散随机变量的局限性离散随机变量的局限性: :只能取有限个或可数无穷多个只能取有限个或可数无穷多个值值. .以上随机现象中变量的取值可以充满某个区间或区域，并以上随机现象中变量的取值可以充满某个区间或区域，并且且变量的取值是随机的变量的取值是随机的. . 如如: :电池寿命；电池寿命； 测量某地水温；测量某地水温； 某省高考体检时人的身高、体重；某省高考体检时人的身高、体重； 乘客到火车站的时刻乘客到火车站的时刻. .例例1:1:.,.,中的位置无关在而与成正比的长度中的概率与中的任一子区间所投的点落在上投点等可能地在 b

3、abcdl b dcb babab abcdablbp b即abcd0 x的概率求恰好投到某点0 x000ablxxp x即n注意注意: :在连续随机变量中在连续随机变量中, ,不可能事件的概率为不可能事件的概率为0,0,反之未必；反之未必； 因为连续随机变量在某一点是可能发生的事件因为连续随机变量在某一点是可能发生的事件, ,但它的概率但它的概率 却等于零却等于零. .,(),bccae 1abcbabacep 2.4 2.4 连续随机变量连续随机变量对于这类问题对于这类问题, ,我们更关心的是随机变量落在某一范围的我们更关心的是随机变量落在某一范围的可能性有多大可能性有多大? ?1.1.某

4、人打靶射击时弹着点距靶心小于某人打靶射击时弹着点距靶心小于2cm2cm的可能性有多大？的可能性有多大？2.2.某厂生产面粉某厂生产面粉10kg/10kg/袋，误差在袋，误差在0.05kg0.05kg范围内认为是范围内认为是 合格品合格品, ,问该厂的产品合格率是多少问该厂的产品合格率是多少? ? 2.4 2.4 连续随机变量连续随机变量 2.5 2.5 随机变量分布函数随机变量分布函数二二. .分布函数分布函数说明说明: : .,(,. 2的概率落在区间表示则标看成数轴上随机点的坐若将 x x xfx .1, 0,. 1 xxpxf 值域为的定义域为分布函数 1221. 3xfxfxxxp 0

5、 x .,:函数的概率分布函数或分布称为随机变量函数是任意实数是随机变量设定义x xxpxf xx52p52p 1221:xfxf xxxp证明 121221xfxf xxpxxp xxxp :,2211的关系如下与事件 xx xxxxx2112,xxxpxxpxxp 得由概率加法定理212121:xxxp xxxpxxxp 下结论对于连续随机变量有以211xxxxx2211xxxxxxx 且概率分布函数的性质概率分布函数的性质: : ;,. 12121xfxf xx 则若单调性 12211221, 0,xfxf xxxpxfxf xx即 xff xlim. 2 1lim0lim, 0,xff

6、 xff xxx x xx同理从而概率趋于趋于不可能事件事件则即沿数轴无限向左移动将几何上0 x 2.5 2.5 随机变量分布函数随机变量分布函数52p0limxxp x 1limxff x ;0,1. 3 xfxf xfxxpxxpxfx xxii即右连续则为离散随机变量若o2x1xyx)(xf .10,2. 3曲线之间的单调上升的连续与且图形为位于直线为连续函数则为连续随机变量若yy xfx 以上三条是判断以上三条是判断f(x)f(x)是否为某随机变量分布函数的依据是否为某随机变量分布函数的依据. . 2.5 2.5 随机变量分布函数随机变量分布函数解解: : 01xxpxf xx 321

7、0 xxpxf x21 xxpxf x32 xxpxf x 3xixxp321 2 . 03 . 05 . 0 例例1:1:.函数求离散随机变量的分布布列，如下表已知离散随机变量的分5 . 01 xp8 . 021xpxp1321xpxpxp 2.5 2.5 随机变量分布函数随机变量分布函数 x x x x xf31328 . 0215 . 010分布函数为分布函数为: :注意注意: :对于离散随机变量对于离散随机变量, ,可用分布表和分布函数来描述可用分布表和分布函数来描述; ;前者更常用前者更常用. . 2.5 2.5 随机变量分布函数随机变量分布函数xixxp321 2 . 03 . 0

8、5 . 0 分布函数图像为分布函数图像为: :0.50.8 1例例2:2: .,0000的值求常数为常数其中的分布函数为设随机变量ax x eaxf xx解解: : aeaxff xfxxxlimlim1,有依据分布函数的性质函数为连续随机变量的分布 0001x x exfx于是指数分布指数分布 有为连续函数所以为随机变量的分布函数,xfxf( (法二法二) ) 001limlim00faeaxfxxx 2.5 2.5 随机变量分布函数随机变量分布函数例例3:3:.,的分布函数求随机变量上投点等可能在xba解解: : bx bxa abaxax xf10于是 0 xxpxf ax分布函数图分布

9、函数图 ox)(xfbab a xxpxf bxa 1xxpxf bxabaxxxapaxp 2.5 2.5 随机变量分布函数随机变量分布函数 2.6 2.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度三三. .连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度1.1.定义：定义：.,上的平均概率密度在区间称为随机变量则是区间长度是任意实数其中考虑xxxxxxxxxp xxxxxxp .limlim, 000处的概率密度在点称为随机变量则上式极限存在若xxxxfxxf xxxxxp xxx xf56p2.2.概率密度与分布函数的关系：概率密度与分布函数的关系： .,limlim100的一个原函数是

10、的导函数是即 xfxf xfxf xfxxfxxf xxxxxp xf xx .,(2上的广义积分在是即xxfxf fxfdx xfxxpxf x .一个已知其中一个可以求另与 xf xf 2.6 2.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度56p3.3.概率密度的性质：概率密度的性质： 0lim:0 xxxxxp xfx解释 1.:12 xxfy ffdx xf 为轴之间的平面图形面积与表明几何意义 .:,), 0,01轴的上方位于几何意义称为的分布曲线把值域定义域xxfyxfy xf 2.6 2.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度57p3.3.概率密度的性质：概率密度

11、的性质： .,:32121122121上的定积分在上的概率等于落在几何意义xxxfxx x xfxfdx xfxxxp x x .21xxxp xf xf均可求出或利用 2.6 2.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度57p例例4:4: .,0000的值求常数为常数其中的概率密度为设随机变量cx x ecxf xx解解: : cecec dxec dx xfdx xfdx xfbbbxb x )11(lim| )1(lim10000由概率密度的性质此密度函数为此密度函数为指数分布指数分布函数的概率密度函数的概率密度. .c 000 x x exfx 2.6 2.6 连续随机变量的概

12、率密度连续随机变量的概率密度例例5:5: .021210 xf x xx xxfx求分布函数其它的概率密度为设随机变量解解: : 00dx xfxf xx 时当 dx xfxf xx 时当10 dx xfxf x x 时当21 dt xfxf x dx xfdx xfx 00202021| )21(xxdx x xx dx xfdx xfdx xfx 11001221| )212(| )21()2(212102110 xxxxxdx xdx xxx 12121| )212(| )21(0)2(0221210222110221100 xxxdx dx xdx x dx xfdx xfdx xfd

13、x xfdx xfxfxf xx x x 时当 x x xx x xx xf2121122110210022所以 dt xfxf x 2.6 2.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度例例6:6: .,10,的密度函数求随机变量分布函数为上投点等可能在x bx bxa abaxax xf ba解解: : bx bxa abax xfxf 010密度函数为ox)(xfba bax abxfbxaxxf或补充定义为处不可导在1,均匀分布均匀分布 “ “均匀均匀”, ,即等可能即等可能, ,说明落在任一子区间的概率与位置说明落在任一子区间的概率与位置 无关无关, ,只与长度有关只与长度有关

14、. . abab 1oxy离散随机变量的分布列与分布函数均能完整的反应其统计离散随机变量的分布列与分布函数均能完整的反应其统计规律，但前者更常用规律，但前者更常用. .题离散随机变量的相关问 . 4. 3;2;1,. 2;. 1布函数求分布列利用离散随机变量的分变量的分布函数；利用分布列求离散随机求利用分布列列求离散随机变量的分布bxap xxp k连续随机变量的连续随机变量的概率密度与分布概率密度与分布函数均能完整的函数均能完整的反应其统计规律，反应其统计规律，两个都经常用到两个都经常用到. .题连续随机变量的相关问 111221221122111,. 4,. 3;,. 2;,. 11221

15、xfxxpxxp xfxxp xfxfxxxp xfdx xfxxp dx xfxxp dx xfxxxp xf dx xfxf xf xf xfxf xf xf x x x x x求已知分布函数求已知概率密度求分布函数已知概率密度求概率密度已知分布函数 . 5的性质求某些常数的值或概率密度利用分布函数xf xf 总总 结结1.理解分布函数的概念,并知道其性质。2.理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质。3.会利用分布列、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率。.21.19.18.17.1583 p 2.6 2.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度例例7:7:解解: : .3;21,212;1:10112的分布函数随机变量内的概率落在区间随机变量系数求当当的概率密度为随机变量 x x ax x xaxf x 1111211111022a adxxadxxadxxf 3111211121212210221212 dxxdxx xp 2.6 2.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度例例7:7:解解: : .3;21,212;1:10112的分布函数随机变量内的概率落在区间随机变量系数求当当的概率密度为随机变量 x x ax x xaxf x 013xxpxf x 时当 11211111 x dxxdx xfxf x时当 xdxxd