信号变换域分析目

1、8-1 引 言一、 变换域分析的目的变换域分析的目的，在于将原来的求解问题简化。对于连续时间系统，通过L.T.，可以将原来求解微分方程的问题转变为求解代数方程的问题；对于离散时间系统，通过Z变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题。二、 Z变换的发展史 十八世纪，DeMoivre提出生成函数，并应用于概率论； 十九世纪Laplace、二十世纪Seal对其进行了进一步深入研究； 二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，其用途甚至超过

2、了L.T.三、 离散时间序列的频域分析方法离散时间系统和离散时间序列也可以通过正交分解的方法，在频域进行分析。离散系统也有频率响应（对各种频率的离散正弦信号的响应）。傅利叶变换的离散形式离散傅利叶变换（DFT）在离散时间系统分析中同样占用很重要的地位，而DFT的快速算法FFT的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用。除了DFT以外，其信号分析方法，如沃尔什变换等，在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。8-2 Z变换及其性质一、 Z变换的定义Z变换的定义可以从纯数学的角度进行，也可以通过信号分解的角度提出。后者更加容易理解。本课程中，通过连续时间系统的F.T.，导出Z.T.。离散时间

3、信号f(k)可以看成是连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列：对其进行F.T.：根据Dirichlet条件，只有在信号满足绝对可积条件这里可以变成绝对可和条件：时，FT才存在。如果不满足，可以利用LT中的方法，在信号上首先乘以一个衰减因子，然后再求FT。这样一来上式就可以变成为：为了简化，假设T=1，则：设，带入：上式称为序列f(k)的Z变换。F(z)由被称为序列f(k)的生成函数，用它可以导出f(k)。l 上面的推导反映了抽样信号的FT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系，即： 而抽样信号的LT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系为：l 如果实际抽样序列的抽样间隔T

4、不等于1,则上面两个关系变为： ，l 在某些情况下，Z变换的求和限可以简化：1、 如果f(k)是一个左边序列（其在k理想抽样序列离散序列 F(s) F(z)已知信号的F(s),通过可以得到：对f(t)理想抽样，其冲激幅度序列为：对序列求ZT：l 假设：，则：可见：F(s)在处有极点，而F(z)在处有极点。l 假设（假设没有重极点），则有： 在F(s)没有重根的情况下,可以通过部分分解的方法得到F(z)。l 从上面可以看出：F(s)的极点和F(z)的极点之间的关系为：，或 或：，可见，F(s) 和F(z)的极点的映射关系与上面的关系相同。这里同样有多点映射的问题。8-5 离散时间系统ZT分析法与

5、LT在连续时间系统中的作用一样，在离散时间系统中同样也可以通过ZT，将求解差分方程的问题转变成为求解代数方程的问题，从而是求解过程得到简化。但是，它同样也要引入两次变换计算。同LT一样，通过对差分方程取ZT，可以自动引入初始条件，一次性得到系统的全响应。但是，它不宜分清系统的响应的物理含义。在本课程中，依然分和两部分，讨论系统响应的求解方法。一、 的ZT求解法在输入信号为零的条件下，差分方程变为了一个齐次差分方程。其一般形式为：对其求ZT，可以得到：所以，有了初始条件，就可以通过直接写出，再由反ZT就可以得到。但是，这种方法比时域解法复杂，因为：1、 形式复杂，难于记忆；2、 要进行反ZT计算

6、。二、的ZT求解法零状态响应有很多推导方法。教材上提出了直接用这个差分方程的求解方法。这里给出一个更加简单的方法。为此将差分方程改写为：然后对方程两边求ZT（注意：1、系统初始状态为零;2、同时激励信号也是一个有始信号;3、对于因果系统，m除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为导数,或）。（思考：如何证明？）2、 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。例861例861： 图所示的电阻梯形网络中，若令，则此电路的差分方程为 且具有边界条件，。求解电路中第k个节点的电压。解：这里的并不是对应于时间，而是对应于电路节点号，但是依然可以用Z变换求解。对齐次差

7、分方程进行Z变换 由此式解出并代入边界条件，但暂时还不知道，待后面再解出。 把此式与表81中第16、l7两个Z变换对相比较，即可看出等式右边第一项相当于双曲线余弦的Z变换，第二项相当于双曲线正弦的Z变换。根据第一项，可以得到： ，根据第二项，有。将上面求出的代入，可以得到：因此，的反变换式为 现在，再用另一边界条件代入上式,求出，即将它代入式，最后得例862例862： 一受单位阶跃信号激励的系统由以下差分方程描写 初始状态是1)，。2),。求系统分别在这两种初始条件下的响应。解：这里分别在两种初始条件下求解。1）这里已知系统零输入响应的初始状态为零，所以零输入响应一定都为零，系统只有零状态响应

8、。将系统方程用移序算子写成算子式 由此可直接写出转移函数为 单位阶跃序列的Z变换是，故响应的Z变换为 将此式进行反Z变换，即得系统响应 2）在这种初始条件下，系统的全响应在0、1时刻的响应为零,但是这并不意味着系统只有零状态响应，它也可以有零输入响应。在给定全响应的初始条件的前提下，对系统微分方程两边同时求单边Z变换，可以得到：引入响应和激励的初始条件及激励信号的Z变换对此式进行反Z变换，即得系统响应这就是系统的全响应。这个响应也可以分为零输入响应和零状态响应两部分，其中零状态响应应该与1）中的结果一样，即：由此可以得到零状态响应： 8-8 数字滤波器随着集成电路和计算技术的飞速发展，离散时间

9、信号处理表现出了种种优势，使的很多连续时间信号处理问题都经过时间和幅度的离散化后，通过数字信号处理的方法实现。e(t)r(t)A/D转换H(z)D/A转换LPF滤波这里有两个问题需要解决：1、 如何根据连续时间系统信号处理的要求确定H(z)?2、 如何实现H(z)所表达的离散时间系统？一、 H(s)的实现：1、 实现离散时间系统的硬件基本单元：加法器数字加法器；乘法器数字乘法器；延时器移位寄存器；这些单元也可以用软件直接实现。2、 实现方法：1） 直接实现2） 并联实现3） 串联实现4） 其它实现方法例：系统的各种实现方法。3、数字滤波器的分类：1） 按传输函数的形式分：a、 递归滤波器，或自回归(AR)滤波器:b、 非递归滤波器，或滑动平均(MA)滤波器:c、 自回归滑动平均滤波器：2） 根据其单位函数响应分：a、 有限单位响应滤波器