雷达系统及仿真

1、1杨万海杨万海.雷达系统建模与仿真雷达系统建模与仿真.西安：西安电子科技大学出版西安：西安电子科技大学出版社，社，2007.2盛文盛文,焦晓丽焦晓丽.雷达系统建模与仿真导论雷达系统建模与仿真导论.北京：国防工业出版北京：国防工业出版社，社，2006.3.王雪松，肖顺平，冯德军王雪松，肖顺平，冯德军.现代雷达电子战系统建模与仿真现代雷达电子战系统建模与仿真.北京：电子工业出版社，北京：电子工业出版社，2010.n为什么要做系统仿真？为什么要做系统仿真？ 科学研究需要实验，进行分析、优化、评估、验证。科学研究需要实验，进行分析、优化、评估、验证。n什么是系统仿真？什么是系统仿真？ 简单地说，系统仿

2、真就是用模型代替真实系统做实验。简单地说，系统仿真就是用模型代替真实系统做实验。n系统仿真的一般步骤系统仿真的一般步骤 n系统仿真的分类系统仿真的分类 物理仿真：构造物理模型做实验，直观、形象，费用大、难修改。物理仿真：构造物理模型做实验，直观、形象，费用大、难修改。 数学仿真：构造数学模型，用计算机做实验。经济、方便、灵活。数学仿真：构造数学模型，用计算机做实验。经济、方便、灵活。 半实物仿真：数学与物理模型相结合做试验。半实物仿真：数学与物理模型相结合做试验。n数学仿真（计算机仿真）的步骤数学仿真（计算机仿真）的步骤 真实系统真实系统建立系统模型建立系统模型用模型做实验用模型做实验结果分析

3、结果分析 建立数学模型建立数学模型设计算法设计算法编写程序编写程序运行运行结果分析结果分析 31.1离散系统数学模型及其仿真方法离散系统数学模型及其仿真方法 1.1.1差分方程差分方程 描述描述n阶非时变线性离散系统输入阶非时变线性离散系统输入u(k)与输出与输出y(k)关系的关系的差分方程为：差分方程为： 给定输入序列给定输入序列u(0)、u(1)、u(k)，系统初始条件系统初始条件y(0)、y(1)、y(k-1)可计算出系统的输出相应：可计算出系统的输出相应： niniiiikubikya000)()(niniiiikubikyaky10)()()(10a1.1.2脉冲相应脉冲相应h(k)

4、 系统的零状态相应为：系统的零状态相应为： 1.1.3系统函数系统函数H(z) 系统零状态相应的系统零状态相应的z变换为：变换为： 系统零状态相应的系统零状态相应的z变换为：变换为：1.1.4状态方程状态方程 四种模型之间可相互转换四种模型之间可相互转换 离散系统的输出计算是代数运算或矩阵运算，最简单。离散系统的输出计算是代数运算或矩阵运算，最简单。niiiniiizazbzUzYkhZTzH00)()()()()()()(zUzHzY0)()()()()(iikuihkukhky)1()1()(kkkBuAxx)()(kkCxy1.2连续系统数学模型及其仿真方法连续系统数学模型及其仿真方法1

5、.2.1连续系统数学模型连续系统数学模型n微分方程微分方程n冲击相应冲击相应n传递函数传递函数n状态方程状态方程 四种模型之间可相互转换四种模型之间可相互转换 连续系统的输出需求解连续系统的输出需求解n阶常系数线性微分方程，或一阶常系数阶常系数线性微分方程，或一阶常系数线性微分方程组，计算复杂，计算量大。线性微分方程组，计算复杂，计算量大。110)()(niinininiininidttudbdttydadtuhtuthty)()()()()()()()(sUsHsY)()()(tttBuAxx)()(ttCxy1.2.2连续系统数值积分法仿真连续系统数值积分法仿真 所谓数值积分仿真法就是利用

6、数值积分计算方法求解微所谓数值积分仿真法就是利用数值积分计算方法求解微分方程和微分方程组分方程和微分方程组n一阶微分方程的数值解法一阶微分方程的数值解法 设一阶微分方程为设一阶微分方程为 （1） 两边取定积分有：两边取定积分有：或或 （2） 可见，一阶微分方程的求解问题转换为定积分的计算问题。可见，一阶微分方程的求解问题转换为定积分的计算问题。0)()(,)(yaybtatytfty，dttytfdttykkkktttt11)(,)(1)(,)()(1kkttkkdttytftyty 欧拉法欧拉法 按步长按步长h取等距点取等距点 ，用矩形公式近似定积分，用矩形公式近似定积分 代入（代入（2）式

7、有）式有 欧拉公式欧拉公式简记为简记为：误差分析：误差分析：设设 ，则称，则称 为局部截断误差。为局部截断误差。将将 在在t=tk点展开点展开Tayler级数得：级数得：则局部截断误差为：则局部截断误差为： 可见，可见，h小，则局部截断误差小，但离散点数量增加，计算量将增大小，则局部截断误差小，但离散点数量增加，计算量将增大 。, 2 , 1 , 0,0kkhttkhtytftttytfdttytfkkkkttkkkk)(,)()(,)(,11)(,)()(1kkkktythftyty, 2 , 1 , 0),(1kythfyykkkk)(kktyy 11)(kkyty)()(1htytykk

8、 )(! 3)(! 2)()()()(321kkkkkktyhtyhtyhtyhyyty)()()(),()()(1111kkkkkkkkktyhtytyythfytyyty)()(! 3)(!2232hOtyhtyhkk 龙格龙格-库塔法库塔法其中：其中：局部截断误差：局部截断误差：误差估计事后估计：误差估计事后估计： 或或步长选择：步长选择：)22(643211kkkkhyykk),(1kkytfkhkyhtfkkk2,212hkyhtfkkk2,223hkyhtfkkk34,)()(511hOytykky(tk) 步长步长h计算一步计算一步 yk+1(h)，局部截断误差：局部截断误差：y

9、(tk+1)- -yk+1(h)=ch5y(tk) 步长步长h/2计算二步计算二步 yk+1(h/2)，局部截断误差：局部截断误差：y(tk+1)- -yk+1(h/2)=2c(h/2)516122)()(5511)2(11chhcytyytyhkkhkk)(1)2(1)2(11151)(hkhkhkkyyyty)(1)2(1hkhkyy)(:1)2(1khktyyYes2:hhNon一阶微分方程组的数值解法一阶微分方程组的数值解法 微分方程组：微分方程组： （3）引入向量表示：引入向量表示：则（则（3）可式表示为：）可式表示为： （4） （4）式与一阶微分方程（）式与一阶微分方程（1）式在形

10、式上完全一样，故一阶微分方程的）式在形式上完全一样，故一阶微分方程的数值解法完全适用于一阶微分方程组的解法，只是将变量用向量替代即可数值解法完全适用于一阶微分方程组的解法，只是将变量用向量替代即可 例如，欧拉公式例如，欧拉公式miytytytytytftyiimii, 2 , 1)()(,),(),(,)(0021T21)()()()(tytytytmyT020100myyyyT21mffff0yyyfy)(),()(0ttt, 2 , 1 , 0),(1kythkkkkfyyn高阶微分方程的数值解法高阶微分方程的数值解法微分方程：微分方程： （5）引入新变元：引入新变元：则则(5)式变为一阶

11、微分方程组：式变为一阶微分方程组： 利用一阶微分方程组的解法可求解高阶微分方程。利用一阶微分方程组的解法可求解高阶微分方程。miytytytytytytftyiimm, 2 , 1)()(,),(),(),(,)(00) 1() 1()( mitytyii, 2 , 1)()() 1(miytytytytytftytytytytytytyiimmmm, 2 , 1)()(,),(),(,)()()()()()()(0021213221n连续系统输出响应的计算连续系统输出响应的计算 微分方程模型：利用数值计算方法求解高阶微分方程微分方程模型：利用数值计算方法求解高阶微分方程 状态方程模型：利用数

12、值计算方法求解一阶微分方程组状态方程模型：利用数值计算方法求解一阶微分方程组 传递函数模型：可转换为高阶微分方程，或利用拉布拉斯变换。传递函数模型：可转换为高阶微分方程，或利用拉布拉斯变换。 冲击响应模型：可转换为传递函数模型，或利用数值积分。冲击响应模型：可转换为传递函数模型，或利用数值积分。n数值积分仿真法的特点数值积分仿真法的特点 优点：计算误差容易控制优点：计算误差容易控制 缺点：算法复杂，计算量大。缺点：算法复杂，计算量大。1.2.3连续系统离散相似法仿真连续系统离散相似法仿真 离散系统输出响应的计算是代数运算或矩阵运算，算法简单，离散系统输出响应的计算是代数运算或矩阵运算，算法简单

13、，计算量小。因此，我们很自然会想到利用离散系统的输出响应来计算量小。因此，我们很自然会想到利用离散系统的输出响应来近似连续系统的输出响应，思路是将连续系统模型离散化。近似连续系统的输出响应，思路是将连续系统模型离散化。n连续系统状态方程模型的离散化连续系统状态方程模型的离散化 状态方程改写为：状态方程改写为：两边左乘两边左乘 ，得，得由于由于代入状态方程有代入状态方程有)()(ttCxy)()()(tttBuAxx)()()(tttBuAxxtAe)()()(tttttBueAxxeAA)()()()()(ddttttttttttAxxeAxexexeAAAA)()(ddtttttBuexeA

14、A两边积分两边积分于是有状态方程的解：于是有状态方程的解： （1）对对（1）式分别令式分别令t=kT、t=(k+1)T进行采样有：进行采样有： （2） （3） 有：有： (4)设设u( (t) )在采样间隔内为常数，即在采样间隔内为常数，即 则则(4)(4)式为式为 右端的积分与右端的积分与k k无关，令无关，令k=0k=0有：有：d)()(dd00ttdBuexeAAd)()0()(0ttttBueexexAAAd)()0()(0)(kTkTkTkTBuexexAAdTkTkTkTk)1(0)1()1()()0() 1(BuexexAA) 2 () 3 (TAed)()() 1()1()1(

15、TkkTTkTkTTkBuexexAATkkTtkkTutu) 1( , 2 , 1 , 0),()(TkkTTkTkTkTTk)1()1()(d)() 1(uBexexAATTTkTkTTk0)()(d)() 1(uBexexAA令令 ，则有，则有写成离散形式为：写成离散形式为：对输出方程采样有：对输出方程采样有：或或于是连续系统状态方程离散化后的离散状态方程为：于是连续系统状态方程离散化后的离散状态方程为：其中其中TTtdTT0)()(,)(BeeAmA)()()()() 1(kTTkTTTkuxxm)()() 1(kkkuxxm)()(kTkTCxy)()(kkCxy)()()()()

16、1(kkkkkCxyuxxmTtTsT1)(ILT)(AIeATTTdTdT00)()()(BBeAm例：连续系统状态方程例：连续系统状态方程 求其系统的离散化状态方程求其系统的离散化状态方程解：解：)()()(tttBuAxx)()(ttCxy1001100CBANTtTsT1)(ILT)(AIeA11011000011001001ssssssAI111110111) 1(101)(1sssssssssAITtTsT1)(ILT)(AIeATTTttteeee101101TTTdTdT00)()()(BBeAmdeNNdNeeTtTTT0)(0)()()1 (0101)1(00TTTTeTN

17、NTNeNNTNeNeNN 蒙特卡洛法蒙特卡洛法（Monte Carlo Method）又称为统计试验法或随机抽又称为统计试验法或随机抽样技术，是一种通过对实际过程的建模、随机抽样和统计试验来求解样技术，是一种通过对实际过程的建模、随机抽样和统计试验来求解各种工程技术、数学物理、社会活动和企业管理等不同问题的近似解各种工程技术、数学物理、社会活动和企业管理等不同问题的近似解的概率统计方法。的概率统计方法。 蒙特卡洛法在雷达领域的应用有：蒙特卡洛法在雷达领域的应用有：n雷达电磁环境的模拟产生。雷达电磁环境的模拟产生。n雷达系统的模拟实验与性能评估。雷达系统的模拟实验与性能评估。n雷达系统的方案设

18、计、系统性能优化。雷达系统的方案设计、系统性能优化。n研究和选择雷达有源、无源干扰手段。研究和选择雷达有源、无源干扰手段。n研究雷达系统的体制、波形和先进技术等。研究雷达系统的体制、波形和先进技术等。n蒙特卡洛法、系统仿真、蒙特卡洛法、系统仿真、EDA技术相结合用于现代雷达系统的自动化技术相结合用于现代雷达系统的自动化设计与制造。设计与制造。2.1均匀分布随机数的产生均匀分布随机数的产生 统计试验中对随机数的基本要求是：统计试验中对随机数的基本要求是：n周期长周期长n统计特性好统计特性好n产生速度快产生速度快 随机数产生的基本方法有：随机数产生的基本方法有：n物理法：物理法：物理产生，采样存储

19、。如晶体管热噪声，放射粒子计数器。物理产生，采样存储。如晶体管热噪声，放射粒子计数器。 优点：真正的随机数。优点：真正的随机数。 缺点：不可重复缺点：不可重复n数学法：数学法：采用数学方法利用计算机产生。采用数学方法利用计算机产生。 优点：可重复优点：可重复 缺点：不是真正的随机数，称为伪随机数。缺点：不是真正的随机数，称为伪随机数。2.1.1平方取中法平方取中法 方法：初值方法：初值平方平方舍弃收尾各一位舍弃收尾各一位下一个数的初值下一个数的初值 公式：公式：xn+1= =Int 2-kxn2 ( (mod 22k) ) yn=xn/ 22k ，yn是（是（0,1）区间均匀分布随机数。）区间

20、均匀分布随机数。 k是字长是字长例：十进制数例：十进制数 x1=81 x12=6561 x2=56 x22=3136 x3=13 x32=0169 x4=16 x42=0256 二进制数二进制数 x1=(13)10= (1101)2 x12=(169)10=(10101001)2 x2=(10)10=(1010)2 x22=(100)10=(01100100)2 x3=(9)10=(1001)2 n缺点：若初值选取的不当，迭代后可能会成为常数，目前很少用。缺点：若初值选取的不当，迭代后可能会成为常数，目前很少用。例：例： x1=(1011)2 ，迭代后为常数。，迭代后为常数。n2.1.2乘同余

21、法乘同余法 方法：方法：xn+1=xn (mod m) yn=xn/m ，yn是（是（0,1）区间均匀分布随机数。）区间均匀分布随机数。 参数：参数：m一般取计算机的字长，如一般取计算机的字长，如16,32,6416,32,64 x0 0一般取一般取2 2b+1+1，b是正整数。是正整数。 一般取一般取2 23 3a3 3或或5 5，a是正整数。是正整数。例：乘同余，例：乘同余， =19， m=100， x0 0= =11n xnxnxn+1=xn (mod m)xn+1/ m1 11 209 9 0.92 9 171 71 0.713 71 1349 49 0.492.1.3混合同余法混合同

22、余法 方法：方法：xn+1=xn+C (mod m) yn=xn/m ，yn是（是（0,1）区间均匀分布随机数。）区间均匀分布随机数。 参数：参数： C一般取一般取4 4a+1+1，a是正整数。是正整数。 一般取奇数。一般取奇数。n从经验上看，混合同余法产生的随机数的质量比同余法好。从经验上看，混合同余法产生的随机数的质量比同余法好。2.1.4移位寄存器法移位寄存器法 周期最大为周期最大为2n, ,n是位数。是位数。例例2.1： 100001001010 0101 0010 0001 100001001010 0101 0010 0001 周期周期=6=6 1 0 0 0+模模2 2加加例例2

23、.2： 1000 1100 1110 1111 0111 1011 0101 1010 1101 0110 0011 0011 1001 0100 0010 0001 周期周期= =16 1 0 0 0+模模2 2加加2.2随机数的统计检验随机数的统计检验n什么是统计检验？为什么要做统计检验？什么是统计检验？为什么要做统计检验？ 前面介绍了几种均匀随机数的产生方法，都是采用某种数学公前面介绍了几种均匀随机数的产生方法，都是采用某种数学公式型来产生的，具有某些特定的数学规律，是伪随机数。这些均匀式型来产生的，具有某些特定的数学规律，是伪随机数。这些均匀分布的伪随机数与理论上的均匀分布随机数有多大

24、差别，是否满足分布的伪随机数与理论上的均匀分布随机数有多大差别，是否满足我们的试验要求？尚不得而知。这就需要我们设立一些能够表征其我们的试验要求？尚不得而知。这就需要我们设立一些能够表征其特性的准则，用这些准则去衡量这些随机数。如果满足这些准则，特性的准则，用这些准则去衡量这些随机数。如果满足这些准则，我们就承认它，否则就拒绝它。这个过程就称作随机数的检验，由我们就承认它，否则就拒绝它。这个过程就称作随机数的检验，由于随机数的各种参数都是用统计方法估计的，故又称作随机数的统于随机数的各种参数都是用统计方法估计的，故又称作随机数的统计检验或假设检验，它依据的是最小概率原理，即在一次试验中，计检验

25、或假设检验，它依据的是最小概率原理，即在一次试验中，概率小的事件认为实际中是不可能发生的。概率小的事件认为实际中是不可能发生的。n如何做统计检验？如何做统计检验？ 已知能表征某种分布随机数的特征参量是已知能表征某种分布随机数的特征参量是 ，根据已产，根据已产生出来的随机数样本用统计方法得到这些特征参量的估计值生出来的随机数样本用统计方法得到这些特征参量的估计值 ，将二者进行比较。如果差别不显著，就承认所产生的随机数符合，将二者进行比较。如果差别不显著，就承认所产生的随机数符合要求，否则就不符合要求而拒绝之。通常用要求，否则就不符合要求而拒绝之。通常用H0表示这样的统计假设表示这样的统计假设，检

26、验过程中是接受还是拒绝，检验过程中是接受还是拒绝H0，一般都给一个称为显著水平的临，一般都给一个称为显著水平的临界概率界概率，观测到的事件概率大于，观测到的事件概率大于，就接受假设，就接受假设H0，小于或等于，小于或等于，就拒绝假设就拒绝假设H0nppp， 21nppp21， 具体地说，我们产生出一组伪随机数具体地说，我们产生出一组伪随机数1，2，N，并假设它，并假设它的某一统计量的某一统计量x=(1，2，N)服从概率分布服从概率分布p(x)，给定一个显著水，给定一个显著水平平，并令，并令=1， 称为置信度，若称为置信度，若 =P(x)，则，则x为临界值。如果为临界值。如果观测值观测值Ei E

27、 ，则认为，则认为Ei与理论值差异不显著，接受与理论值差异不显著，接受H0 ；如果；如果Ei E，则认为差异显著，拒绝则认为差异显著，拒绝H0。例如，例如， p(x)=N(0,1)，则有：，则有： p(x)x数数“好好”数数“差差”xa-xa0.80.90.950.980.990.999x1.2821.6451.9602.3262.5763.291n统计检验的步骤统计检验的步骤 （1）提出需要检验的假设，称为原假设，记为）提出需要检验的假设，称为原假设，记为H0 。 （2）构造用于检验的统计量，称为检验统计量，并确定其概率分布。）构造用于检验的统计量，称为检验统计量，并确定其概率分布。 （3）

28、给定显著水平）给定显著水平（0 1）。）。 （4）确定）确定H0的否定域，即根据检验统计量的概率分布和显著水平的否定域，即根据检验统计量的概率分布和显著水平 ， 确定使确定使H0不成立的区域。不成立的区域。 （5）根据样本观测值计算检验统计量之值。）根据样本观测值计算检验统计量之值。 （6）进行统计判断，若检验统计量之值不落入否定域，则接受）进行统计判断，若检验统计量之值不落入否定域，则接受H0，否，否 则否定则否定H0。 2.2.1频率检验频率检验 随机数的频率检验也成为均匀检验，是检验随机数序列的观测频数与随机数的频率检验也成为均匀检验，是检验随机数序列的观测频数与理论频数的差异是否显著。

29、具体地说，就是把理论频数的差异是否显著。具体地说，就是把0,1区间等分成区间等分成k个子区间个子区间，并将包含有，并将包含有N个随机数个随机数1，2，N的随机数序列，按照由小到的随机数序列，按照由小到大的顺序分成大的顺序分成k组。假设组。假设ni是第是第i组的观测频数，那么随机数属于第组的观测频数，那么随机数属于第i组的组的概率为概率为故属于第故属于第i组的理论频数为组的理论频数为构造检验统计量构造检验统计量 (1)则则z渐进服从自由度为渐进服从自由度为k1的的分布，其分布函数为分布，其分布函数为kikpi, 2 , 1,1kikNNpmii, 2 , 1,kiikiiiikNnNkmmnz1

30、212)(0,0, 0de2121)(Flim022321 zzzzkzzkkNN给定显著水平给定显著水平（一般取（一般取 =0.05或或0.01）按照下式计算出拒绝域）按照下式计算出拒绝域za。 根据随机数样本根据随机数样本1，2，N，计算检验统计量，计算检验统计量(1)式的值式的值z，将，将z 与与za进行比较，如果进行比较，如果z za，就认为差异显著，拒绝假设，就认为差异显著，拒绝假设H0；如果；如果z za，则认为差异不显著，接受，则认为差异不显著，接受H0假设。假设。 例如，某长度例如，某长度N=1638的随机数序列，将其分成的随机数序列，将其分成32组，即组，即k=32。则。则m

31、i=512，分布的自由度分布的自由度d=k1=31。当。当 =0.05时，计算出时，计算出za=44.7，根据随机数序列样本计算出的根据随机数序列样本计算出的z=17.4。由于。由于z 1000，k10，mi10。也就是说，。也就是说，在较多的间隔里，每个间隔中所落入的随机数不要太少，结果才可信。在较多的间隔里，每个间隔中所落入的随机数不要太少，结果才可信。 值得注意的是值得注意的是分布的自由度分布的自由度d30时，统计量时，统计量 渐进渐进服从服从N(0,1)分布。分布。azzkkzzkde212122321122dzu2.2.2参数检验参数检验 随机数的参数检验是检验随机数特征参数的观测值

32、与理论值的差异随机数的参数检验是检验随机数特征参数的观测值与理论值的差异是否显著，由于检验的主要参数是各阶矩，故又称为矩检验。是否显著，由于检验的主要参数是各阶矩，故又称为矩检验。 由随机数样本由随机数样本1，2，N，计算出随机变量各阶矩的观测值，计算出随机变量各阶矩的观测值一阶矩和二阶矩，即均值和方差分变为一阶矩和二阶矩，即均值和方差分变为随机变量随机变量的各阶矩和相应方差的理论值值为：的各阶矩和相应方差的理论值值为：NikikNm11NiiNm111NiiNm122111kmk22,1211kNkmKN一、二阶矩及其方差的理论值分别为：一、二阶矩及其方差的理论值分别为：构造一个统计量构造一

33、个统计量对于对于k=1,2时（一，二阶矩），分别为：时（一，二阶矩），分别为： 根据中心极限定理，统计量根据中心极限定理，统计量zk,N渐近服从正态分布渐近服从正态分布N(0,1)。于是，给定。于是，给定显著水平显著水平，可由正态分布表查得临界值，可由正态分布表查得临界值za。如果统计量的观测值。如果统计量的观测值|zk,N|za，则拒绝假设，则拒绝假设H0；如果；如果|zk,N|50。jNiijijmNs1121111 mjNuj2.2.3概率分布检验（直方图估计）概率分布检验（直方图估计） 设随机变量设随机变量x的样本序列为的样本序列为1，2，N，计算其最大和最小值，计算其最大和最小值将区

34、间（将区间（a,b）等分成）等分成M+1个小区间个小区间ti，ti+1，其中：，其中：统计样本数据落入区间统计样本数据落入区间ti，ti+1的个数的个数ni，并计算出其频率，并计算出其频率 。则有。则有 假设假设x的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)，则有，则有于是有于是有N,min21*1NN,max21*1110,NMMxbxabttttaNnfiiMitxtPfiii, 2 , 1 , 0,1MittxfdxxftxtPfiittiiiiii, 2 , 1 , 0, )()(111iiiittfxf1)(例例2.3 混合同余法产生（混合同余法产生（0,1）区间均匀分布随机数）区间均匀

35、分布随机数 编写编写MATLAB程序，取程序，取N=8000，产生出随机数序列。计算出样本，产生出随机数序列。计算出样本均值均值=- -0.4724，样本方差样本方差=1.5015 ，相关系数，相关系数= -0.8627。 取显著水平取显著水平=0.5，则拒绝域为，则拒绝域为1.96。经检验这组随机数样本通过了。经检验这组随机数样本通过了参数检验和相关系数检验，概率密度函数直方图估计如下图。参数检验和相关系数检验，概率密度函数直方图估计如下图。2253535115/mod)1(xrxxnnnn2.3统计试验法的精度统计试验法的精度 在统计试验中，影响精度的主要因素有：在统计试验中，影响精度的主

36、要因素有：n输入数据不精确输入数据不精确：确定量和随机量的数据有误差，对随机数要检验。：确定量和随机量的数据有误差，对随机数要检验。n采用的模型不精确采用的模型不精确：应避免粗大误差，适当简化模型。：应避免粗大误差，适当简化模型。n存在计算误差存在计算误差：算法误差和舍入误差，算法应适当、计算机字长要长：算法误差和舍入误差，算法应适当、计算机字长要长n试验次数有限试验次数有限：抽样样本数是影响精度的重要因素，样本数要足够大：抽样样本数是影响精度的重要因素，样本数要足够大2.3.1计算数学期望的精度计算数学期望的精度 设随机变量设随机变量x的样本序列为的样本序列为1，2，N，样本均值和方差分别为

37、，样本均值和方差分别为设其数学期望的真值为设其数学期望的真值为x0，则，则 以以（可信度）概率的精度为（可信度）概率的精度为的意义为的意义为根据自由度根据自由度k= =N-1-1的的“学生学生”分布可计算出分布可计算出2112111NiNiiixNsNxx)(0 xxPNsxa 随机变量随机变量 的均方根值为的均方根值为当当N足够大时，简化为足够大时，简化为例例2.4 雷达滑窗检测器除了测量发现概率之外，还要测量目标的方位中雷达滑窗检测器除了测量发现概率之外，还要测量目标的方位中心，假设试验次数心，假设试验次数N=2000，雷达发现概率，雷达发现概率Pd=0.5。已知测量方位中心的。已知测量方

38、位中心的均值均值 = 0.560，最大均方根值，最大均方根值s=0.140。要求可信度。要求可信度=0.9时，目标方位时，目标方位中心测量相对误差不超过中心测量相对误差不超过5%，试问试验次数能否满足要求？，试问试验次数能否满足要求？ 根据给定的根据给定的，查，查“学生学生”分布表得分布表得=0.9时，时， xa=1.6435，则，则故试验次数故试验次数2000次满足测量精度要求。次满足测量精度要求。0 xx310NNNsxx）（Nsxx ）（0 x000728. 0daNPsx%3 . 1013. 0 x2.3.2计算均方根值的精度计算均方根值的精度 样本方差的估计值为样本方差的估计值为 ，

39、由于式中，由于式中i是随机变量是随机变量x的样本，所以的样本，所以s2也是随机变量，可以证明也是随机变量，可以证明s的均方根值的近似值为的均方根值的近似值为其中其中是均方根值的真值。是均方根值的真值。2.3.3计算事件概率的精度计算事件概率的精度 进行进行N次独立的重复实验，如果事件次独立的重复实验，如果事件A出现出现m次，则事件次，则事件A出现的出现的频率为频率为 。当。当N N时，事件时，事件A出现的概率出现的概率 ，且随机变量，且随机变量 的的数学期望为数学期望为P ，即，即 ， 的均方根误差为的均方根误差为 上式可用来估计事件概率的误差，实际中由于上式可用来估计事件概率的误差，实际中由

40、于P是未知的，通常是未知的，通常用用 代替代替P。4 . 12)(NsNiixNs12211NmPPPPP )E(PPNPPP)1 ()(P2.3统计试验法次数的确定统计试验法次数的确定 在前面的分析中我们看到，统计试验估计的精度与试验次数有关。在前面的分析中我们看到，统计试验估计的精度与试验次数有关。在实际中不可能做无穷多次试验，通常是以一定的置信度在实际中不可能做无穷多次试验，通常是以一定的置信度来满足一定来满足一定精度精度作为选择统计试验次数的依据。由切比雪夫不等式作为选择统计试验次数的依据。由切比雪夫不等式其中，其中，N是统计试验次数，是统计试验次数，m是事件是事件A出现的概率，出现的

41、概率，是精度。代入是精度。代入 若若A出现的频率与概率的差值小于出现的频率与概率的差值小于的概率大于等于置信度的概率大于等于置信度，即，即则有则有22) (1ppNmP) 2p（2)1 (1NpppNmP2)1 (1Npp 2)1 ()1 (ppN 例例2.5 在某概率测量时，如果要求测量置信度在某概率测量时，如果要求测量置信度=0.95，概率，概率p=0.9，测量误差测量误差0.01，按照上式求出最小试验次数，按照上式求出最小试验次数N=1.8104。 实际上按照上式计算的试验次数仍然是偏大的，原因是没有利用某实际上按照上式计算的试验次数仍然是偏大的，原因是没有利用某些已知的统计特性。更精确

42、的些已知的统计特性。更精确的N值估计，应该是考虑值估计，应该是考虑 的统计特性。的统计特性。 由于由于 渐近服从正态分布，于是渐近服从正态分布，于是 服从服从N(0,1)分布，则有分布，则有 其中，其中，xa是区间临界值。根据置信度是区间临界值。根据置信度从正态分布表中求出从正态分布表中求出 ，或，或 ，于是可确定出新的试验次数为，于是可确定出新的试验次数为 仍以例仍以例2.5为例，查正态分布表得为例，查正态分布表得xa=1.65，经计算，经计算N1=2450，比，比N小小了了7.35倍。倍。 需注意我们所说的试验次数是指所采用的随机变量之间是相互独立需注意我们所说的试验次数是指所采用的随机变

43、量之间是相互独立的，如果是相关的，则必须根据其相关系数的大小适当增加试验次数。的，如果是相关的，则必须根据其相关系数的大小适当增加试验次数。p p )(pppaxpppP) () (pxaNppxa)1 ( 221)1 (axppN 实际中若概率实际中若概率p是未知的，则不得不采用最大次数法和逐步试探法。是未知的，则不得不采用最大次数法和逐步试探法。n最大试验次数法最大试验次数法 就是选择最大可能的就是选择最大可能的N值，使它对任何概率值都能满足要求。由于值，使它对任何概率值都能满足要求。由于则有则有对上式求导，令其等于零，得对上式求导，令其等于零，得解此方程得解此方程得p=0.5,。这说明，

44、按照。这说明，按照p=0.5所选择的所选择的N值是最大可能值。显值是最大可能值。显然这样确定的然这样确定的N值是以增加计算时间为代价的。值是以增加计算时间为代价的。 仍以仍以=0.95，0.01为例。用这种方法确定的试验次数为例。用这种方法确定的试验次数N=104，比前面确定的比前面确定的N1高高3倍。倍。 需注意对于小概率事件不宜采用这种方法，如测量雷达的虚警概需注意对于小概率事件不宜采用这种方法，如测量雷达的虚警概率，所需的试验次数非常大。率，所需的试验次数非常大。Nppp)1 () (2) ()1 (2pppN0) (21dd2pppNn逐步试探法逐步试探法 逐步试探法的一般步骤：逐步试

45、探法的一般步骤： (1)根据问题的模型，依据经验首先选择一个试验次数根据问题的模型，依据经验首先选择一个试验次数N0。 (2)做做N0次统计试验，依事件次统计试验，依事件A出现的次数计算出一个相对频率出现的次数计算出一个相对频率 。 (3)把该相对频率把该相对频率 作为事件概率作为事件概率p的估计值，求出一个新的的估计值，求出一个新的N值。值。 (4)如果新计算出来的如果新计算出来的N值大于开始选择的值大于开始选择的N0，则必须根据，则必须根据N与与N0差值差值进行补充试验。进行补充试验。 (5)如果在补充试验之后求出的如果在补充试验之后求出的 值与原来的值与原来的 值相比有显著变化，那值相比

46、有显著变化，那么还必须用更新的么还必须用更新的N值再去做补充试验。一直到用某个值再去做补充试验。一直到用某个N值做实验，使所值做实验，使所求得的求得的 值趋于稳定补充试验为止。值趋于稳定补充试验为止。p p p p p 3.1雷达杂波功率谱模型雷达杂波功率谱模型 雷达实际测量结果表明，许多雷达杂波都是相关的，幅度分布和功雷达实际测量结果表明，许多雷达杂波都是相关的，幅度分布和功率谱或相关函数是描述雷达杂波的重要特征。本小节所介绍的几种雷达率谱或相关函数是描述雷达杂波的重要特征。本小节所介绍的几种雷达杂波功率谱模型有的是经验公式，有的是对实测数据拟合的结果。杂波功率谱模型有的是经验公式，有的是对

47、实测数据拟合的结果。3.1.1高斯模型高斯模型 （3-1）其中，其中，Pc是杂波功率，是杂波功率， f=2v/是杂波谱的均方根值，是杂波谱的均方根值， v是杂波速是杂波速度均方根值，度均方根值，是雷达工作波长。做傅里叶反变换得杂波的自相关函数是雷达工作波长。做傅里叶反变换得杂波的自相关函数其中，其中， 。归一化后有表达式。归一化后有表达式其中，其中，222exp2)(ffcfPfS222exp)(ccPR2exp)(R2228vfc21 也可用杂波多普勒频率的均方根来表示，其离散形式为也可用杂波多普勒频率的均方根来表示，其离散形式为其中其中T是采样周期。其协方差矩阵为是采样周期。其协方差矩阵为

48、其中，其中， 是高斯分布相干分量的杂波功率。是高斯分布相干分量的杂波功率。 当杂波有平均多普勒速度当杂波有平均多普勒速度fd时，时，（3-1）式应修正为）式应修正为222)(exp2)(fdfcffPfS22exp)(kTkRf11113213323122321113122nnnnnnxnR2exp22jiijTf22x 3.1.2马尔柯夫模型（柯西模型）马尔柯夫模型（柯西模型）其中，其中，fc是是3dB截止频率截止频率, ,S0 0是零频的谱密度。是零频的谱密度。 该模型假设杂波可用一阶马尔柯夫过程描述，其差分方程为该模型假设杂波可用一阶马尔柯夫过程描述，其差分方程为其中，其中，是相关系数，

49、是相关系数，w(n)是白高斯序列。它有归一化的相关函数是白高斯序列。它有归一化的相关函数其中，其中，=2fc。归一化协方差矩阵为。归一化协方差矩阵为其中，其中，a=R(1)/R(0)。2220)(ccfffSfS)() 1()(nwnyny exp)(R111132132212NNNNNNaaaaaaaaaaaanR10000100100122aaaaaa1nR 3.1.3全极点模型全极点模型 高斯谱模型的高斯谱模型的“尾巴尾巴”较短，雷达地物杂波用全极点模型更准确。较短，雷达地物杂波用全极点模型更准确。通常取通常取n=35，n=2时就是柯西谱模型，时就是柯西谱模型， n=3时称为立方谱模型。

50、时称为立方谱模型。 美国海军研究室美国海军研究室（NRL）对大量雷达海杂波实测数据进行研究分析）对大量雷达海杂波实测数据进行研究分析得出结论：得出结论：x波段雷达杂波用立方谱模型拟合较好，其中波段雷达杂波用立方谱模型拟合较好，其中fc=ke，k=8.36Hz，=0.1356，是以节表示的风速。国内研究机构多次用不同是以节表示的风速。国内研究机构多次用不同频段的雷达在不同风速的情况下，对不同的山区、丘陵、城市的杂波谱特频段的雷达在不同风速的情况下，对不同的山区、丘陵、城市的杂波谱特性和幅度特性进行了测量，经对实测数据的统计分析和拟合计算，也得出性和幅度特性进行了测量，经对实测数据的统计分析和拟合

51、计算，也得出了类似的结论。了类似的结论。 需指出的是这里给出的是目前常用的，且已模型化了的几种杂波功率需指出的是这里给出的是目前常用的，且已模型化了的几种杂波功率谱模型。在各种测量中，发现实际的杂波谱类型要复杂的多，例如在海杂谱模型。在各种测量中，发现实际的杂波谱类型要复杂的多，例如在海杂波测量中就发现在某些海情下杂波会出现双峰。波测量中就发现在某些海情下杂波会出现双峰。ncffSfS11)(03.2雷达杂波幅度分布模型雷达杂波幅度分布模型 雷达杂波幅度分布特性对雷达信号处理、检测、识别、仿真、系统设雷达杂波幅度分布特性对雷达信号处理、检测、识别、仿真、系统设计和性能评估均有十分重要的意义，长

52、期以来，雷达工作者一直都在研究计和性能评估均有十分重要的意义，长期以来，雷达工作者一直都在研究和探索这一问题，由于雷达杂波比较复杂，并且在不同的条件下又是千变和探索这一问题，由于雷达杂波比较复杂，并且在不同的条件下又是千变万化的，它与诸多因素有关，是雷达工作频率、脉冲宽度、极化方式及海万化的，它与诸多因素有关，是雷达工作频率、脉冲宽度、极化方式及海情或地形条件，因此分析起来比较困难，一般都用统计的方法对实测数据情或地形条件，因此分析起来比较困难，一般都用统计的方法对实测数据进行拟合、建模。通过科研人员几十年的研究努力，可以得出一下基本的进行拟合、建模。通过科研人员几十年的研究努力，可以得出一下

53、基本的结论：结论： (1)对于雷达波束照射面积大和高擦入角的情况，各类地杂波、海杂波，对于雷达波束照射面积大和高擦入角的情况，各类地杂波、海杂波，根据中心极限定理其幅度分布服从瑞利分布，在距离上的相关性与脉冲宽根据中心极限定理其幅度分布服从瑞利分布，在距离上的相关性与脉冲宽度相当。对于雷达波束照射面积大和低分辨率雷达的气象杂波和箔条杂波度相当。对于雷达波束照射面积大和低分辨率雷达的气象杂波和箔条杂波也服从瑞利分布。也服从瑞利分布。 (2)对高分辨率雷达，在低擦入角、粗糙的海面和接收与发射信号均是对高分辨率雷达，在低擦入角、粗糙的海面和接收与发射信号均是水平极化的情况下，按观测条件差异，各类杂波

54、分别服从对数水平极化的情况下，按观测条件差异，各类杂波分别服从对数- -正态分布正态分布、韦布尔分布、复合、韦布尔分布、复合k分布和学生分布和学生t分布，它们有一个共同的特点就是均有分布，它们有一个共同的特点就是均有一个大的一个大的“尾巴尾巴”，利用固定门限进行信号检测时相对瑞利分布而言会产，利用固定门限进行信号检测时相对瑞利分布而言会产生生更多的虚警。更多的虚警。 (3)对数对数- -正态分布相对于韦布尔分布和复合正态分布相对于韦布尔分布和复合k k分布具有更大的分布具有更大的“尾巴尾巴”。 (4)复合复合k分布和学生分布和学生t分布更适用于海杂波，特别是在小概率区域与实分布更适用于海杂波，

55、特别是在小概率区域与实际情况拟合的更好。际情况拟合的更好。 (5)除了复合除了复合k分布之外，其它的非瑞利杂波，在理论上还不够完善，分布之外，其它的非瑞利杂波，在理论上还不够完善，特别是在时间和空间相关性方面从散射机制方面的研究尚少。特别是在时间和空间相关性方面从散射机制方面的研究尚少。 对于雷达杂波和目标特性目前仍在研究中，一些结论和成果都在不断对于雷达杂波和目标特性目前仍在研究中，一些结论和成果都在不断的更新。例如，雷达地杂波和海杂波的对数的更新。例如，雷达地杂波和海杂波的对数- -正态分布和混合正态分布和混合- -正态分布是正态分布是2020世纪世纪6060年代后期提出来的，到了年代后期

56、提出来的，到了2020世纪世纪7070年代人们又提出了韦布尔分布年代人们又提出了韦布尔分布模型，韦布尔分布有介于瑞利分布和对数模型，韦布尔分布有介于瑞利分布和对数- -正态分布之间的正态分布之间的“尾巴尾巴”。 2020世世纪纪8080年代人们又发现，海杂波实际上是非平稳随机过程，不仅幅度分布服年代人们又发现，海杂波实际上是非平稳随机过程，不仅幅度分布服从某一分布，其均值也是随机变量，是时变的。后来又提出了用复合从某一分布，其均值也是随机变量，是时变的。后来又提出了用复合k分布分布来描述海杂波，来描述海杂波，2012年年12月又提出了一种新的复合高斯模型，即高斯月又提出了一种新的复合高斯模型，

57、即高斯- -逆高逆高斯（斯（IG-CG）分布模型拟合海杂波。）分布模型拟合海杂波。 3.2.1高斯杂波模型高斯杂波模型 当雷达杂波的载波角频率为当雷达杂波的载波角频率为0时，杂波随机过程可表示为时，杂波随机过程可表示为 (3-1)其中，其中，x(t)和和y(t)都是均值为零、方差为都是均值为零、方差为2 2的独立高斯随机过程，其包络的独立高斯随机过程，其包络 具有瑞利概率密度函数具有瑞利概率密度函数其中，其中，2是高斯分布的方差。利用是高斯分布的方差。利用P=r2关系，可得杂波功率分布为关系，可得杂波功率分布为其中，其中，Pc=22。由于杂波截面积与功率包络成正比，因此杂波横截面积。由于杂波截

58、面积与功率包络成正比，因此杂波横截面积A也具有相同的指数分布概率密度函数也具有相同的指数分布概率密度函数其中，其中， 是平均杂波横截面积，是平均杂波横截面积，0是杂波平均后向散射系数，是杂波平均后向散射系数，Ac是是雷达分辨单元的面积，且雷达分辨单元的面积，且 ，R是杂波距离，是杂波距离，R是雷达距是雷达距离单元离单元AZ是雷达方位波束宽度，是雷达方位波束宽度，是擦地角。是擦地角。)sin()()cos()()(00ttjyttxtr)()()(22tytxtr2222exp)(rrrfccPPPPfexp1)(AAAAfexp1)(cAA0secAZcRRA3.2.2莱斯杂波模型莱斯杂波模型

59、 如果在高斯杂波回波中加上一个直流分量，就是所谓的莱斯杂波模如果在高斯杂波回波中加上一个直流分量，就是所谓的莱斯杂波模型。对应于在分布杂波上叠加一个稳态的大散射体，或某些地杂波可能型。对应于在分布杂波上叠加一个稳态的大散射体，或某些地杂波可能有两个分量，即漫散射分量和镜面反射分量。有两个分量，即漫散射分量和镜面反射分量。 设有稳态功率设有稳态功率A2，即，即(3-1)式的包络修改为式的包络修改为则则r(t)服从莱斯分布：服从莱斯分布：其中其中I0(.)是第一类零阶修正贝塞尔函数。是第一类零阶修正贝塞尔函数。 如果反射面很粗糙，其镜面反射分量很小，或如果反射面很粗糙，其镜面反射分量很小，或A0A

60、0，则合成信号的，则合成信号的包络服从瑞利分布。相反，如果反射面很平滑，镜面反射分量很大，即包络服从瑞利分布。相反，如果反射面很平滑，镜面反射分量很大，即AA,则包络变成高斯分布。则包络变成高斯分布。)()()(22tytxAtrrAArrrf02222I2exp)( 3.2.3对数对数-正态杂波模型正态杂波模型 美国海军研究室于美国海军研究室于1967年，采用高分辨率雷达（年，采用高分辨率雷达（x频段，波束宽度频段，波束宽度0.50，脉冲宽度，脉冲宽度0.02s，擦地角，擦地角4.70，垂直极化）对，垂直极化）对海情的海杂波海情的海杂波测量结果表明：对于高分辨率雷达海杂波的幅度分布不是瑞利分