基于分数阶微积分方程车辆悬架观测器设计

1、基于分数阶微积分方程的车辆悬架观测器设计12组 贾晓明 韩闯闯 刘瑞敏摘要分数阶微积分包括分数阶微分和分数阶积分，它的含义就是将普通意义下的微积分的运算阶次从整数阶推广到非整数的情况。近年来，随着计算机科学的发展，计算能力的提高，分数阶微积分理论被广泛应用于生物、机械、物理、生态和工程等领域，从而受到越来越多的国内外学者的广泛关注，尤其是从实际问题中得到的分数阶微分方程已经成为很多数学工作者的研究热点。此外分数阶微分方程还被用来描述流变学及材料和力学系统、信号处理和系统辨识、控制和机器人及其它应用领域中的问题。所以，对分数阶微分方程的研究已经成为当今热点。本文将该方法用于车辆悬架观测器设计当中

2、，将会看到分数阶趋近律较整数阶的更为理想的效果，作为一个实际应用的实例，再一次显示分数阶微积分理论的优越性以及在控制领域应用中所展现出来的广阔前景。关键词 分数阶微积分方程；车辆悬架观测器；分数阶趋近律1 引言悬架是汽车的重要组成部分，它把车体与车轮弹性的连接起来，承受着车轮和车体之间的作用力，缓冲来自不平路面给车体传递的冲击载荷，衰减各种动载荷引起车体的振动。它对汽车行驶的平顺性、乘坐舒适性和操纵稳定性等多种性能都有很大的影响。车辆悬架系统的各项性能之间往往是相互矛盾的。优秀的悬架系统在确保安全性基础上，必须要求乘座舒适性；确保轮胎与路面接触以保证操纵稳定性；车体与非簧载质量之间允许的最大工

3、作空间也必须得到满足。同时希望系统鲁棒性好，可靠，重量轻，成本低。2 分数阶微积分的基本理论2.1分数阶微积分定义本文采用常用的分数阶微积分的基本操作算子： （2.1）2.1.1 分数阶积分我们知道对于函数的重积分可以由Cauchy公式表示如下： (2.2)其中是正整数集。利用Gamma函数即可得到Riemann-Liouville分数阶积分定义：定义2.1： (2.3)其中为正实数。分数阶积分有如下等式成立 （2.4） （2.5）在此，定义函数如下：定义2.2 （2.6） 我们知道两个函数的卷积为： （2.7）由公式2.3,2.6，可知，分数阶积分也可看作是和的Lplace卷积积分，即： 这

4、里。2.1.2分数阶微分2.1.2.1 Riemann-Liouville（RL定义）分数阶微分定义2.3： （2.8）其中2.1.2.2 Caputo分数阶微分Caputo对于分数阶微分是这样定义，即：定义2.4： （2.9）这里我们需要比较一下RL定义与Caputo定义之间的本质区别于联系,这两者之间的本质区别导致了两者性质的不同。对于整数阶微分有;(表示单位映射，)。对于分数阶微分，RL定义遵循了这一性质即：而Caput定义则遵循了，即：。正因为如上所述的不同的出发点，RL定义的分数阶微分与Caputo定义的分数阶微分性质也是不同的，考察函数（是常数）：RL定义下： Caputo定义下：

5、其中是的Laplace变换。由上讨论可知,对于RL定义的分数阶微分，求其Laplace变换时要求知道的值,而Caouto定义的分数阶微分，求Laplace变换时要求知道其函数和整数阶微分在初始时刻的值，这和整数解微分求 Laplace 变换时的要求是一致的而且对于常数的微分，Caputo 定义下的分数阶微分保持了整数阶微分的性质,因而 Caputo定义的分数阶微积分在实际中应用比较广。2.1.2. 分数阶微分定义定义2.5： （2.10）其中表示的取小于的最大数,定义一般用于分数阶微分的近似计算,计算公式如下: （2.11）三种定义之间的关系这里只给出结果,在具有阶连续导数,并且至少取的条件下

6、,定义与定义等价,若无上述条件,定义是定义的扩充;在条件:(1)函数有阶连续导数,至少取.(2),(是积分初始时刻,k=0,1,2,n-1),定义与Caputo定义等价。3 分数阶微积分在车辆悬架观测器设计中的应用3.1车辆悬架以及性能评价的指标悬架是汽车的重要组成部分,它把车体与车轮弹性的连接起来,承受着车轮和车体之间的作用力,缓冲来自不平路面给车体传递的冲击载荷,衰减各种动载荷引起车体的振动它对汽车行驶的平顺性、乘坐舒适性和操纵稳定性等多种性能都有很大的影响。车辆悬架系统的各项性能之间往往是相互矛盾的。优秀的悬架系统在确保安全性基础上,必须要求乘座舒适性；确保轮胎与路面接触以保证操纵稳定性

7、；车体与非簧载质量之间允许的最大工作空间也必须得到满足。同时希望系统鲁棒性好,可靠,重量轻,成本低评价汽车性能指标主要有:车身振动加速度、悬架动挠度、轮胎动载荷。(1)垂直加速度 有许多种方法来描述乘座舒适性。基于有关振动对人体影响的试验结果而得出的结论可知,垂直加速度的均方根值与试验参加者表明的舒适感觉成线性关系,因此,最简单的方法是计算乘员座椅位置的垂直加速度的均方根值有关这方面研究在七十年代国外已进行了系列研究。但是加速度的均方根值没有反映出人体对振动频率的依赖性。为此国际标准化协会在综合大量资料的基础上,提出了人体全身承受振动的评价指南(ISO2631)0,该标准用加速度的均方根值给出

8、了在1-80Hz振动频率范围内人体对振动反应的三种不同的感觉界限,即暴露极限,疲劳-降低工作效率界限,舒适降低界限。随着承受振动持续的时间加长,感觉界限允许的加速度值下降由此标准可知,人最敏感的频率范围,对于垂直振动是4-8Hz,对于水平振动是2Hz以下。其评价方法有 1/3 倍频分别评价的方法,总的加速度加权均方根值评价方法或总的加速度均方值评价方法。最简单方法和最常用方法是总的加速度均方值评价方法。(2)悬架动挠度 当以加速度加权均方根值最小作为悬架系统的单一评价指标时,得出的解是不符合实际的。因为这时要求作用于悬架的力等于簧载质量惯性力,其加速度衡等于零,从而要求悬架的工作空间足够大。事

9、实上,悬架的工作空间是受到限制的,悬架允许的最大压缩行程是有限的,即限位行程。因此,考虑簧载质量加速度最小作为评价指标时至少要附加一个悬架工作空间的约束。(3)轮胎动载荷 轮胎动载荷即轮胎对路面作用力的动载荷。轮胎无阻尼共振频率接近于8-18Hz。在此频率下工作,轮胎的法向力在其静平衡点变化剧烈,有可能产生轮胎与路面脱离接触而使纵操性能下降。许多学者已经对由此产生的后果从理论和实践中得出结论:轮胎在其静平衡点的变形的均方根值越大,车辆偏离路径的值越大。因此,非簧载质量变形或车轮对路面的作用力通常作为评价悬架系统操纵稳定性的一种指标。以上指标之间的选择与侧重程度不同,得出的悬架系统参数也不一致,

10、人们试图从中找出折衷方案,以权衡各方面的基本要求在权衡时采用最多的是权重系数法,以权重表示各项指标的重要程度,这往往是主观上最优。3.2车辆悬架系统动力学模型悬架系统是复杂的多自由度/质量)刚度)阻尼0振动系统,根据研究的目的不同经常采用简化方法建立力学模型,常见的基本悬架模型有：1/4悬架模型,1/2悬架模型和整车模型。般情况下,理论模型的自由度越多,所选择的模型与实际情况就越接近,其计算的结果就与实际情况越相吻合。然而自由度的增多势必会增加参数测定的难度以及繁琐的数学运算,这对悬架控制系统来说一般是不必要的。1/4 车辆模型是车辆悬架模型中最简单的模型。尽管这种模型中涉及的设计参数最少、性

11、能参数最少,但它基本能够反映出车辆悬架中所关心的性能指标：车身垂直加速度、弹簧动挠度以及轮胎动载荷。因此本文将以1/4车辆模型对半主动悬架观测器设计进行研究。汽车悬架按左右原理可分为:被动悬架、半主动悬架和主动悬架。被动悬架模型的刚度和阻尼系数是根据经验设计和优化选择的,一旦选定就无法再改变其数值,因而被动悬架适应路况能力最差其动力学方程如下： （3.1）其中是簧载质量,是非簧载质量,是悬架阻尼,是悬架刚度,是轮胎刚度,是车身位移,为轮胎位移,是路面位移。半主动悬架是指悬架弹性元件的刚度和减振器的阻尼系数之一可以根据需要进行调节控制。目前,半主动悬架研究主要集中在调节减振器的阻尼系数方面。半主

12、动悬架的可控阻尼减振器包括电、磁流变减振器和液压减振器, 其共同特点是阻尼力连续、无级可调。特别是美国LORD公司公布的磁流变减振器(RD21005) , 在较宽的温度范围内，有稳定的阻尼特性，具有广阔的商业应用前景。半主动悬架较主动悬架能耗小，结构简单，但在控制品质上接近于主动悬架因而应用广泛。其动力学方程为： （3.2）其中是半主动控制力,其他系数含义与(3.1)中含义相同。主动悬架模型，主动悬架可根据车辆的运动状态以及路况做出动作,使悬架始终处于最优减振状态。然而主动悬架能量消耗大,结构复杂,成本高昂,目前只运用在少数高档轿车上,其动力学方程如下： （3.3）其中为主动控制力,其他参数含

13、义同上。3.3路面不平度的功率谱及其输入模型3.3.1路面不平度的功率谱影响车辆的乘座舒适性及操纵稳定性的主要因素有两个方面：一是道路的不平坦,二是各种惯性力和空气作用力。在正常行驶下对悬架动力学特性起主要影响的是路面输入。即要消除由于路面的不平而使车辆产生的振动。描述路面的方法可分为冲击和振动两个方面。冲击来自路面突变,即凸起和凹坑,其相对作用时间短,强度大。而振动来自于路面持续的小的不平整。因此悬架必须具有缓和冲击,减小振动的性能。平坦道路的描述往往假定是给定位移功率谱的随机场，当把汽车近似为线性系统处理时,掌握了输入的路面不平度功率谱及车辆系统的动态特性就可以求出汽车振动系统的输出响应谱

14、,进而可以分析悬架系统的结构参数并检验平顺性。3.3.1.1路面不平度的功率谱在1972年,ISO/TC108制订了以路面不平度的功率谱密度表达式模型和分等方法。1986 年由长春汽车研究所起草制订的/车辆振动输入)路面平度的表示方法0标准中,作为汽车振动输入的路面不平度,主要采用路面位移功率谱密度描述其统计特性,路面不平度的时间历程可以视作平稳随机过程处理。根据这两个文件的建议,路面位移功率谱Gq(n)可以表示为: (3.4)式中,是空间频率;为参考空间频率,为参考空间频率下的路面功率谱密度值,称为路面不平度系数,单位是;为频率指数,它决定路面功率谱密度的频率结构。根据国内路面实测结果和国外

15、资料提供的数据,对于多数路面,频率指数,典型路面实测功率谱的频率主要成分在的范围内。上面所述的功率谱密度是指垂直位移功率谱密度,还可以用速度功率谱密度来描述路面不平度的统计特性。与关系如下: （3.5）当频率指数时，有如下关系： （3.6）3.3.1.2空间频率功率谱与时间平率功率谱的关系对车辆振动系统的输入除了路面的不平度,还要考虑车速这个因素。根据车速,将空间频率功率谱密度换算为时间频率功率谱密度。当汽车以车速试过空间频率的路面时,输入的时间频率是与的乘积,即： （3.7）由功率谱密度的物理意义可得: （3.8）当时，时间频率的不平度垂直速度的功率谱密度(单位为)为： （3.9）3.4 分

16、数阶滑模观测器的设计 观测器的主要作用是对正在运行的系统的状态参数进行准确估计。在大多数的被控系统当中，系统输出向量的维数小于状态向量的维数。因此当我们需要知道系统内部无法直接测得的状态变量时，就需要通过观测器实现对所需状态进行重构。状态观测器的引入主要基于实现状态反馈的需要。状态观测器按结构可分为全维状态观测器和降维状态观测器两种基本类型。状态观测器的提出，概括地说，主要是为了解决状态反馈在性能上的不可替代性和在物理上的不能实现性的矛盾。但是，状态作为系统内部变量组，或由于不可能全部直接测量，或由于测量手段在经济性和适用性上的限制，使状态反馈的物理实现成为不可能或很困难的事。基于解决控制系统

17、中这类矛盾的需要，推动了状态重构问题的研究，并最终导致状态观测器理论的形成和发展。3.4.1 状态观测器定义 设采用如下微分方程描述的系统的状态矢量不能直接检测，如果存在动态系统以的输入和输出作为其输入量,能产生一组输出量渐进于，即: (3.10)则称是的一个状态观测器 （3.11） 3.4.2观测器的分类观测器可按两种方式进行分类:从功能角度,可把观测器分类为状态观测器和函数观测器两大类。状态观测器以重构被观测系统状态为目标,取重构状态和被观测状态的渐近等价即式(3.10)为等价指标。状态观测器的特点是,当即系统达到稳态时可使重构状态等同于被观测状态。函数观测器以重构被观测系统状态的函数如反

18、馈线性函数为目标,将等价指标取为结构输出和被观测状态函数如的渐近等价,即: （3.12）函数观测器的特点是,当即系统达到稳态时可使重构输出完全等同于被观测状态函数如从结构角度,可把状态观测器分为全维观测器和降维观测器。在实际应用中,系统(5.13)的输出总是可以测量的。因此,可以利用系统的输出矢量来直接产生部分状态变量,从而降低观测器的维数。可以证明,对于线性时不变系统,若系统能观,输出矩阵秩为,则它的个状态分量可以由直接获得,其余的个状态分量便只需用维的降维观测器进行重构即可降维观测器在结构上比全维观测器简单,全维观测器在抗噪声性能上比降维观测器要优越。3.4.3全维状态观测器考虑n维连续线

19、性时不变被观测系统: （3.13）其中A,B,C分别为实常数矩阵,可以证明当系统(3.13)完全能观时,全维状态观测器存在并有如下形式: （3.14）其中L叫做状态观测器的输出误差反馈矩阵。当定义观测误差为: （3.15）则系统的误差状态方程可化为: (3.16)选择输出误差反馈矩阵L使得( A ? LC)稳定即可,可以证明(A,C)完全能观测时,这样的L是存在的。3.4.4 滑模观测器设计正如上面所述,理论上,线性定常系统(3.13)完全能观测时,通过上面所述方法设计出的观测器式(3.14)必满足式(3.10)。然而实际中的动态系统存在的未知外部激励或扰动!以及系统建模存在的不确定和非线性等

20、因素,这将造成设计的状态观测器不能很好地估计系统状态。考虑如下带扰动线性定常系统： （3.17）其中A,B,C分别为实常数矩阵,且,G与C满秩。按照传统的全维状态观测器设计方法,选择状态观测器形式如下: （3.18）从而可以得到误差状态方程: （3.19）当(A,C)能观测时,依然可以选择矩阵使得具有稳定得特征值然而由于扰动项的存在,状态观测器不能很好地估计系统状态,从而提出了鲁棒观测器的设计问题滑模观测器充分利用滑模控制在受控后系统对外界扰动和内部摄动具有鲁棒性以及对位于控制子空间内的不确定性因素也具有鲁棒性的固有特性,实现对动态系统的状态估计与控制,受到研究人员的广泛重视。Utkin 在滑

21、模状态观测器的设计中采用了不连续的切换项,即在线性系统的设计中带非线性项的观测器Slotine 等人采用类似的方法针对非线性系统设计了滑模观测器,并且在观测器中还包含有一个线性的输出反馈项Walcott 和 Zak 采用一种基于 Lyapunov 的方法来构造带不连续项的观测器,并证明了状态观测误差在一定条件下是渐近收敛的。Edwards和Spurgeon等人在Walcott 和Zak 所作工作的基础上利用规范化处理等方式进行滑模观测器设计,给出滑模观测器增益矩阵的显示,不过设计过程较为繁琐并且条件也比较苛刻。现将三种鲁棒观测器设计方法归纳如下:问题:考虑如下带有不确定项的动态系统: （3.2

22、0）其中，且。有界函数表示系统的不确定性，满足： （5.21）在此我们假定矩阵B、C满秩,考虑在只能获得输入u和输出y的情况下实现对系统状态的重构。3.4.5 Edwards 滑模观测器对于系统(3.20)作如下假设:假设存在满秩矩阵，及使得： （3.22）且有界。假设 (3.23)则Edwards观测器具有如下结构形式: （3.24） 在假设满足的条件下,可以证明存在一个线性变换T,使得系统转化为下列标准形式: （3.25）从而系统状态方程化为: （3.26）其中。由(3.25)与(3.26)可得误差系统状态方程: （3.27）通过Lyapunov方法可以获得如下控制律： （3.28）选择L

23、yapunov函数为: （3.29）考虑到子系统： （3.30）渐进稳定，可以认为足够的小，不必考虑，因而必然存在某个，使下述不等式成立：因此有证毕。3.4.5 分数阶鲁棒观测器设计本小节将在Edwards滑模观测器的基础之上将分数阶积分补偿思想引入观测器,设计出对干扰具有鲁棒性的观测器。对于满足假设的带有不确定项的动态系统,通过与上面所提Ewards观测器的设计相同的方法,选取观测器的形式如系统(3.24),将原系统及观测器（3.24)进行T变换,并求其误差系统即可得到标准形式的误差系统: (3.31)其输出是3.4.5.1 滑动模分数阶积分补偿器的设计分数阶微分方程： （3.32）有指数函

24、数相似的曲线形式,其中: （3.33）是滑模面,通常取S为如下形式： （3.34）对式(3.32)两边积分并不考虑初值影响(即记忆因素的影响): (3.35)根据滑模变结构控制思想,现令: (3.36)这里通常叫做积分型切换流形,如果满足滑模能达性条件则在有限时间内,系统将达到式(3.32)所描述的流形上,从而最终落在下面的滑模面上:上面所述即是滑动模分数阶积分补偿器的设计思想。这里我们可以想象,滑模变结构方法所具有的无法克服的缺点(抖动)将会发生在到达积分型切换流行的过程中,这从理论上来讲其实是将抖动转移了,实际上抖动是一直存在于系统当中。然而,分数阶指数微分方程本身的特点,势必会削弱抖动的

25、程度因此我们可以预见这种方法的优越特性。3.4.5.2 分数阶滑模观测器设计对于标准形式的误差系统(3.31),选取滑模面: （3.37）则有：忽略干扰影响,可求得等效控制如下: （3.38）选择控制律形式： (3.39)可求得控制律为: （3.40）其中K为满足的常数。3.5基于车辆1/4半主动悬架的分数阶积分补偿滑膜观测设计3.5.1分数阶天棚阻尼半主动悬架模型本小节将在文献89所涉及的分数阶天棚阻尼半主动悬架的基础上涉及分数阶积分补偿滑膜观测器。因此需首先对文献89所涉及的分数阶天棚阻尼作简单介绍：“天棚”阻尼控制是 D.Karnopp 1974 年97提出的基于最优控制理论的悬架控制策

26、略虽然它不能直接被应用于悬架的振动控制中,但针对它具有的良好的控制特性和鲁棒性,它被广泛间接地应用于许多其它悬架控制策略中,其性能的优劣直接影响悬架控制效果由于“天棚阻尼”的性能只能通过其阻尼系数一个参数调节,性能无法进一步提高分数阶“天棚阻尼”是基于分数微积分理论的提出的新的“天棚阻尼”控制策略98,其控制结构与“天棚阻尼”相同,但其阻尼控制力为: () (3.41)对于天棚阻尼半主动悬架模型,动力学方程为式(5.2),只是这里的为分数阶天棚阻尼控制策略所决定的控制力,有必要再次写出其动力学方程: （3.42）其中是悬架的阻尼系数, 表示轮胎的线弹性刚度,是悬架线弹性刚度半主动控制力的控制策

27、略为： （3.43）3.5.2分数阶项的SIMULINK仿真本文将采用目前国际上最流行的近似方法Oustaloup方法进行SIMULINK仿真 。其原理是:用在一定的频率范围内频域特性接近的整数阶高阶传递函数在仿真系统中替代分数阶微积分算子,基本步骤如下: 首先按系统的要求选择需近似处理的频率范围,考虑频域边界的影响,应选择更大的频率范围,要求,然后在选择的范围内对分数阶微积分的拉氏变化进行近似处理,即对于的计算采用零点和极点递归计算法其中零点和极点的递归计算公式其中N为逼近函数的阶数,通常取510足够,满足下式：等式(3.2)右边即为用Oustaloup算法得到的高阶近似传递函数。3.5.3控制参数的选择现选取状态变量：得到系统的状态方程为： (3.44)其