特殊四边形和梯形

1、 第六讲： 特殊的平行四边形和梯形【课前热身】1. 矩形的两条对角线的一个交角为60 o，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为 cm.2.边长为cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 .3. 若正方形的一条对角线的长为2cm，则这个正方形的面积为 4.下列命题中，真命题是 （ ）A两条对角线垂直的四边形是菱形 B对角线垂直且相等的四边形是正方形C两条对角线相等的四边形是矩形 D两条对角线相等的平行四边形是矩形5.平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ） AABBC B.ACBD C.

2、ACBD D.ABBD 6.在下列命题中，正确的是（ ）A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形第7题图DABCPMN7、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_ 8如图，梯形ABCD中，ABDC，A+B=90，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD= 2cm9如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且ABAE若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为

3、13【知识链接】1、矩形的定义及性质（1）定义：有一个角是 的平行四边形是矩形。（2）性质： 矩形具有平行四边形的 性质； 矩形的四个角 ； 矩形的对角线 ； 矩形既是 图形，又是 图形2、矩形的判定方法（1）有一个角是 的平行四边形是矩形。 （2）有三个角是 的四边形是矩形。（3）对角线 的平行四边形是矩形。3、菱形的定义及性质（1）定义：有一组邻边 的平行四边形是菱形。（2）性质： 菱形具有平行四边形的 性质； 菱形的四条边都 ； 菱形的两条对角线 ，并且每条对角线平分 ； 菱形既是 图形，又是 图形4、菱形的判定方法（1）有一组邻边 的平行四边形是菱形。 （2）四条边 的四边形是菱形。（

4、3）对角线 的平行四边形是菱形。（4）菱形的面积：s= = 5、正方形形的性质 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，正方形具有矩形和菱形的所有性质。 （1）正方形的四条边 ，四个角都是 （2）正方形的对角线 ，且 ，并且每条对角线平分 ；（3）正方形既是 图形，又是 图形6、正方形形的判定方法（1）有一组邻边 的矩形是正方形。 （2）有一个角是 的菱形是正方形。7.梯形的定义、分类、和面积： 1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做 两底间的距离叫做梯形的 直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形一般梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形特殊梯形2、分类：

5、梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X高 【提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定： 1、性质：等腰梯形的两腰相等， 相等等腰梯形的对角线 等腰梯形是 对称图形 2、判定： 用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等 同一底上两个角 的梯形是等腰梯形 对角线 的梯形是等腰梯形【提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不看成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为 形式 常见的辅助线作法有 【要注意 ：根

6、据题目的特点灵活选用辅助线】【例题讲解】例1、如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于（1）求证：；FDOCBEA（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论例2、如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形ADCFEB（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：四边形是矩形例3、将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1图1图2图3图4(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_(2)如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_(3)在Rt

7、BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_；当点B的移动距离为_时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_(图3、图4用于探究)例4、如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是，越小，菱形越接近于正方形若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于 ；当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形你认

8、为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义例5. （2012内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BDAC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9例6. （2012呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A25B50C25 D 例7 （2012襄阳）如图，在梯形ABCD中，ADBC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积【备考真题过关】1如图，

9、在中，点分别在边，上，且，下列四个判断中，不正确的是（）A四边形是平行四边形B如果，那么四边形是矩形C如果平分，那么四边形是菱形D如果且，那么四边形是菱形BCDAP2. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则ACP度数是 3.如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若， 则=（ ）A110 B115 C120 D1304如图，梯形ABCD中，ADBC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（）A22B24C26D28 5 如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=80，则D的度数是（）A120B110C100D8

10、06.（2012浙江省绍兴）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B处，又将CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB与AD的交点C处.则BCAB的值为 .7.(2012山东省临沂市，）如图，CD与BE互相垂直平分，ADDB,BDE=700，则CAD= 0. 8.（2012贵州铜仁，18，4分以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是_ 9. (2012山东省临沂市）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）A.AC=BD B.

11、OB=OC C. BCD=BDC D. ABD=ACD ABDC图810.（2012四川内江）如图8，四边形ABCD是梯形，BDAC且BDAC，若AB2，CD4，则S梯形ABCD.11.(2012四川省南充市) 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD.求证：B=E.12.（2011江苏省无锡市，8，3）如图，梯形ABCD中，ADBC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）A17 B.18 C.19 D.2013.（2012山东省滨州，11，3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比

12、为（）A3：1B4：1C5：1D6：114.（2012北海,6，3分）6如图，梯形ABCD中AD/BC，对角线AC、BD相交于点O，若AOCO2：3，ADBCO第6题图AD4，则BC等于：（ ）A12B8C7D615.（2012四川内江）如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，BAEBCE，AEDCED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论CBADEFG16.（2012贵州贵阳，21，10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.（1）

13、求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长. DABCEF17.（2012云南省）(本小题 7分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相较于点，与相较于，连接。 (1)求证：四边形是菱形； (2) 若求MD的长。18.（2012深圳市）如图7，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；图7（2）设请写出一个、三者之间的数量关系式19.（2012南京市）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，ACBD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积. 20.（2012珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45得到正方形ABCD（此时，点B落在对角线AC上，点A落在CD的延长线上），AB交AD于点E，连结