信号与系统课程设计

1、应用 MATLAB实现连续信号的采样与重构仿真1 应用原理1.1 连续信号的采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真， 采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍， 这称之为采样定理 。时域采样定理从采样信号 fs t 恢复原信号 f (t ) 必需满足两个条件：(1)f (t) 必须是带限信号，其频谱函数在m s 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。(2)取样频率不能过低，必须s 2 m （或 f s 2 fm ）。（对取样频率的要求，即取样频

2、率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率s 2 / T0 大于或等于 2max ，即s2max （ 2max 为连续信号(t ) 的有限频谱），则采样离散信号*( t) 能无失真地恢复到原来的连续信号(t) 。一个频谱在区间 (m m ) 以外为零的频带有限信号f (t) ，可唯一地由其在均匀间隔Ts （ Ts 1）上的样点值 f (nTs ) 所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时2 f m域采样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号f (t ) ，它集中在（m , m ）的时间范围内，则该信号的频谱F j在频域中以间隔为1 的冲激序列进行采样，采样后的频谱F1

3、( j ) 可以惟一表示原信号的条件为重复周期T12tm ，或频域间隔 f11 （其中12 ）。采样信号 fs t的频谱是原22t mT1信号频谱 F ( j) 的周期性重复，它每隔s 重复出现一次。当 s 2m 时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号f s t 中恢复原信号 f (t ) 。（注：s 2 m 的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的 2 倍；这里的 “不混叠 ”意味着信号频谱没有被破坏， 也就为后面恢复原信号提供了可能。）(a)(b)(c)图 1 抽样定理(a) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）(b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠

4、）(c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）1.2 信号采样如图 1 所示，给出了信号采样原理图图2信号采样原理图由图1 可见，fs( t )f ( t )T s( t )，其中，冲激采样信号Ts(t )的表达式为：Ts(t )(tnTs )n其傅立叶变换为 s(ns ) ，其中s2。设 F ( j) ， Fs ( j) 分别为nTsf (t) ， fs (t) 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得Fs ( j )1 F ( j ) *s(n s )1F j (n s )2nTs n若设 f (t ) 是带限信号，带宽为m ，f (t) 经过采样后的频谱 Fs ( j) 就是将F

5、( j ) 在频率轴上搬移至 0,s ,2 s ,ns ,处（幅度为原频谱的 1 Ts倍）。因此，当s2m 时，频谱不发生混叠；而当s2m 时，频谱发生混叠。一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列T (t) 的幅值调制器，即理想采样器的输出信号e* (t ) ，是连续输入信号 e(t ) 调制在载波T (t ) 上的结果，如图 2 所示。图 3 信号的采样用数学表达式描述上述调制过程，则有e* (t )e(t) T (t )理想单位脉冲序列T (t) 可以表示为T (t)(tnT )n 0其中(tnT )是出现在时刻tnT ，强度为1 的单位脉冲。由于e(t )的数值仅在采样瞬时才

6、有意义，同时，假设e(t ) 0t 0所以 e* (t) 又可表示为e* (t)e(nT )(t nT )n 01.3 信号重构设信号 f (t ) 被采样后形成的采样信号为f s (t ) ，信号的重构是指由 fs (t) 经过内插处理后，恢复出原来信号 f (t) 的过程。又称为信号恢复。若设 f (t ) 是带限信号，带宽为m ，经采样后的频谱为Fs ( j ) 。设采样频率s2ms是以s为周期的谱线。现选取一个频率特性，则由式（ 9）知 F ( j )H ( j)Tscc 满足ms ）的理想低通滤波器0（其中截止频率cc2与 Fs ( j) 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱F ( j)

7、 。显然， F ( j)Fs ( j) H ( j) ，与之对应的时域表达式为f (t) h(t) * fs (t )（10）而f s (t)f (t )(tnTs )f (nTs )(tnTs )nnh(t )F 1 H (j)TscSa(ct)将 h(t) 及 fs (t ) 代入式（ 10）得f (t ) fs (t) * Tsc Sa( c t)Tscf (nTs )Sa c (t nTs )（11）n式（ 11）即为用 fnT求解 f (t) 的表达式，是利用 MATLAB 实现信号重构的基(s )本关系式，抽样函数Sa(ct ) 在此起着内插函数的作用。例：设 f (t) Sa(t

8、)sin t ，其 F ( j) 为：tF ( j)110即 f (t ) 的带宽为 m1，为了由 f (t) 的采样信号 fs (t ) 不失真地重构 f (t ) ，由时域采样定理知采样间隔ss（过采样）。利用 MATLAB 的抽样T，取 T 0.7m函数 Sinc(t)sin(t) 来表示 Sa(t) ，有 Sa(t)Sinc(t /) 。据此可知：tTscf (t)f s (t) * Tsc Sa( ct )f ( nTs ) Sinc c (t nTs )n通过以上分析， 得到如下的时域采样定理： 一个带宽为 wm 的带限信号 f(t) ，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定

9、，其中，取样间隔 Ts/wm, 该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：f tIFTFs j* IFTHjf s t * h tf nTs t nTsTswc Sa t cTswcf nTsSactnTsn式中的抽样函数Sact 起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为抽样信号在相应时刻的定义值 。 利 用 MATLAB中 的 抽 样 函 数 sin c tsint 来 表 示 Sa t， 有tSa t sin c t / ， Sact sin cc t /，于是，信号重构的内插公式也可表达式：f tf nT

10、st nTsTsc tnTs cf nTs sin cc tnTsn2 程序2.1 设计的思路连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值， 除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB 并不能处理连续信号， 而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时， 这些离散的样值就能较好地近似连续信号。时域对连续时间信号进行采样， 是给它乘以一个采样脉冲序列，就可以得到采样点上的样本值，信号被采样前后在频域的变化， 可以通过时域频域的对应关系分别求得了采样信号的频谱。在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值

11、来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱， 在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。2.2 详细设计过程2.2.1 Sa(t)的临界采样及重构(1)实现程序代码当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即s2m 时，称为临界采样 . 修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。%例 10.3Sa(t)的临界采样及重构

12、；wm=1;wc=wm;Ts=pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-15:Dt:15;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t);t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi) 的临界采样信号);subplot(212);plot(t,fa)xlabel(t

13、);ylabel(fa(t);title( 由 sa(t)=sinc(t/pi) 的临界采样信号重构sa(t);grid;(2)程序运行运行结果图与分析图4 临界采样信号及其重构信号运行结果分析： 为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差， 可以计算出两信号的绝对误差。当 t选取的数据越大，起止的宽度越大。2.2.2 Sa(t ) 的过采样及重构(1)实现程序代码当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2 倍，即s2m 时，称为过采样 .在不同采样频率的条件下， 观察对应采样信号的时域和频域特性， 以及重构信号与误差信号的变化。%例 10.4Sa(t)的过采样及重构；wm=1;wc=1.1

14、*wm;Ts=0.7*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-15:Dt:15;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi) 的采样信号 );subplot(312)

15、;plot(t,fa)xlabel(t);ylabel(fa(t);title( 由 sa(t)=sinc(t/pi) 的过采样信号重构sa(t);grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t);title( 过采样信号与原信号的误差error(t);(2)程序运行运行结果图与分析。图 5 Sa(t)的过采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图运行分析：将原始信号分别修改为抽样函数Sa(t)、正弦信号sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t) 、指数信号 e-2tu(t)时，在不同采样频率的条件下，可以观察到对应采样信号

16、的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。2.2.3Sa(t)的欠采样及重构(1)实现程序代码当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即s2m 时，称为过采样。利用频域滤波的方法修改实验中的部分程序，完成对采样信号的重构。%例 10.5Sa(t)的欠采样及重构；wm=1;wc=wm;Ts=1.5*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-15:Dt:15;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t);err

17、or=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi) 的采样信号 );subplot(312);plot(t,fa)xlabel(t);ylabel(fa(t);title( 由 sa(t)=sinc(t/pi) 的欠采样信号重构sa(t);grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t);title( 欠采样信号与原信号的误差error

18、(t);(2)程序运行运行结果图与分析图 6 Sa(t)的欠采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图误差分析：绝对误差error 已大为增加，其原因是因采样信号的频谱混叠，使得在c 区域内的频谱相互“干扰 ”所致。3 收获和体会在整个实验过程中， 我查阅了很多相关知识， 使我对采样定理的一些基本公式得到了进一步巩固 , 从这些书籍中我受益良多。也使我上机操作顺利完成。虽然刚开始对采样过程和恢复过程认识不深， 但是通过这次实验对采样过程和恢复过程有了进一步掌握。通过实验的设计使我对采样定理和信号的重构有了深一步的掌握，同时也学会了 MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用。该实验使我对 MATLAB 函数程序的基本结构有所了解， 也提高了我独立完成实验的能力和理论联系实际的应用能力。 了解了采样的方法。 实验通过测量系统的频率特性， 加深了我对系统频率特性的理解。4 参考文献