概率论与数理统计课件西南科技大学

1、边缘分布边缘分布 marginal distribution(, )X Y 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。函数来描述其取值规律。( , ),F x yP Xx Yy 问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 边缘分布边缘分布 marginal distribution(, )X Y( , )F x y 设二维随机变量设

2、二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ， (, )X YXY依次称为二维随机变量依次称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( )( ,)XFxF x( )(, )YFyFy( ),(, )YFyP YyP XYyFy 二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布,ijijP Xx Yyp,1,2,3,i j 如果二维离散型随机变量（如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33ijjiipP Xxp二维离散型

3、二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布jijijpP Yyp关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布jijijpP Yyp关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.ijjiipP Xxp第第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布例例1 设二维离散型随机变量（设二维离散

4、型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于求关于X、Y的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布Y011/3概率 7/121/31/12解解 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为 X-102概率 5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列）的联合分布列 二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布 ( )( ,)( , )XxFxF xf u v dv du n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ( )( ,)Xfxf x y d

5、yn关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ( )(, )( , )YyFxFyf u v du dvY的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 ( )( ,)Yfyf x y dxX的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 例例2 2 设（设（X, Y）的联合密度为）的联合密度为01,13( , )0kxyxyf x y其它求求k值和两个边缘分布密度函数值和两个边缘分布密度函数12k ( )( , )Xfxf x y dy 311021kydyxdxk解解由由 ( , )1dxf x y dy得得 0,1x当当 时时 31122( )Xfxxydyx 关于关于X的边缘分布密度为的边缘

6、分布密度为 113113( )0Xfx 20,1( )0Xxxfx其它1,3( )40Yyyfy其它解解所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Yfyf x y dx ( )0Yfy 所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 0,1x当当 时时 1,3y当当 时时 1,3y当当 时时 10124( )Yyfyxydx 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 边缘分布密度和概率的计算边缘分布密度和概率的计算例例3设（设（X, Y) 的联合分布密度为的联合分布密度为 221( , )0kxyf x y 其它其它（1）求）求k值值(2) 求关于求关于

7、X和和Y的边缘密度的边缘密度（3）求概率）求概率P(X+Y1/2)(2)( )( , )Xfxf x y dy 22111( )xXxfxdy均匀分布均匀分布解解 (1)由由 ( , )1f x y dxdy 2211xykdxdyk得得 1k 1,1x 当当 时时221x-11221 1,1( )0Xxxfx 其它 1,1x 当当 时时( )0Xfx 所以，关于所以，关于X的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11续解续解 . -11( )( , )Yfyf x y dx 22111( )yYyfydx221 1,1( )0Yyyf y其它解解 1,1y 当当 时时 1,1y 当当 时

8、时( )0Yfy 所以，关于所以，关于Y的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 221y1()( ,)2DP Xf x y dxdy(1)( , )DP XYf x y dxdy 解解 （3） 13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy 22111121xxdxdy见课本见课本P59P59例例3 3 如果二维随机变量（如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布）服从正态分布 221212,N 则两个边缘分布分别服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布 211,XN 222,YN 与相关系数与相关系数 无关无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以

9、确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布例例4 设（设（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 2221( , )(1 sin sin ), ,2xyf x yexyx y 求关于求关于X，Y的边缘分布密度函数的边缘分布密度函数 解解 关于关于X的分布密度函数为的分布密度函数为 ( )( , )Xfxf x y dy2221(1 sin sin )2xyexy dy22222211sin sin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212xe22221sinsin2xyexeydy0,1XN所以，所以， 0,1YN同理可得同理可得 不同

10、的联合分布，可不同的联合分布，可有相同的边缘分布。有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性( , )( )( )XYf x yfxfyn 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 ijijppp对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值的取值互不影响时，互不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是相互独立的，进是相互独

11、立的，进而把上述定义式当公式运用而把上述定义式当公式运用. . 在在X X与与Y Y是相互独立的前提下是相互独立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy设（设（X，Y）的概率分布（律）为）的概率分布（律）为证明：证明：X、Y相互独立相互独立。例例1 1ijijppp 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx逐个验证等式逐个验证等式 证证 X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为XX、Y Y相互独立相互独立111.1220ppp 2

12、/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y121.2120ppp131.3420ppp212.1ppp222.2ppp232.3ppp313.1ppp323.2ppp333.3ppp例例2 2 设（设（X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为(23 )60 ,0( , )0 xyexyx y其他求求 (1) (1) P P（0X1 0X1 ，0Y10Y1） (2) (X,Y)(2) (X,Y)的边缘密度，的边缘密度， （3 3）判断）判断X X、Y Y是否独立。是否独立。解解 设设A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0 x1 ，0y

13、10y1） ( , )01,01( , )x yAPxyx y dxdy112323006(1)(1)xydxedyee11( )( , )Xxx y dy22, (0)( )0, (0)xXexxx 边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为当当 时时0 x 2320( )62xyxXxedye当当 时时0 x ( ) 0Xx所以，所以， 同理可得同理可得 33, (0)( )0, (0)yYeyyy232,03,0( ),( )0 ,00 ,0 xyXYexeyxyxy(23 )6, (0,0)( )( )0, xyXYexyxy其它所以所以 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。(, )x

14、y例例3 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）服从区域）服从区域D上的均匀分上的均匀分 布，布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形区所围成的三角形区 域。判断域。判断X，Y是否独立。是否独立。 解解 （X,Y）的密度函数为）的密度函数为 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他当当 时，时，102x210( )4xXfxdy4(21)x所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 14(21), (0)( )2 0, Xxxfx其它关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Xfxf x y dy当当 或或 时时12x 0 x ( )0Xfx 当当 时，时，01y012( )4yYfydx2(1)y所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 2(1), (01)( ) 0, Yyyfy其它关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Yfyf x y dx当当 或或 时时0y 1y ( )0Yfy 18(21)(1),(0,01 )( )(