矢量三角形法在力平衡问题中妙用

1、矢量三角形法矢量三角形法在力的平衡问题中的妙用在力的平衡问题中的妙用 学生在解静态平衡问题时，通常运用平行四边形定则运算，难度不算大。可一旦转入多个力的求和问题，对于动态平衡问题，用正交分解法取代平行四边形法则，虽然可以使问题简化，但计算仍显得繁琐。如果遇上了动态平衡的问题，因疑点增多，解破起来颇感棘手，若用矢量三角形法则求解，却能一改平行四边形法则和正交分解法繁琐的计算程序，可谓之柳暗花明。下面让我们上起来学习矢量三角形法在静态平衡、动态平衡和运动的合成问题中的妙用. 。 一、矢量三角形的建立v矢量三角形1：两分力的合力为，构成平行四边形，如图1甲，该平行四边形含有两个全等的三角形，每一个三

2、角形都包含了三个矢量的大小和方向，因此，如果我们只取其中的一个三角形，如图1乙，利用三角形知识求力的问题，则很多力学问题就会变的简单的多了。图1乙中矢量三角形的数学表达式为：矢量三角形2：三个力使物体处于平衡状态，如图2甲，由力的平衡知识知道，F1、F2合力与力F3等大、反向，如果把F3平移到F3/的位置上，则构成如图2乙的三角形。图2乙中矢量三角形的数学表达式为:l结论:三力合力为零的条件:1矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用二、矢量三角形的解题应用若物体受到三个力（不只三个力时可以先若物体受到三个力（不只三个力时可以先合成三个力）的作用而处于平衡状态，

3、则合成三个力）的作用而处于平衡状态，则这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。三角形三边的长度对应三个力的大小，夹三角形三边的长度对应三个力的大小，夹角确定各力的方向角确定各力的方向例1. 如图所示，一个物体受到七个力的作用，其中构成一个等六边形，已知，则求物体受到的合外力的大小。解析：根据矢量三角形1可以知道力F1、F2合力大小等于力F8，力F8与力F3合力大小等于力F7，即合力的大小等于力F7；同理可知F6 、 F5 、 F4 合力的大小等于力F7，所以物体受到的合外力的大小等于例2如图所示，光滑的小球静止在斜面和木版之间，已知球重为G，斜面的倾角为，求

4、下列情况下小球对斜面和挡板的压力？（1）、挡板竖直放置（2）、挡板与斜面垂直分析与解答：小球受力如图所示，小球在重力、斜面的支持力和挡板的支持力三个力共同的作用下处于平衡状态，因其中两力之和恰好与第三力大小相等方向相反，故这三个力可构成力的三角形：GN1N2GN2N1由矢量三角形的边角关系可知：当挡板竖直放置时， N1=Gtg N2=G/cos当挡板与斜面垂直放置时，N1=Gsin N2=Gcos这样比我们建立直角坐标，再利用正交分解法来求解就简单多了。2矢量三角形在力的动态平衡问题中的应用矢量三角形在力的动态平衡问题中的应用例3如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G

5、，斜面的倾角为，现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢移动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化？分析与解答：分析小球受力如图所示，小球受重力、斜面的支持力和挡板的支持力，在者三个力的作用下处于平衡状态，这三个力可构成力的三角形（如右图所示）挡板绕O点缓慢移动，可视为动态平衡。因挡板对小球的支持力N1的方向与水平方向之间的夹角由900缓慢变小，重力的大小和方向都不变，斜面的支持力N2的方向也不变，由矢量三角形知斜面的支持力N2必将变小，而挡板的支持力N1将先变小后变大 GN2N1GN2N1GN1N2O例4 如图4所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为TA、TB、TC，保持O点的位置不变，绳子的悬点B也

6、不变，则悬点A向上移动的过程中，下列说法正确的是（ ）A、 TA、TB一直减少；B、 TA一直增大，TB一直减少；C、 TA先增大后减少，TB先减少后增大；D、TA先减少后增大，TB一直减少；AOBC图4析：对于这道题，若用常规的正交分解法，先求出TA、TB的表达式，再分析当角（TA与水平方向所成的夹角）改变时TA、TB的大小变化，问题自然会变得相当复杂，而且也不能一眼就可看出正确的结果。若利用矢量三角形，可作如下的分析：若O点始终处于平衡状态，且只受TA、TB、TC三个力作用，则这三个力构成如下图所示的矢量三角形。在A点位置向上移动的过程中，因TC的大小和方向始终不变，TB的方向也不变，即在

7、力的三角形中，TC的长度和方向不变，TB与TC的夹角大小不变，A点向上移动，且TA与水平方向的夹角由90度逐渐变小，由矢量三角形图的变化可知，TA先减少后增大，而TB则一直减少。答案为D。TBTATC=G图5例5 如图所示，两个光滑的球体，直径均为d，置于直径为D的圆桶内，且dD2d，在相互接触的三点A、B、C受到的作用力分别为F1、F2、F3，如果将桶的直径加大，但仍小于2d，则F1、F2、F3的变化情况是（ ）AF1增大，F2不变，F3增大；BF1减少，F2不变，F3减少；CF1减少，F2减少，F3增大；DF1增大，F2减少，F3减少；分析：由整体法易知F2的大小不变，再隔离分析上面的小球

8、，小球受重力G、桶向左的支持力F和下面小球斜向上的支持力N三个力的作用，且处于平衡状态，这三个力构成矢量三角形，G的大小和方向都不变,F的方向始终水平向左，当桶的直径增大时，N与水平方向的夹角变小，由矢量三角形图知F增大，所以答案为A。FGN3构建矢量三角形，处理最值问题构建矢量三角形，处理最值问题 ：例6. 如图所示，在轻质细线的下端悬挂一个质量为m的物体，若用力F拉物体，使细线偏离竖直方向的夹角为角，且保持角不变，求拉力F的最小值。解析：以m物体为研究对象，绳的张力与对m的拉力F的合力F”与物体A的重力等大反向，由于绳的张力的方向不变，根据图解可以看出，当F垂直于力时，F取最小值 。 ，4

9、.构建矢量三角形，找出几何三角形，利用三角形相似解题正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。例例7、半径为的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的情况是（）解析：解析：如图所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力不变，支持力，绳子的拉力一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力的大小和方向、绳子的拉力