希尔伯特空间中子空间的闭性与补性

1、希尔伯特空间中子空间的闭性与补性 摘要：本文主要讨论了内积空间中子空间所需的条件,并证明了以下主要结果：（1） 设是内积空间,是中的子空间，则的子空间,使得.（2） 若是内积空间,是中的有限维子空间,则;设是无限维内积空间,是中的无限维子空间,则不一定成立关键词：内积空间；直交补；子空间；闭集. Hilbert space neutron closed space with the complementary natureHuang xue-mei(,Department of Mathematics,Xiaogan University)Abstract: This article main

2、ly discussed the inner product space neutron space to satisfy the condition which needed, and has proven belowthe main result: (1)supposes is the inner product space, is center sub- space, then when also only when has sub- space, causes .(2)if is the inner product space, is center finite-Dimensional

3、 the sub- space, then establishment; Supposes is the infinite Uygurinner product space, is center infinite Uygur sub- space, then not necessarily had been established. KeyWord: Inner product space; Is perpendicular to makes up; Sub- space; Closedset.0 问题的提出在文献1中提出了如下问题：“Let be a space, is a subset o

4、f ,then is a closed subspace.Prove the conclusion.Beacause is closed,every vector in can be decomposed into ,where is in .If is also a subspace，can we conclude that ? why?”在文献2中,只证明了是Hilbert空间的闭子空间时,有及成立本文将讨论当是内积空间的子空间时,及在哪些条件下成立,并给出证明;文献8研究了模糊内积空间中的投影定理,本文将探讨一般内积空间中投影定理成立的条件,并试图减弱文献2中的投影定理的条件.本文中,用

5、表示与的内积;用表示的范数(由内积导出的范数即);当且仅当;为的直交补; 为的线性包;是的闭包;是线性包的闭包;是闭包的线性包; ,; 表示空集;若内积空间是复的内积空间时,是复数域;若内积空间是实的内积空间时,是实数域;是闭区间上全体连续函数构成的线性空间; Hilbert空间即完备的内积空间; 为子空间的维数;另外表示等于与的直和,即,使.本文还类似文献3,7在内积空间中引入了正交补概念:设,是内积空间的子空间,若,就称是的正交补在文献5中讨论了无限维欧式空间中子空间直交补(即为文献5中的正交子空间)与正交补等价的条件,并且发现直交补与正交补是否相同是由欧式空间的完备特性所决定的;本文在文

6、献4和5的启发下,讨论了当是内积空间的子空间时, 的直交补与正交补的关系.1 引理及证明引理1 （Schwarz不等式）设按内积成为内积空间,则对，成立不等式 当且仅当与线性相关时,不等式取“”引理2 设为内积空间,对,若,则证明 ,对,使得,有,使得,有于是, 当时,有 （由引理1）,又时,有 ,当时,有界,令,则,.注1 引理2说明:若将看作一个二元函数,则此二元函数是连续的,即极限符号与内积符号可以交换位置:.引理3 设为内积空间,是的子集,则是中的闭子空间.证明 先证是中的子空间：对,则,有,.再证是闭子空间：对收敛点列且,有:,由引理2,有,是闭子空间.引理4 设是内积空间的非空子集

7、,则成立.证明 对,.引理5 设,是内积空间中的非空子集且,则.证明 对,有,.引理6(投影定理) 设是Hilbert空间中的闭子空间,则成立.引理7 设是Hilbert空间中的闭子空间,则成立.引理8 设是内积空间的线性子空间,则.证明 为线性子空间, 又, 对,有且,.引理9 设是内积空间的非空子集且,则成立.证明 由引理4知,下证:对,由于,有,由引理3有 是中的闭子空间,应用引理8有 , .引理10 设是内积空间的子空间,则.证明 显然成立,下证:对,使,是子空间, ,.引理11 设且,则且,有.证明 由积分中值定理,使,使.假设在内只有一个实根,则由于且,在与上异号,不妨设在上,在上

8、,矛盾,假设不成立,且,有.另证 令,则,又,由积分中值定理,使,.对在和上分别利用罗尔定理, 则,使,证毕.引理12 设且,则互不相同的,有.证明 用数学归纳法证明当时由引理11可知命题成立;假设当时命题成立, 即若，则互不相同的，使.当时,由命题条件可知,由假设可知:互不相同的,有.不妨设，则假设在上只有个根，又由于，且,则 当为偶数，易知：在与上异号.不妨设在上,在上.所以我们得到：矛盾. 当为奇数时，易知：在与上异号.不妨设在上,在上.容易证明： 矛盾.由,可知假设不成立.在上不只有这个根,且与都不相同,使.当时,互不相同的,有由,可知对此命题都成立.2 主要结论及证明定理1 设是内积

9、空间中的子空间,则 的子空, .证明 令,由引理3 是内积空间中的闭子空间 由引理4有,下证，由引理4有,由引理5,有，即, 又, .推论 设是内积空间的非空子集,则成立.证明 由引理3，知是内积空间中的子空间，令，由定理1得，即，亦即成立.注 也可以直接证明本推论，现证明如下：对与应用引理4，得与成立，对再应用引理5，得，故现在我们讨论一般内积空间中的子空间是否满足及,先对有限维内积空间中的子空间进行讨论.定理2 有限维内积空间必为Hilbert空间.证明 只需证明是完备的. 设的一组标准正交基为,则只需证明柯西点列有在中收敛,可设，是柯西点列, ，有，即,对每个,有,有 ,对每个,有是柯西

10、数列必收敛，不妨设,其中,则令,则显然成立,下证:由有,对每个,对上述,有且,即在中收敛,为完备的内积空间即Hilbert空间.定理3 有限维内积空间的子空间必为闭子空间.证明 只需证明是闭的,即对收敛点列且,要证.不妨设子空间的一组标准正交基为,可设,是收敛点列必为柯西点列,有,即 = ,对每个,有,有 对每个,有是柯西数列必收敛,不妨设,其中，令,则,下证:由有,对每个,，对上述,有 ,由极限的唯一性,有,为闭子空间.定理4 有限维内积空间的子空间必满足.证明 由定理2和定理3可知是Hilbert空间中的闭子空间,由引理6和引理7,有及成立.那么无限维内积空间的子空间是否满足及?下面进行讨

11、论.定理5 设是无限维内积空间的子空间，且,则有,及成立.证明 易证(1)成立,下证成立:设的一组标准正交基为,则对,令,则,且, 下证,只需证明,有, , ,其中, 所以.又由引理9知成立. 注2以上定理说明若是无限维内积空间的有限维子空间,则必满足及,那么如果是无限维内积空间的无限维子空间是否也有及成立?定理6 设是无限维内积空间的子空间且,则有;不一定成立.证明 只需举出反例: 欧氏空间按成为内积空间,令,则易证是无限维内积空间的子空间,且,下求:对有,，取,则,方法1对,有 , ,又, , , 由引理8,知, ,由引理9,易证不成立.方法2 ,设,则 , 易知:, 由引理12,可知在(

12、a,b)上可找到个互不相同的零点, 在(a,b)上可找到个互不相同的零点,的次数为,由引理9,易证不成立.注3 由定理4、5、6可得到本文的主要结论: 若是内积空间,是中的有限维子空间,则与成立;设是无限维内积空间,是中的无限维子空间,则与不一定成立现在讨论直交补与正交补的关系:定理7 设是内积空间中的子空间, 是的正交补,则是的直交补,即.证明 先证 , 对,是的正交补,;下证,即证,有.,使,即,又, , 由上可知.注4 由定理7可知内积空间中的子空间的正交补一定是的直交补,换句话说的正交补的条件比直交补的要强一些;并且:若是内积空间中的有限维子空间，则由定理4、5可知与满足正交补定义的条

13、件和,即此时的直交补也是的正交补;因此当是内积空间中的有限维子空间时,的正交补和直交补等价;设是无限维内积空间中的无限维子空间,则由定理6可知的正交补和直交补不一定等价下面讨论当是Hilbert空间中的闭子空间时,、之间的关系.定理8 设是Hilbert空间中的闭子空间，则有成立.证明 是中的闭子空间，由引理10知是中的闭子空间，又由引理7，知，因此得到,是中的闭子空间,.3 结束语本文在文献2中的投影定理及其推论的基础上,结合文献4,5中论述的线性空间中有限维与无限维的差异,解决了文献1提出的问题并且得出了一些新的结论, 不同于文献10, 本文在这些结论的基础上,讨论了内积空间的子空间的直交

14、补与正交补的关系,使今后对内积空间的研究变得更方便.相较文献4而言,本文又补充了线性空间中有限维与无限维的一个本质差异.参考文献1 Kreyszig E. Introductory functional analysis with applicationsM. New York:John Wrley & Sons: Inc. 19782 程其襄等.实变函数与泛函分析基础(第二版)M.北京：高等教育出版社，2003.的含anMsh订立定理3 王萼芳等.高等代数(第三版) M. 北京：高等教育出版社,2003,2.4 王航平.线性空间中有限维与无限维之差异J.中国计量学院学报,2003,14(1):67-69.5 舒世昌.无限维欧式空间中的正交补与正交子空间J.教育创新,2003,12(2):31-31.6 余航.关于维欧式空间子空间的正交补J.桂林市教育学院学报,2000,14(4):94-95.7 胡运红等.欧式空间中的子空间的正交补的探讨J. 运城学院学