线性代数(复旦修订版)刘金旺2矩阵

1、第二章第二章 矩阵矩阵第一节矩阵的定义第一节矩阵的定义第二节矩阵的运算第二节矩阵的运算第三节矩阵的逆第三节矩阵的逆第四节矩阵的分块第四节矩阵的分块第五节矩阵的初等变换与初等矩第五节矩阵的初等变换与初等矩阵阵第六节初等变换求逆矩阵第六节初等变换求逆矩阵第七节矩阵的秩第七节矩阵的秩1 矩阵矩阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换其中其中 表示有表示有航班航班始发地始发地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之间开辟了若干航线，四座城市城市之间开辟了若

2、干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示城市间的航班图情况常用表格来表示:一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的为了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一个数表：就得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况. .1111111000000000其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例 某工厂生产四种货

3、物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 1112212231324142bbbbbbbb线 性 方 程 组的 系 数 可 以 排 成 行 列 的 数 表： mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212

4、111.二、矩阵的定义二、矩阵的定义 这 种 数 表 即 称 为 矩 阵。 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 定义定义1 1：由由 mn 个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表(1,2,;1,2, )ijaim jn 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵，简称，简称 mn 矩阵矩阵 记作记作 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 简记为简记为()()m nijm nijAAaa元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩

5、阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵. .这这 mn 个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素，简称为元，简称为元. .n行数不等于列数行数不等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩阵矩阵行列式行列式111212122211nnmmmnaaaaaaaaa121212111212122212()12( 1)nnnnnnnnnt p ppppnpp ppaaaaaaaaaaaa det()ija()ijm na 1. 行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵，称为的矩阵，称为 n 阶方阵阶方

6、阵可记作可记作 . .2. 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量) . .只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量) . .3. 元素全是零的矩阵称为元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作 O . .12(,)nAa aa nA12naaBa 例如：例如： 2 20000O 1 40000O 三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵4. 形如形如 的方阵称为的方阵称为对角阵对角阵特别的，方阵特别的，方阵 称为称为单位阵单位阵12000000n 12(,)nAdiag 记作记作100010001 记作记作 nE特点特点: :从左上角到右下角的

7、直线从左上角到右下角的直线( (主对角线主对角线) )上的元素都是上的元素都是1,1,其其他元素都是他元素都是0 0。同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵. .例如例如1214356843739与与为同型矩阵为同型矩阵. .2. 两个矩阵两个矩阵 与与 为同型矩阵，并且对应元为同型矩阵，并且对应元素相等，即素相等，即则称矩阵则称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A = B . .()ijAa (1,2,;1,2, )ijijabim jn()ijBb 注意：不同型的零矩阵是不相等的

8、注意：不同型的零矩阵是不相等的. . 00000000 0000 .00000000例如例如 表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常数. .它的系数构成一矩阵它的系数构成一矩阵( (a aijij) ) m m n n( (称为系数矩称为系数矩阵）是确定的。阵）是确定的。四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换 n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12,nxxx12,myyy12,nxx

9、x11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .1122121200,0110001,nnnnyxxxyxxxyxxx 例例 线性变换线性变换 1122,nnyxyxyx 称为称为恒等变换恒等变换. .1122,nnyxyxyx 对应对应 100010001 单位阵单位阵 En这个方阵的这个方阵的特点特点:不在对角线上的不在对角线上的元素全为元素全为0,这种这种方阵称为方

10、阵称为对角阵对角阵,当当 1 = 2 = .= n= 时时,A称称为为数量矩阵数量矩阵。1000对应对应 11,0.xxy yx0( , )P x y111(,)P xy投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 cossinsincos 对应对应 11cossin,sincos.xxyyxy 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 111(,)P xy( , )P x y yx0例例 线性变换线性变换 .,222111nnnxyxyxy 对应对应n阶矩阵阶矩阵 nA 00000021这个方阵的这个方阵的特点特点:不在对角线上的元素全为不在对角

11、线上的元素全为0,这种方阵这种方阵称为称为对角阵对角阵,当当 1 = 2 = .= n= 时时,A称为称为数量矩阵数量矩阵。下一页下一页上一页上一页返回返回2 矩阵的运算矩阵的运算例例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：发送货物的数量可用数表表示：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年

12、工厂向第工厂向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacac

13、acacacacac解：解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量工厂在一年内向各商店发送货物的数量 一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义定义2 设有两个设有两个m n矩阵矩阵A=(aij), B=(bij),那么那么A与与B的的和记为和记为A+B,规定为规定为mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111注意注意:只有当两个矩阵同型时只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。才能进行加法运算。加法满足运算规律加法满足运算规律: (1) A+B= B + A; (交换律交换律) (2) (A + B)+C= A +(B +C) . (结合

14、律结合律)下一页下一页上一页上一页返回返回 矩 阵 作 为 数 表 本 身 无 运 算 含义， 为 使 矩 阵 有 广 泛 的 应 用。应 赋 予它 某 些 运 算。121221113212233132233232ababaaaaaaba 111311132123212331331212222233233213aaaaaaaaaabababaaa 知识点比较知识点比较111311131113212321232123313331312121212222222223232321333233 aaaaaababababababaaaaaaaaaaaaa 11131113111321232123212

15、3313331331212121222222222323232323133222222aabababaaaaaaaaaaaaaaaaaababab 交交换换律律结结合合律律其其他他矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律, ,a b cRabba()()abcabcABBA()()ABCABC()0AA , ()ABAB 设设 A、B、C 是同型矩阵是同型矩阵设矩阵设矩阵 A = (aij) ，记记A = (aij)，称为矩阵，称为矩阵 A 的的负矩阵负矩阵显然显然设工厂向某家商店发送四种货物各设工厂向某家商店发送四种货物各 件，试求：工厂向该商件，试求：工厂向该商店发送第店发送第 j 种货物的总

16、值及总重量种货物的总值及总重量例（续）例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbb解：解：工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的

17、单件重量单件重量 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义定义3 数数 与矩阵与矩阵A的乘积记做的乘积记做 A,规定为规定为 mnmmnnaaaaaaaaaA 212222111211数乘矩阵满足数乘矩阵满足运算规律运算规律:)()(1(AA AAA )(2(BABA )()3(下一页下一页上一页上一页返回返回设矩阵设矩阵A=(aij),记记-A =(-1)A=(-1aij)= (-aij), -A称为称为A的的负矩阵负矩阵,显然有显然有 A+(-A)=O.其中其中O为各元素均为为各元素均为0的同型矩阵的同型矩阵,由此规定由此规定 A-B=A+(-B).下一页下一页上一页上一页返回返回结结合合律律

18、分分配配律律备备注注数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律, ,a b cR()()ab ca bc ()abcacbc()()AA ()AAA()cabcacb()ABAB设设 A、B是同型矩阵，是同型矩阵， , , 是数是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算. .111213212223313233aaaaaaaaa 111213212223313233aaaaaaaaa 111213212223313233aaaaaaaaa 知识点比较知识点比较111213111213212223212223313233313233aaaaaaaa

19、aaaaaaaaaa 其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例（续）例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 1112212231324142bbbbbbbb试求：

20、工厂向三家商店所发货物的总值及总重量试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量 解：解：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa1112212231324142bbbbbbbb以以 ci1， ci2 分别表示工厂向第分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及家商店所发货物的总值及总重量，其中总重量，其中 i = 1, 2, 3于是于是其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 1

21、1c 1111ab 1221ab 1331ab 1441ab 1141kkka b 11 1212221332114422ca ba ba ba b1241kkka b 41 12233441ijijijijkkkijijca ba ba ba ba b (1,2,3;1,2)ij1112111213141112212221222324212231323132333431324142bbaaaaccbbaaaaccbbaaaaccbb 可用矩阵表示为可用矩阵表示为一般地，一般地，三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘定义定义4 设设A=(aij) m s,B=(bij) s n那么规定矩阵那么规

22、定矩阵A与与B的的乘积是乘积是C=(cij) m n,其中其中skkjiksjisjijiijbabababac12211并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB。行矩阵与列行矩阵与列矩阵相乘矩阵相乘 )(,22112121sjisjijisjjjisiibabababbbaaa 就是一个数就是一个数 ，这表明，这表明 就是就是A的第的第 i行与行与B的第的第j列对应元素乘积之和。列对应元素乘积之和。注意：注意：只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵（右矩阵）只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。的行数相等时，两个矩阵才能相乘。下一页下一页返回返回上一

23、页上一页ijcijc例例 cbaA000 000111cbaB求：求：AB和和BA。解：解： 000111ccbbaaAB000000000BA注：表明矩阵乘法不满足交换律。注：表明矩阵乘法不满足交换律。 AB0推不出推不出A0或或B0 ACBC且且C不为不为0,推不出推不出A=B (不满足消去律不满足消去律)下一页下一页上一页上一页返回返回11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 知识点比较知识点比较11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 有意义有意义. .没有意义没有意义. .只有当第一个矩阵的列数只有当第一个矩

24、阵的列数等于第二个矩阵的行数时，等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘. . 312 321 10 3212 31 369246123 矩阵的乘法满足运算律：矩阵的乘法满足运算律：)()()1(BCACAB 结合律结合律CABAACBACABCBA )( )()2(右分配律右分配律左分配律左分配律BAAB)()()3( 对于单位矩阵，有对于单位矩阵，有nmnnmnmnmmAEAAAE ,一般称一般称nnAAAA 为方阵的为方阵的n次幂。次幂。规定；规定；EA 0下一页下一页上一页上一页返回返回例例kn21 1nkkk21k101 2证明,.3 , 2 101 kk解解 用数学

25、归纳法证明。用数学归纳法证明。当当n=2时时2101 101101 1021 下一页下一页上一页上一页返回返回101101101 1nn10110) 1(1 n101 n假设当假设当kn1时成立，现证明时成立，现证明kn时也成立。时也成立。下一页下一页上一页上一页返回返回四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义定义5 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列的行换成同序数的列,得到的新矩得到的新矩阵称为阵称为A的的转置矩阵转置矩阵,记作记作A 。 cbaA000 cbaA000满足运算律：满足运算律：AA )(1(BABA )(2(AA )(3(nnAAABAB)()( ,)(4( 下一页下一页上一页上一页返

26、回返回nnijnmijnsijsmijdDABcCABbBaA )(,)(,)(,)(记记设设有有 skkijkijbac1 skkijkjkskkijsjjsiiiijbaabaaabbbd112121),(所以所以), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij ABABDC)(,或即下一页下一页上一页上一页返回返回定义：定义：设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 A 称为称为对称阵对称阵. . ,1,2,ijjiaai jn TAA 1261680106A 如果满足如果满足 A = AT，那么，那么 A 称为称为反对称阵反对称阵. . 对称阵对称阵

27、 061607170A 反对称阵反对称阵 对称矩阵的特点是对称矩阵的特点是: 它的元素以主对角线为对称轴对应相等它的元素以主对角线为对称轴对应相等 。反对称矩阵的特点是反对称矩阵的特点是: 以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符符号相反号相反,且主对角线上各元素均为且主对角线上各元素均为0 。下一页下一页上一页上一页返回返回五、方阵的行列式五、方阵的行列式 定义定义6 由由n阶方阵阶方阵A的元素构成的行列式的元素构成的行列式(各元素各元素位置不变位置不变),称为称为方阵方阵A的行列式的行列式,记作记作|A|或或detA 。设设A,B为为n阶方阵阶方阵,

28、 为实数为实数,则有下列等式成立则有下列等式成立 AAn )2(1) AA BAAB )3(个方阵的情形：推广nnnAAAAAA.2121下一页下一页上一页上一页返回返回EAAEAAA n ，求且，阶方阵，满足是设例1EA 由于解)(AEAAAA)(AEAEAEA 00EAEA 2 即所以下一页下一页上一页上一页返回返回例 10 设 矩 阵求 2231A4352BAB解 法 1 由 于 所 以 解 法 222171143522231AB56221711AB56)7)(8(43522231AB3 逆矩阵逆矩阵定义定义7 设设A为为n阶方阵阶方阵, 若若 A = =0,则称则称A为为奇异矩阵奇异矩

29、阵;否则否则, A为为非奇异矩阵非奇异矩阵。定义定义8 对于对于n阶方阵阶方阵A,如果有一个如果有一个n阶方阵阶方阵B,满足满足 AB=BA=E,则称则称方阵方阵A可逆可逆,且把方阵且把方阵B称为称为A的的 逆矩阵逆矩阵, ,记作记作B=A-1 。如果如果A是可逆的是可逆的,则则A的逆矩阵唯一的逆矩阵唯一 。设设B,C都是都是A的逆矩阵的逆矩阵,则一定有则一定有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.下一页下一页上一页上一页返回返回设设A,B均为同阶可逆方阵均为同阶可逆方阵,数数 0, 下列运算法成立：下列运算法成立： AAA 111)(,)1(且且亦可逆亦可逆111)(,)2(AAA且

30、亦可逆11111111.,.2 , 1)(,)3(AAAAAAAAAnAABABABnn1n21n21i i ）且（也可逆，可逆，则）（若一般地有：且亦可逆nnAAAABA)()(,)()(,112112 一般有一般有则则若若)()(,)4(11 AAA且且亦可逆亦可逆下一页下一页上一页上一页返回返回若若A为方阵为方阵,行列式的各元素的代数余子式行列式的各元素的代数余子式Aij亦可构亦可构成如下方阵成如下方阵 称为称为A的伴随矩阵的伴随矩阵。 EAAAAA *下一页下一页上一页上一页返回返回元素元素 的代数的代数余子式余子式 位于位于第第 j 行第行第 i 列列ijaijA1112121222

31、12nnnnnnaaaaaaAaaa 1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA 定理定理1 设设A是是n阶方阵阶方阵, A是非奇异矩阵的充分必要条件为是非奇异矩阵的充分必要条件为A是是可逆的可逆的. 证证 先证必要性先证必要性。设设A为非奇异矩阵为非奇异矩阵, 设设A的伴随矩阵为的伴随矩阵为A*,则有则有 EAAAAA *0 A因为因为EAAAAAA )1()1(*有有*11AAA 说明说明A是可逆的。是可逆的。证证 充分性。充分性。由于由于A是可逆的是可逆的,即有即有A -1,使使A -1 A = E （若（若A A可逆可逆，则其逆阵为，则其逆阵为)1*1AAA下一页下一页

32、上一页上一页返回返回11 EAA故故11AA0 A说明说明A是非奇异矩阵。是非奇异矩阵。例例 求方阵求方阵 631321222A的逆矩阵。的逆矩阵。解解 因为因为 02 A所以所以A-1存在存在,先求先求A的伴随矩阵的伴随矩阵A* A11=3, A12=-3, A13=1,A21=-6, A22=10, A23=-4, A31=2, A32=-4, A33=2 2414103263*A 2414103263211*1AAA下一页下一页上一页上一页返回返回例 设 矩 阵求 矩 阵 的 逆 矩 阵。 解： 先 计 算 和 由 于 ，所 以 矩 阵 可 逆。343122321AAA*A02 AA23

33、412) 1(1111A33312) 1(2112A24322) 1(3113A621A622A223A431A532A233A所 以 222563462*A111253232311*1AAA.,1AdcbadcbaA若可逆，求满足什么条件可逆？问设例 bcaddcbaA 解可逆。时，Abcad0abcdA* abcdbcadAAA11*1 说明：可作为结论记住。说明：可作为结论记住。下一页下一页上一页上一页返回返回推论：推论：若若A，B均为均为n阶方阵，且阶方阵，且ABE，则，则BAE。证明：证明：由已知由已知01 EABABBA 又0, 0BA 所以，EBABAEBABAAAAABAEAB

34、)(11 ）（说明：要验证说明：要验证B是是A的逆矩阵，只需证的逆矩阵，只需证ABE，或，或BAE即可。即可。下一页下一页上一页上一页返回返回例例 设设n阶矩阵阶矩阵A和和B满足满足A+BAB 1)证明证明A-E为可逆矩阵。为可逆矩阵。 2)证明证明AB=BA。解：解： 1) 因为因为 ABAB， 所以所以 ABABEE（AE）（）（BE）E故故 AE与与BE互逆。互逆。2)（AE）( BE)= (BE）( AE) 则则 ABBAE BAABE故故 ABBA下一页下一页上一页上一页返回返回对于元线性方程组对于元线性方程组111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa若设11 1122

35、11121 1222221 122 nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb12mbbbb12nxxxx下一页下一页上一页上一页返回返回则元线性方程组可表示为则元线性方程组可表示为Ax=b若若A可逆，上式两边同时乘以可逆，上式两边同时乘以A-1,得方程组的解为：得方程组的解为：x=A-1b这与克莱姆法则求得的解是相同的。这与克莱姆法则求得的解是相同的。下一页下一页上一页上一页返回返回例：例：设线性变换的系数矩阵是一个设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵阶方阵 112233, ,xyXxYyxy221315323A 记记则上述线性变换可记作则上述线性变换

36、可记作 Y = AX 求变量求变量 y1, y2, y3 到变量到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵的线性变换相当于求方阵 A 的逆矩阵的逆矩阵. 已知已知 ，于是，于是 ，即，即1749637324A 112321233123749,637,324.xyyyxyyyxyyy 1XA Y 4 矩阵分块法n由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢的情况，如何解决这个问题呢?n这时我们可以借助这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传把文件分块，依次上传. .n家具的拆卸与装配家具的拆卸与装配

37、问题一：问题一：什么是矩阵分块法？什么是矩阵分块法？问题二：问题二：为什么提出矩阵分块法？为什么提出矩阵分块法？问题一：问题一：什么是矩阵分块法？什么是矩阵分块法？定义：定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为称为对矩阵进行分块对矩阵进行分块；每一个小块称为每一个小块称为矩阵的子块矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵. .111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12211122AAAA 这是这是2阶阶方阵吗？方阵吗？列举三

38、种分块形式：列举三种分块形式： 343332312423222114131211)1(aaaaaaaaaaaa 22211211AAAAA下一页下一页上一页上一页返回返回 343332312423222114131211)2(aaaaaaaaaaaa 343332312423222114131211)3(aaaaaaaaaaaa思考题思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？伴随矩阵是分块矩阵吗？答：答：不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵是矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 问题二：问题二：为什么提出矩阵分块法？为什么

39、提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了体现了化整为零化整为零的思想的思想. .111213141112131421222324212223243132333431323334, aaaabbbbAaaaaBbbbbaaaabbbb111112121313141421212222232324243131323233333434ababababABabababababababab11A12A21A22A11B12B21B22B1111AB 121

40、2AB 2121AB 2222AB 分块矩阵的加法分块矩阵的加法若矩阵若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即是同型矩阵，且采用相同的分块法，即11111111, rrssrssrAABBABAABB则有则有11111111rrsssrsrABABABABAB形式上看成形式上看成是普通矩阵是普通矩阵的加法！的加法！111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 11A12A21A22A分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘11A 12A 21A 22A 若若 是数，且是数，且 1111rssrA

41、AAAA 则有则有1111rssrAAAAA 形式上看成形式上看成是普通的数是普通的数乘运算！乘运算！分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法一般地，设一般地，设 A为为ml 矩阵，矩阵，B为为l n矩阵矩阵 ，把，把 A、B 分块如下：分块如下：11111211112121222221222122122121 , , trtrssstttttrtrsAAABBBAAABnnnmmmBBABAAAlllllBlBB 1112121222112, (1, ; 1, )rtrijikkjksssrCCCCCCCA BCABis jrCCC 121212strlmmmmnnnnlll ,021114011021

42、0101,1011012100100001 BA例例求求AB.解解 A,B分块成分块成 EAEA101011012100100001 2221110211140110210101BBEBB下一页下一页上一页上一页返回返回 221211111122211110BABBAEBBBEBEAEAB 11422101204311012101112121111BBA 133302141121221BA.1311334210210101 AB下一页下一页上一页上一页返回返回(4)设设 srssrrAAAAAAAAAA212222111211则则 srrrssAAAAAAAAAA212221212111(5)

43、设方阵设方阵A的的 分块矩阵为分块矩阵为 mAAAA0021除主对角线上的子块不为零子块外除主对角线上的子块不为零子块外,其余子块都为零其余子块都为零矩阵矩阵,且且Ai(i=1,2,m)为方阵为方阵,则则A称为称为分块对角矩阵分块对角矩阵(或或准对角矩阵准对角矩阵). i) i) 准对角矩阵的行列式为准对角矩阵的行列式为 mAAAA21det 下一页下一页上一页上一页返回返回ii) ii) 若有与若有与A同阶的准对角矩阵同阶的准对角矩阵 mBBBB0021其中其中Ai与与Bi (i=1,2,m)亦为同阶矩阵亦为同阶矩阵,则有则有 mmBABABAAB002211iii) iii) 若若A可逆可

44、逆,则有则有 11211100mAAAA下一页下一页上一页上一页返回返回均可逆，则若子矩阵i AAAAAivn21 111111AAAAnn下一页下一页上一页上一页返回返回,120130005 A求求A-1 .例例 设设解解 3211,1213;51),5(12211AAAA 2100120130005AAA.32011000511 A下一页下一页上一页上一页返回返回解解例例 设设.0.00.000.0.000.00121nnaaaaA.0.00.000.0.000.00121nnaaaaA0021AA下一页下一页上一页上一页返回返回12111naaaA112naA0012111 AAA00.

45、00.001112111nnaaaa下一页下一页上一页上一页返回返回5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义定义9 9 对矩阵施行以下对矩阵施行以下3种变换称为种变换称为矩阵的初等行矩阵的初等行(列列)变换变换: (1) 交换矩阵的第交换矩阵的第i行和第行和第j行的位置记为行的位置记为r(i,j). (c(i,j). )(2) 以一个非零的数以一个非零的数k乘以矩阵的第乘以矩阵的第i行行(列列)记为记为r(i(k) (c(i(k)(3)把矩阵的第把矩阵的第i行行(列列)所有元素的所有元素的k倍加到第倍加到第j

46、行行(列列)对对应的元素应的元素,记为记为r(j+i(k) (c(j+i(k)返回返回上一页上一页下一页下一页定理定理10 如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等行变换变为经过有限次初等行变换变为B,则称则称矩阵矩阵A与与B等价，记为等价，记为返回返回上一页上一页下一页下一页AB矩阵的等价关系具有下列性质：矩阵的等价关系具有下列性质： (1)反身性反身性：A与与A等价。等价。 (2)对称性对称性：如果：如果A与与B等价，那么等价，那么B与与A等价。等价。 (3)传递性传递性：如果：如果A与与B等价，等价， B与与C等价，等价， 那么那么A与与C等价。等价。 510104011030001300000

47、B 411214011100001300000B 行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.12rr 23rr 510104011030001300000B 行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.10000010000010000000F 标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.34cc412ccc5123433cccc行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵rm nOEFOO 标准形矩阵由

48、m、n、r三个参数完全确定，其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系三者之间的包含关系 任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换 有限次初等列变换 有限次初等变换 结论结论有限次初等行变换 定理定理2 任何一个矩阵任何一个矩阵A总可以经过有限次初等行变总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯矩阵，并进一步化为行最简形矩阵。换化为行阶梯矩阵，并进一步化为行最简形矩阵。定理定理3 任何一个矩阵都有等价标准形，矩阵任何一个矩阵都有等价标准形，矩阵A与与B等价，当且仅当它们有相同的等价标准形。等价，当且仅当它们有相同的等价标

49、准形。定义定义11 由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。称为初等矩阵。初等矩阵都是方阵，互换初等矩阵都是方阵，互换E的第的第i行与第行与第j行（或者互行（或者互换换E的第的第i列与第列与第j列）的位置，得列）的位置，得 第（第（i）行）行1101111011第（第（j）行）行E (i ,j)用常数用常数k乘乘E的第的第i行行（或（或i列），得列），得行；行；第第i1111)(kkiE 把把E的第的第j行的行的k倍加倍加到第到第i行（或第行（或第i列的列的k倍加到第倍加到第j列）得列）得 行行第第行行第第ji1111)(kkjiE 000000

50、0000000000000011111000000000000000000001111150000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 35rr001000000135cc0010000001(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列）， 记作 E5(3, 5)记作 Em( i, j )000000000000000001111000k000000000000000001111000k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 3rk 3ck 00001(2)以常数

51、 k0 乘单位阵第 i 行（列）， 记作 E5(3(5) 记作 Em(i(k) 000000000000000001111100k000000000000000000011111k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 35rrk35cck00001(3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行,记作 E5(35(k) 记作 Em(ij(k) 以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列 53cck000000000000000000011111k?两种理解！两种理解！结论结论( , )mm nEi j A 把矩阵A的第 i

52、行与第 j 行对调，即 .ijrr( , )nnmAEi j 把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 .ijcc( ( )mm nEi kA 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 .irk ( ( )nnmAEi k 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 .ick ( ( )mnmEij kA 把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .ijrkr ( ( )nnmAEij k 把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .jickc 这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有 E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j

53、(k)-1=E(i+j(-k) detE(i,j)-1detE(i(k)=idetE(i+j(k)=1定理定理4 对一个对一个mn矩阵矩阵A作一初等行变换作一初等行变换,相当于用相当于用相应的相应的m阶初等矩阵左乘阶初等矩阵左乘A；对对A实施一次初等列变换，实施一次初等列变换，相当于用相应的相当于用相应的n阶初等矩阵右乘阶初等矩阵右乘A。 推论推论 矩阵矩阵A与与B等价的充分必要条件是有初等方阵等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，Ps，Q1，Qt使使 AP1P2PsBQ1Qt 6 初等变换求逆矩阵初等变换求逆矩阵 定理定理5 设设A是是n阶方阵，则下面的命题是等价的：阶方阵，则下面的命题

54、是等价的：(2) AE，E E是是n n阶阶单单位位矩矩阵阵；(1) A是是可可逆逆的的；12(3),s存存在在n n阶阶初初等等矩矩阵阵P ,P ,PP ,P ,P 使使12;sAP PP (4) A可可经经过过一一系系列列初初等等行行（列列）变变换换化化为为E E初等变换的应用初等变换的应用，有，有时，由时，由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即

55、对对 1 AE. ,343122321 1 AA求求设设 解例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即初等行变

56、换例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即可得即可得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵

57、如果要求如果要求 CACAY,CA 1 CAE列变换),)( ,(),1TTTTCAECA （行变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得7 矩阵的秩矩阵的秩定义定义12 在一个在一个sn矩阵矩阵A中任意选定中任意选定k k行和行和k k列列, ,位位于这些选定的行和列的交叉位置的于这些选定的行和列的交叉位置的k k2 2 个元素按原来个元素按原来的次序所组成的的次序所组成的k k阶行列式，称为阶行列式，称为A A的一个的一个k k阶子式。阶子式。定义定义13 设设A为为sn矩阵，如果至少存在矩阵，如果至少存在A的一个的一个r阶阶子式不为零，而子式不为零，而A的

58、所有的所有r+1阶子式（如果存在的话）阶子式（如果存在的话）都为零，则称数都为零，则称数r为矩阵为矩阵A的秩，记为的秩，记为R(A).并规定零并规定零矩阵的秩等于矩阵的秩等于0.显然，显然，mn 矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式共有阶子式共有 个个kkmnC C概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素a12相对应的余子式2123123133aaMaa 相应的代数余子式矩阵 A 的一个 2 阶子块12132223aaaa矩阵 A 的一个 2 阶子式12132223aaaa21231 212123133( 1)aaAMaa 111213212223313233aaaaaaaaa1

59、11213142122232431323334aaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩阵 A 的一个 3 阶子式111213212223313233aaaaaaaaa矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那

60、么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)l根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表阶子式来表示示l如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零阶子式也都等于零 l事实上，所有高于事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都阶的子式（如果存在的话）也都等于零等于零 因此矩